Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

2744557306

这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：

1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
7 M4 [4 I1 b  v- r: k2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));9 `0 v5 T- S0 S6 X$ D  X
   
2. 9 B/ j( G- J8 a# T6 P# s& v/ ?; Z
   
3.    for i = 2:n2 J: {( H$ c- K; T
   
4. 8 \; V5 i) K$ G+ I& y. V
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   & V, f. ]* J0 r  [
6. & w' a: [; P) S! s: N
   
7.    end
   $ k% b. E0 o+ \2 [3 h
8. 9 N8 ~- ~# {& C3 P5 e: {
   
9. 
   , H, T\" l* {$ a: f$ U% ?( C) k
10. 
    & i7 H) `\" G0 g( a' k: `2 v% a. T
11.    for j = 2:n- [4 J; A3 P! ^' k* O5 o
    
12. 4 n) ]0 X- o; {/ z
    
13.        sum1 = 0;% r2 {$ F( P* J
    
14. 
    9 `/ a5 G& S6 V) l# o
15.        for k = 1:j-1
    \" }3 B1 p% i5 M( r, ^/ n
16. 
    3 |. L* A# \! S4 s) r3 [
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);5 h, s- b( E& |! a
    
18. 
    ! n. l. u7 P- N
19.        end: |2 y3 u- Z\" b2 x- ?& J9 G, |
    
20. 
    2 E( @8 }* C6 v9 O
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);- x3 a+ l& c+ ^6 O
    
22. 
    9 r0 R3 D6 L! ]1 b1 v9 n  j
23. 
      R: i7 P/ y$ S; _( L
24. 8 ]: T3 K6 D( [# Q2 _7 ^: }
    
25.        for i = j+1:n
    3 ^5 Y, p7 e8 C- {* h' q2 u& k/ D3 m
26. 
    9 c0 ?9 ?' ]' j0 Z
27.            sum2 = 0;6 F3 Q3 t. u& b  L) K
    
28. : c* Z% n: v6 E! _9 C9 z) w
    
29.            for k = 1:j-1
    7 R9 l) P4 Z, E* l9 T# f
30. 
    2 Z  _) A4 J' M
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    0 U; B- x/ W7 O, O3 e  s
32. 
    \" v0 ]: L% H  k* b, s
33.            end
    6 A9 Y( J' G6 m( f6 T9 `- p: G
34. 3 B% l: y* p1 {5 ]# g* ]& U8 ]
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    % r7 Q9 V% s0 a: x! q9 c: }
36. $ k5 v$ ^, m% g0 m2 F* v0 ~
    
37.        end( {+ T7 @& N- d& j$ ]! l+ @9 F
    
38. 
    4 h9 o* I! Q$ f$ d/ u3 r5 d' d& D
39.    end

复制代码

在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。
7 z0 X! t; T  N3 R/ P8 I7 P- B& L! d  L; e# O
% d+ B. @7 E5 Z# O2 [3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);
   # L2 }* }- b8 ~5 b4 ^2 R1 a9 J
2. - J9 X! s9 \) D. X& B) J: V\" @& C0 ^
   
3.    for i = 2:n
   / s6 P+ f5 o+ o# A$ v, T, C: n
4. 6 v# _3 ]1 T1 f1 ?  c5 ]' u
   
5.        sum3 = 0;
   & w) d! T3 x/ b* G' x4 _- H/ `
6. % s8 h( S% P- R' `8 l# J, _
   
7.        for k = 1:i-1
   , b0 x. z, C/ p
8. 0 O2 z+ f  k) J\" B% i
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);- S! P- S9 I7 v3 q9 f\" o7 j
   
10. 
      ?6 K# Q# z  b  z# I6 C4 }
11.        end
    9 C: e4 K\" I\" j5 a' c
12. 
    & l6 `2 R: c; i7 m9 E5 ]7 W* ^8 e
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    ! Y1 [- O& W6 L! \$ u; d8 p* u
14. \" k: C# O; R' w0 R
    
15.    end

复制代码

4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);) U! b; [, D) N( r4 i\" H$ \: }
   
2. 
   ; \7 L5 Q4 A3 p- F9 P7 E
3.    for i = n-1:-1:1
   5 m+ _  E% O, u# E1 ^6 ~$ R
4. 7 ]4 {9 n. R& I2 P% v
   
5.        sum4 = 0;+ {% ]% j: T6 p: v. ]& {. t+ u
   
6. 
   6 Y, t1 z. h9 A8 G) i7 A
7.        for k = i+1:n
   - o3 u1 J\" U$ T5 u3 z  W; ^
8. 9 J, `5 J* ~+ h
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   / J0 }; ?, B) C2 l
10. 
    - m: U& c\" X# B  a  S  \& a3 u
11.        end
    5 t  q; i2 K' d* G) _: F! J
12. $ c, ^\" n4 {3 z* X
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    ; m1 @% v+ t! \\" J( \3 X/ P5 ?
14. 6 e! b5 C) f7 [\" l
    
15.    end

复制代码

这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：
' @' i7 f& }, R$ i  j- v0 f
! y6 i$ n2 u( ^$ z8 p/ {$ M3 g5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));& w6 L' [& ~, ~6 p- N& c
   
2. 6 {* ?8 R2 \/ t
   
3.    for i = 2:n
   ( k2 B( {4 \3 d2 u4 ^
4. 
   / T) `# A5 f& E+ Q3 k
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);* a3 \' s9 I\" D6 T
   
6. , i; q' W; n6 b( e# u- c9 B+ K
   
7.    end
   1 K' P% b. u( M' M3 y
8. 
   6 s+ _9 p) K. w
9. 
   ' C1 Q: W! r; c- |- v/ c
10. 
      {+ L, c% ^- K' L
11.    for j = 2:n0 I) M0 H7 x\" `8 ]9 Y) }
    
12. 9 R& }! i) t# g3 Q/ X5 e
    
13.        sum1 = 0;
    9 C, [* O# {/ N# S3 V4 I: [) i
14. 
    # }! f# x# H- s\" D7 p\" l; V
15.        for k = 1:j-1
    , \  a5 [) S3 B* _: ]9 h4 m$ D
16. ; a, D* `7 D2 L  p7 M6 M
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);3 B3 e  E( x4 ]6 w# Z8 ^* }
    
18. - \! t6 r) j1 B: D, f
    
19.        end7 ?. O  b8 L% k) X+ h! D
    
20. 
    ; Z3 {\" }  [) J# @* @1 z
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);2 {9 `$ m+ F; L/ p7 t) ?+ f
    
22. 
    : D- z4 r' X  S) d1 w5 ?. g
23. 
    4 J8 `2 w% D6 o3 d
24. 3 Y0 G3 L\" R5 r5 x7 W) J
    
25.        for i = j+1:n
    7 |: i+ b; Y( S& T5 Q
26. 
    \" j% j: J) u0 v/ W1 K
27.            sum2 = 0;0 u7 `4 R- b+ h8 E# d\" N# I
    
28. 
    # U0 O+ W; ]' U; ~2 ]
29.            for k = 1:j-10 A) k7 Z: g; |2 g- T
    
30. 
    / _# g& s' m- g: ~. M
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);: [8 J: ^2 _  r
    
32. ( {& v: J, x! J6 Q1 h: ]- b7 O
    
33.            end
    6 J8 i# C; [, g\" _. D% D* F
34. & r5 ]9 t7 N0 S. I) r; O
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);# i7 K! M* a- _5 p
    
36. 
    ' A2 i; m, L/ p$ g. g2 ]
37.        end
    - i0 d' Y' }! t5 J6 z- k
38. 
    % V' D- }5 D' m% s+ B+ \$ N
39.    end

复制代码

在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。

6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);
   - \0 R4 V; s9 k. z7 D. t3 [
2. / O5 @# \; v9 [) I, }, _- x+ [
   
3.    for i = 2:n* V2 q& X\" h5 |& [' x
   
4. 
   : O% q1 {# @6 L( b
5.        sum3 = 0;, ^9 C) R6 G  E7 d/ s! L
   
6. 6 o& k% y6 b, H3 W6 f& A- t
   
7.        for k = 1:i-1\" m5 W+ ?& q2 {/ _
   
8. 2 V! c& o, m, H6 u1 a( F
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   ( Q7 U3 T9 e% l$ D
10. 
    . l# B' V2 ~( C, a
11.        end9 l' }( h, @' \% Y! [+ t
    
12. 5 t/ L* S0 t8 C6 v
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    ( i8 \: W( o( r
14.   Q7 K. b7 B2 u. z+ G- K% |
    
15.    end

复制代码

在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。

7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   2 \( @8 p1 B' d2 x- l1 z1 I
2. 
   + O% x6 q1 s' A& I1 _# M( @
3.    for i = n-1:-1:12 ?' p6 l+ h$ R. h8 \# E) y; W. E, e
   
4. 
   8 I7 b- q+ j9 G1 I$ r
5.        sum4 = 0;
   ) R4 G$ p# f- i0 @
6. # |& F8 X- ?  D
   
7.        for k = i+1:n
   , [6 R1 T: `3 o3 H7 D$ Z* T
8. 
   2 v: S. K! g- D* T+ z
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   / g, n1 j( ~0 h' B, B0 d9 R' f
10. \" Q5 t\" Q) ?* j
    
11.        end
    $ z4 |6 d  _6 g6 W' D
12. 2 M8 K  \3 R! [7 n
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    9 v1 ?1 e7 T) b' ]
14. 
      K8 F; C* V2 @$ X0 e! a\" `3 X/ D4 r
15.    end
    \" k( _\" G5 M- p+ G! x
16. 9 k8 ]& E3 M' y
    

复制代码

在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。


0 y; N( Y# ~# `