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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法(forward substitution)和回代法(back substitution)求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵,可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能:, d; g" e0 N% w7 N& K
) v# G) P8 d* H0 ^, G- p" T) ]
1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
7 M4 [4 I1 b v- r: k2.初始化了一个下三角矩阵 l,并进行 Cholesky 分解的计算。- l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));9 `0 v5 T- S0 S6 X$ D X
- 9 B/ j( G- J8 a# T6 P# s& v/ ?; Z
- for i = 2:n2 J: {( H$ c- K; T
- 8 \; V5 i) K$ G+ I& y. V
- l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
& V, f. ]* J0 r [ - & w' a: [; P) S! s: N
- end
$ k% b. E0 o+ \2 [3 h - 9 N8 ~- ~# {& C3 P5 e: {
, H, T\" l* {$ a: f$ U% ?( C) k
& i7 H) `\" G0 g( a' k: `2 v% a. T- for j = 2:n- [4 J; A3 P! ^' k* O5 o
- 4 n) ]0 X- o; {/ z
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9 `/ a5 G& S6 V) l# o- for k = 1:j-1
\" }3 B1 p% i5 M( r, ^/ n
3 |. L* A# \! S4 s) r3 [- sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);5 h, s- b( E& |! a
! n. l. u7 P- N- end: |2 y3 u- Z\" b2 x- ?& J9 G, |
2 E( @8 }* C6 v9 O- l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);- x3 a+ l& c+ ^6 O
9 r0 R3 D6 L! ]1 b1 v9 n j
R: i7 P/ y$ S; _( L- 8 ]: T3 K6 D( [# Q2 _7 ^: }
- for i = j+1:n
3 ^5 Y, p7 e8 C- {* h' q2 u& k/ D3 m
9 c0 ?9 ?' ]' j0 Z- sum2 = 0;6 F3 Q3 t. u& b L) K
- : c* Z% n: v6 E! _9 C9 z) w
- for k = 1:j-1
7 R9 l) P4 Z, E* l9 T# f
2 Z _) A4 J' M- sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
0 U; B- x/ W7 O, O3 e s
\" v0 ]: L% H k* b, s- end
6 A9 Y( J' G6 m( f6 T9 `- p: G - 3 B% l: y* p1 {5 ]# g* ]& U8 ]
- l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
% r7 Q9 V% s0 a: x! q9 c: } - $ k5 v$ ^, m% g0 m2 F* v0 ~
- end( {+ T7 @& N- d& j$ ]! l+ @9 F
4 h9 o* I! Q$ f$ d/ u3 r5 d' d& D- end
复制代码 在这个过程中,通过迭代计算 Cholesky 分解的过程,最终得到下三角矩阵 l。
7 z0 X! t; T N3 R/ P8 I7 P- B& L! d L; e# O
% d+ B. @7 E5 Z# O2 [3.执行前代法,求解下三角线性方程组 Ly=b,并存储结果在向量 y 中。- y(1) = b(1) / l(1, 1);
# L2 }* }- b8 ~5 b4 ^2 R1 a9 J - - J9 X! s9 \) D. X& B) J: V\" @& C0 ^
- for i = 2:n
/ s6 P+ f5 o+ o# A$ v, T, C: n - 6 v# _3 ]1 T1 f1 ? c5 ]' u
- sum3 = 0;
& w) d! T3 x/ b* G' x4 _- H/ ` - % s8 h( S% P- R' `8 l# J, _
- for k = 1:i-1
, b0 x. z, C/ p - 0 O2 z+ f k) J\" B% i
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?6 K# Q# z b z# I6 C4 }- end
9 C: e4 K\" I\" j5 a' c
& l6 `2 R: c; i7 m9 E5 ]7 W* ^8 e- y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
! Y1 [- O& W6 L! \$ u; d8 p* u - \" k: C# O; R' w0 R
- end
复制代码 4.最后,进行回代法,求解上三角线性方程组 L^T x = y,并存储结果在向量 x 中。- x(n) = y(n) / l(n, n);) U! b; [, D) N( r4 i\" H$ \: }
; \7 L5 Q4 A3 p- F9 P7 E- for i = n-1:-1:1
5 m+ _ E% O, u# E1 ^6 ~$ R - 7 ]4 {9 n. R& I2 P% v
- sum4 = 0;+ {% ]% j: T6 p: v. ]& {. t+ u
6 Y, t1 z. h9 A8 G) i7 A- for k = i+1:n
- o3 u1 J\" U$ T5 u3 z W; ^ - 9 J, `5 J* ~+ h
- sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
/ J0 }; ?, B) C2 l
- m: U& c\" X# B a S \& a3 u- end
5 t q; i2 K' d* G) _: F! J - $ c, ^\" n4 {3 z* X
- x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
; m1 @% v+ t! \\" J( \3 X/ P5 ? - 6 e! b5 C) f7 [\" l
- end
复制代码 这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b,其中 A 是一个对称正定矩阵,通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积,然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中,执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释:
' @' i7 f& }, R$ i j- v0 f
! y6 i$ n2 u( ^$ z8 p/ {$ M3 g5.Cholesky 分解:- l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));& w6 L' [& ~, ~6 p- N& c
- 6 {* ?8 R2 \/ t
- for i = 2:n
( k2 B( {4 \3 d2 u4 ^
/ T) `# A5 f& E+ Q3 k- l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);* a3 \' s9 I\" D6 T
- , i; q' W; n6 b( e# u- c9 B+ K
- end
1 K' P% b. u( M' M3 y
6 s+ _9 p) K. w
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{+ L, c% ^- K' L- for j = 2:n0 I) M0 H7 x\" `8 ]9 Y) }
- 9 R& }! i) t# g3 Q/ X5 e
- sum1 = 0;
9 C, [* O# {/ N# S3 V4 I: [) i
# }! f# x# H- s\" D7 p\" l; V- for k = 1:j-1
, \ a5 [) S3 B* _: ]9 h4 m$ D - ; a, D* `7 D2 L p7 M6 M
- sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);3 B3 e E( x4 ]6 w# Z8 ^* }
- - \! t6 r) j1 B: D, f
- end7 ?. O b8 L% k) X+ h! D
; Z3 {\" } [) J# @* @1 z- l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);2 {9 `$ m+ F; L/ p7 t) ?+ f
: D- z4 r' X S) d1 w5 ?. g
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- for i = j+1:n
7 |: i+ b; Y( S& T5 Q
\" j% j: J) u0 v/ W1 K- sum2 = 0;0 u7 `4 R- b+ h8 E# d\" N# I
# U0 O+ W; ]' U; ~2 ]- for k = 1:j-10 A) k7 Z: g; |2 g- T
/ _# g& s' m- g: ~. M- sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);: [8 J: ^2 _ r
- ( {& v: J, x! J6 Q1 h: ]- b7 O
- end
6 J8 i# C; [, g\" _. D% D* F - & r5 ]9 t7 N0 S. I) r; O
- l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);# i7 K! M* a- _5 p
' A2 i; m, L/ p$ g. g2 ]- end
- i0 d' Y' }! t5 J6 z- k
% V' D- }5 D' m% s+ B+ \$ N- end
复制代码 在这一部分,计算了 Cholesky 分解,得到下三角矩阵 l,使得 a = l * l'。! } @) ~) L: N
' R) g2 ~9 a- L5 X# k
6.前代法:- y(1) = b(1) / l(1, 1);
- \0 R4 V; s9 k. z7 D. t3 [ - / O5 @# \; v9 [) I, }, _- x+ [
- for i = 2:n* V2 q& X\" h5 |& [' x
: O% q1 {# @6 L( b- sum3 = 0;, ^9 C) R6 G E7 d/ s! L
- 6 o& k% y6 b, H3 W6 f& A- t
- for k = 1:i-1\" m5 W+ ?& q2 {/ _
- 2 V! c& o, m, H6 u1 a( F
- sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
( Q7 U3 T9 e% l$ D
. l# B' V2 ~( C, a- end9 l' }( h, @' \% Y! [+ t
- 5 t/ L* S0 t8 C6 v
- y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
( i8 \: W( o( r - Q7 K. b7 B2 u. z+ G- K% |
- end
复制代码 在这一部分,使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b,得到向量 y。 E/ e! n5 H; [, I/ E
& @& e. B5 t8 h2 ^2 x" J
7.回代法:- x(n) = y(n) / l(n, n);
2 \( @8 p1 B' d2 x- l1 z1 I
+ O% x6 q1 s' A& I1 _# M( @- for i = n-1:-1:12 ?' p6 l+ h$ R. h8 \# E) y; W. E, e
8 I7 b- q+ j9 G1 I$ r- sum4 = 0;
) R4 G$ p# f- i0 @ - # |& F8 X- ? D
- for k = i+1:n
, [6 R1 T: `3 o3 H7 D$ Z* T
2 v: S. K! g- D* T+ z- sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
/ g, n1 j( ~0 h' B, B0 d9 R' f - \" Q5 t\" Q) ?* j
- end
$ z4 |6 d _6 g6 W' D - 2 M8 K \3 R! [7 n
- x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
9 v1 ?1 e7 T) b' ]
K8 F; C* V2 @$ X0 e! a\" `3 X/ D4 r- end
\" k( _\" G5 M- p+ G! x - 9 k8 ]& E3 M' y
复制代码 在这一部分,使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y,得到最终的解向量 x。& Y* W2 r' R( N% x; l! S0 M
总体而言,这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组,其中 A 是对称正定矩阵,通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合,求解出未知向量 x。4 L4 E; i1 F9 O& g
' A! X1 m, I: C# m* x8 Q5 a$ A
0 y; N( Y# ~# `4 ? |1 y* S" m8 Z
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