Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：
* J! L" k% B0 F& [( @% `
1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));5 H% I2 T: F4 a( k) k/ E
   
2. \" O% h# _; Z2 p  v5 m
   
3.    for i = 2:n
   ( j( w' v1 t2 x% M1 o! D/ G
4. 
   % B- T9 P, J; Q' l# P5 u
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);/ Q' r$ e# g. Y3 x: T+ |) N% b5 m
   
6. 
   0 l8 z2 @0 Q& H9 ~! n
7.    end
   6 H2 _' |6 V9 H
8. 
   5 d2 L; L+ W5 F) v0 g
9. 
   + r\" [* d' G9 D. m' d
10. 
    6 f4 X& H2 e( O0 N
11.    for j = 2:n; H7 t' c; j3 `# c
    
12. 
    7 X! N5 T' F\" g. f+ I8 @
13.        sum1 = 0;8 E1 |; q2 Z2 ^6 O+ L
    
14. 
    6 t6 g: f7 i0 n2 D. C' U
15.        for k = 1:j-1
    \" B( ?+ M' c# P- r5 }; C8 t7 d: S
16. 
    7 ?) V9 G2 N) P\" U
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);0 v: p0 _$ V$ y9 p\" ]) e* m$ |
    
18. ) k! j& @- E, H. Z6 e
    
19.        end
    / x' h3 r\" o7 a2 [1 ~& d1 H
20. 
    + V7 }8 u5 y- J- ^9 V
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    6 |8 Y5 K) O1 R$ ^1 J6 z
22. 7 J3 g6 ^* ]9 M  z' H( ~; a  C2 q7 h
    
23. 
    4 }, \. t; q' J; E  q
24. 5 c, ~4 L' W9 q# w
    
25.        for i = j+1:n
    5 `\" n4 s$ ~* [5 i  Z9 g
26. % W- Y& i/ `- w* w6 i
    
27.            sum2 = 0;
    9 x1 g' h2 [2 q. ^0 ]( Q
28.   V0 I! k4 }7 q+ `; d
    
29.            for k = 1:j-1
    7 N; b4 ?: }; F3 Q  h3 g. \
30. 
    - F4 B' \. W9 ]  X( w, U
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);) L; B) H' e. o1 s7 `
    
32. 
    . |3 ^3 U- f0 R! z- r4 M; F
33.            end& `' ^8 v. w( I0 g8 S/ U2 S1 i
    
34. 
      Y# R6 J4 L4 [$ h5 g3 M
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    3 ?, {2 y\" L5 ?! @, U' p  t: V) q
36. ! ~; d  t% J' W0 g; j! X9 k
    
37.        end6 @: z* l+ t, H9 f0 y$ ]\" u
    
38. 
    ; m. t0 }. L; b7 p& J) {0 \- _
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。

2 d! p! q5 f- x, T- E2 T" f$ Z% [3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);* W7 J! g+ e- \9 d3 I\" w) c
   
2. , l& J! Q  r' f2 R3 d; B+ I
   
3.    for i = 2:n4 b+ r6 e' p: ]2 |1 |( p+ Q0 U
   
4. 
   1 F1 c8 C: f* f- Y1 a
5.        sum3 = 0;
   + w4 U7 `/ f, b
6. 0 G1 W: S+ v\" ^. g6 G
   
7.        for k = 1:i-18 V) U5 m. e; p$ ?/ s
   
8. 
   ! o* s$ {( @8 S- e: R* d/ n/ w
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   6 i/ h5 s' i) }8 V. y! m* S
10. 
    . a, }8 W7 k8 O3 F  ~% J4 c
11.        end/ q0 [. O\" j+ o+ {/ M0 G
    
12. 
    # g. r6 _% N, R% S# r) `& z, R
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    3 k5 T5 l- z- Y3 U; z( }4 P
14. / J6 J2 y, |9 b. {2 [
    
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   # l2 \. j7 Q# d\" M( e# h
2. 2 r/ h: c$ q9 a3 J
   
3.    for i = n-1:-1:1, o3 v3 Z. t$ j& e, f/ n% Y6 Q2 L
   
4. 
   . Z0 B0 Q) h% q1 o. G- A
5.        sum4 = 0;
   ; V$ B& I/ `) {
6. 
   ' z  q6 Y8 b5 A7 x6 t( {5 b$ k7 H4 R
7.        for k = i+1:n
   7 A7 K( ~& u& F6 n8 _7 u
8. 
   0 ?: `* [' A( W\" l; k+ V1 I: i
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   4 b& M. _3 H7 v  d5 U  r! M
10. 
    9 q5 _4 P# ]1 Y0 t! R% \4 {
11.        end
    + f7 G* B9 J! U' u& \, E, E
12. $ z/ [4 d; I. D  e% D4 d
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    # ]\" _- s  q/ W# A
14. 8 |* c\" d+ R. C2 l& w1 g
    
15.    end

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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：
9 Q) a' M3 P  p; `- J0 X1 n
5 `% \8 Z# z8 ?' f5 @$ X5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   / k- T6 ?' x8 F8 D# k5 ~
2. 
   , P1 D6 x+ |( ~; Q' a  w
3.    for i = 2:n0 Z3 K3 w- K* v; |# s\" l4 r
   
4. 
   2 T6 n- I5 X# F+ h1 t7 f
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);3 `6 u$ q6 b* U
   
6. ( [7 y/ M- f7 d7 ^
   
7.    end6 h+ E' ?9 r; z( J0 Y2 O, w
   
8. 
   7 G! k: J+ W5 V
9. 
   , L; _# E: u8 x' R- @. ^7 y
10. 
    & [% i$ I& N) c; i) n6 ?
11.    for j = 2:n
    ; D3 c1 x  w0 G* @\" R& a/ |
12. 0 O. y+ f, I3 F6 L- X+ r- j4 g
    
13.        sum1 = 0;
    4 s8 i8 t. d$ `4 [. d# J
14. 7 N* x8 Z7 C+ v  D
    
15.        for k = 1:j-18 h. R1 X$ \/ b5 _; V! `\" B
    
16. 
    # n. f& \% `- U1 ^7 r
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);- @; o1 n3 q0 q9 v' J2 S
    
18. ! E+ w7 O0 K( R+ d$ e2 _. W
    
19.        end
    ; |$ k# |! P$ E
20. 1 u7 F) O  T/ j- B2 N- X9 B9 u
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);6 m0 `; Y2 C* a) F
    
22. 
    ( ?4 ^. ]; ~$ ^3 W
23. 
    7 O. s( G4 Q) i; o
24. / K\" R7 _; E4 W1 e- n
    
25.        for i = j+1:n/ L& q8 z: l3 @( J* B! Q
    
26. 
    . T$ j; A! Y+ h# i/ w\" y0 `& ^
27.            sum2 = 0;: r2 H' l7 r% y7 _  f
    
28. 
    $ {0 A5 _4 F$ p\" E3 z
29.            for k = 1:j-1
    7 v% g  j. U9 y% d! \
30. : \4 u- r9 j# n4 ]; o
    
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);9 F1 ^# B+ d5 r
    
32. 8 j$ _+ b- j3 p
    
33.            end
    . [1 y# K5 {+ h  O( e+ k; |2 W; e
34. 
    0 q* d$ i5 ?* L6 h6 }. X
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    % k2 H$ x7 J  w4 I- E& o' J! ~  I/ y
36. 
    7 {6 A8 [- }5 k# J& }' K
37.        end
    0 f7 u' W! Z5 Z8 z; X  x/ X
38. * a+ l- v- x6 o( v
    
39.    end

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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。
  {, w7 @6 @$ o/ g/ c: W" v3 x' ~8 J; R5 ^
: Y9 w: Y# b* J- X) T1 n6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);
     A9 C* d$ S7 _3 X1 m
2. 
   \" z\" a$ ?) M' L& `& e2 |9 `& W
3.    for i = 2:n9 M\" _' Z6 _2 K
   
4. 
   + F8 w6 u8 ^: f* J6 `) R( b
5.        sum3 = 0;* b8 L) b4 l. V5 T) r. o
   
6. & o' m% t* Z2 s9 e0 J6 R
   
7.        for k = 1:i-1
   ) I- [$ @: J+ M% P; Y; K) V7 s; |
8. 
   + Y5 K  O4 V( J# [8 q  F. s0 I
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   7 Y0 G% K4 d( k: Z
10. ) B$ `: J. A+ k. w- r
    
11.        end
    / f. h( V  H% c
12. ( F6 T5 R  f; O; O
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);2 H- Y% v' B) K' O3 V
    
14. 3 d+ ]$ f& ~! I\" t
    
15.    end

复制代码

在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。
8 X7 J5 V4 W$ C' K
7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   \" k\" U1 k1 j5 o\" D! [# I5 E5 n; W
2. / B3 B0 \\" J1 R- u- K
   
3.    for i = n-1:-1:16 z: W9 r+ a  s$ W6 |1 M6 w9 W$ T
   
4. * g7 E- \+ K& D: l0 B
   
5.        sum4 = 0;
     L1 S8 v/ H\" v: I2 S! K, F
6. 1 q% _) v. }1 k
   
7.        for k = i+1:n
   ( ~2 F# r\" m; h* }' _, g% T2 F
8. 
   \" M2 O3 l1 t6 T2 n) U% G
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   ) \, ]0 W: |; W* x) E
10. 
    1 N$ v$ x) u7 t9 w\" X
11.        end3 T: {0 V& p2 {* }
    
12. 
    ( G\" c1 c0 k; ~, |
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);  s5 g  H; ]. F. _4 m
    
14. 
    ( n9 M% ^) Z3 T0 e: @
15.    end
    # B) Z' L! _0 o7 S$ h: y
16. 
    2 c( i3 o; \- n/ I

复制代码

在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。



8 n* C6 |  a- o6 W3 B- @1 e