自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
7 s( B- [9 o/ ?6 q. d3 @函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
" e3 [0 E9 ^. n: f& W9 f函数的主要步骤如下：
! B( N1 A& ^: E: J+ ^
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
9 j4 t. ?8 p' [! T" q: B0 w3.将步长 h 更新为 h/2。
* G4 d( X0 o# y. J! P  w9 D& {* @7 I" Z4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
" q5 M; ^! E; \
; b! o( X6 @7 T8 y! j9 U( a这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   0 h4 b/ q- R* Y$ c4 R! u! o2 ~
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   + ?( j3 e0 ?+ E  j0 A
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用+ f. P0 m6 w: A, o\" S
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   . `1 @4 B. v) e1 N$ ~- o# q7 k\" A
5. * @) ~+ U+ i) p5 j4 `1 t0 v6 w
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解  G2 m6 ?8 y& |) E/ ?4 c8 f% x- M
   
7. k1=f(x1,y1);
   8 v$ ?2 d\" U4 W/ R. L% Z* A
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   ' j& l6 j% R) L- N; `& B5 ~( k
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);8 L9 u* z5 J6 ]4 K& J2 g' P) q
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);! b% F8 V* d' [# k, f
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;: o/ ~6 I  g8 N5 Z0 B
    
12. 
    # w% G% h9 d$ _# }1 r3 z
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    \" G% i! S/ N! x\" c5 W+ U
14. h=h/2;
    $ I) k% V! ~7 @+ G
15. 
    , L2 @& r/ J! R+ V' r
16. for i=1:29 l6 z; a% Y) X- N, j
    
17. k1=f(u1,v1);$ f- ~) s1 A' y& m! |, T
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    ; h! {0 V# x$ U% l6 A0 ^: G
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);7 O- T  R5 r. i! e\" L5 T# Z& |/ i  g
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);8 Z# N: `* _* W6 [
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;\" i( q. s\" v: p) F1 u\" ?, ]
    
22. u2=u1+h;7 u$ }: i$ _/ ?
    
23. u1=u2;+ X- Y, }3 U0 D' g1 n
    
24. v1=v2;
    . q8 A3 d2 |* J; Z% Y$ r
25. end0 e- I% T8 d3 z1 e\" ^! z
    
26. 
    5 K4 a\" l! A: q# l. S9 B! r
27. err=abs(y2-v2)
    ' z$ y. n9 l- l8 [5 M6 D
28. 
    1 G4 v% a7 Q$ I  B% p* m

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