自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
1 n) E, q: {. C3 R- U3 V9 `. g函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
. I$ T4 `0 J! {) q# {  |) i( L函数的主要步骤如下：

1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
' e% a- j: z2 n& f3.将步长 h 更新为 h/2。
) i! a) Y8 l8 }7 k- w$ ]$ o4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应. }; Q, ?# |5 U
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   % d6 N! y, C/ ]. s. Y
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   : O- F+ x0 ]1 Z
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   & H: X. m7 p; v5 T  F- F
5. 
     t: i. t: y$ P3 l8 D: s; u
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解( K* \2 o9 a% n: I$ z- i
   
7. k1=f(x1,y1);% E7 H! O9 V3 ?- W( O
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   - _5 t. h) ~1 @; o
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);$ n7 i# Z\" _( r
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    7 F3 T1 g# J7 n  o
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;4 k/ L+ \2 C4 L; n* u- d7 b0 ?, H4 P
    
12. ' A7 L. S0 U7 Y8 N1 Q
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解- q* G# i2 O% ]
    
14. h=h/2;& Z' i  `/ H) O% r8 J/ a6 W- ?
    
15. 
    ; U1 |3 k5 r0 u( V5 A. B% H
16. for i=1:24 {! t5 M2 N\" ]- w. O* a0 F
    
17. k1=f(u1,v1);+ f: O5 A) R7 W% G. ], k; p; h- q
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    4 X# ?$ X& B8 ?- e
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);4 e$ {  j6 M( a4 T& [: g\" i
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    % Z. R0 s& u\" w\" X
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    , a6 S( I( A0 k; k1 \
22. u2=u1+h;
    & `) n0 ]: e& @5 \7 m
23. u1=u2;
    ! G2 `1 j0 g* ^; t
24. v1=v2;
    - E/ ^* W4 R1 e3 b6 `9 T& Y7 W  [5 R
25. end: ^, R2 A# x( t& v8 j+ z: P
    
26. 
    6 u, K6 m' v9 h) |4 K
27. err=abs(y2-v2)' J2 I0 n& m+ g) V1 o9 p* m
    
28. 
    + b2 `8 Z( `, _

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