自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
& c2 @* }% `4 a# ^) F函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
8 _. Q1 R, _7 V3 s/ h) r函数的主要步骤如下：

1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
) V/ G& T" ?% y) p8 a' @. ^5 }5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

9 L! K, W# j# N6 m" c  l% D- L这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   . a# w, }% q0 {% J
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   1 M. h0 K' ~' M
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   $ `: w$ W8 r6 W
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   & x& O! X1 n3 x/ E8 S, P4 o4 M, n
5. ) Y  l) x& O% K
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解& h: Y8 m, R9 H! `% N& V
   
7. k1=f(x1,y1);
   : H. `# z1 Z' I: h* R( Z
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   8 G: o7 I/ S/ b5 p; E$ @2 f\" c
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   0 i6 n1 s( u, F8 z$ F# m
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    ! t) U6 {& K1 V5 T/ N% c% w7 v* c
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;7 D/ h* [1 d\" O* H\" }6 j9 [, p8 Y
    
12. 
    $ n! d9 l3 b0 `* F
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    $ Q7 E' t$ L) h
14. h=h/2;0 z$ n0 |* ?7 t  O. K
    
15. 
    / b' z6 _* B8 O; \
16. for i=1:2& S/ d, N. b9 D
    
17. k1=f(u1,v1);
    ( I9 ^4 ?4 F: J0 K
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);8 o: K& Z/ h  Y
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);; o- V) b( `- X1 K
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);$ O% v\" b2 H7 j2 _9 R
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    ; v! X8 X+ Q2 [5 w- w0 ]
22. u2=u1+h;
    / x# m, s$ D9 y6 V
23. u1=u2;5 D, ^2 D  J7 w5 [' }
    
24. v1=v2;2 x$ {8 {+ E1 }0 B* L7 J
    
25. end/ Q- Z( a+ B- t\" H+ K8 t0 m% O8 B
    
26. 
    3 ?- }& N' e+ g6 g; E2 O
27. err=abs(y2-v2): r  w# |; Z9 Q$ G! I* @
    
28. 4 x' i/ r# \  J2 g6 }
    

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