自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：

1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
- T% Q+ S9 F. R% I$ w  ?2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
0 A7 t3 v5 N3 z, P7 u! h3.将步长 h 更新为 h/2。
7 `" P0 U( h  d6 g  Z4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应9 K$ P* G# e3 l0 S) T) |
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   ' j# b# ~+ I\" |9 a5 U. S
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用5 T6 e; G6 T1 W( R2 N
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   * X; ^/ ?6 A4 L' q2 I
5. 
   7 i5 c\" Y0 f- _+ U; T
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   - d; V2 M5 V. R/ Z
7. k1=f(x1,y1);, `5 m0 z; y4 U
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);* R: V) ?\" J5 D7 L1 V: |! ?
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   \" w\" W7 d7 a. V( k
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);2 q* w) m: O) z
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;; w: c* V- [* {: k* ^
    
12. : H: v- I2 _8 ?  ^. l- b
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解# ?; W2 {0 D' ?  u7 i\" H+ A
    
14. h=h/2;
    2 D7 h2 ^5 u5 y2 U
15. 
    # P. z% @\" B# p! ?1 M2 I9 ~9 _
16. for i=1:2( @- j! s4 F3 g, m/ E6 p9 M5 r
    
17. k1=f(u1,v1);
    \" F. h4 P# Y! \\" w, u2 p* o
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    . x7 w# y7 S( ?! b. A3 X& ]2 ?
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);: i\" i! N8 p$ q0 C- j( {
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    & d+ R3 R9 F+ Y1 W1 z; q4 p
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;% j; O4 }7 N2 ]: X; s
    
22. u2=u1+h;% j! @6 |; ?5 `) F. k+ Y
    
23. u1=u2;- n& J1 J: w6 n( z& D: _
    
24. v1=v2;
    , Z5 r8 S9 E; B; t0 S1 Q+ {% \
25. end& o# u$ L. J  N9 a0 @
    
26. $ {9 \; z3 P0 j: y8 ~
    
27. err=abs(y2-v2)
    $ n0 y# \- d' u. i
28. ' B  G\" }( _/ i2 g: N
    

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