自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
) V  T1 v0 Q9 k% ^8 F$ e; s函数的主要步骤如下：

1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2 y7 n- B( {% `# }2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
0 |  u- c( \; M5 r# e3.将步长 h 更新为 h/2。
$ ]& L. [$ v) p7 A4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
% _8 Q+ y8 m. s) H# ]$ n9 G3 w5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
* g% I% g% ?$ D7 }
这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应6 {* B4 t3 _5 b\" w9 D0 b
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   . @2 ^) Z7 v$ i& i- M( S
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   4 s, _, b. y- R+ J\" r4 U
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   : d' K- I) w, B8 K\" c8 @0 N
5. : j& R) _+ }5 Q\" a8 i\" h  [# x( N) h
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   / R/ R% c2 Q+ W( q  }
7. k1=f(x1,y1);  z9 r+ J% B9 K5 N' _1 m
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);+ l: n, c% ~- L3 T. L
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);+ G/ F1 V: D3 \% A
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    . C\" g$ u: H7 ?; s* D
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    ' W+ Q; U; W6 l# W, I  j
12. 8 J5 S7 }\" r; }+ g
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    9 ~, [6 }$ l$ Y
14. h=h/2;
    2 V: u* T! a( r1 t2 p2 _- Q, K
15. 
    7 J0 k' B; \+ O
16. for i=1:21 N  I7 y; Y) M3 g) z% J8 W) g
    
17. k1=f(u1,v1);
    2 x5 v\" x8 H1 G9 T
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);! ]1 J8 K! v2 v\" D% ~
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);0 v5 [9 q6 d0 o% W\" E: y
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);, k% K* d$ u3 f7 z+ Q! f
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;$ y0 T5 l2 ^/ o* D8 ]
    
22. u2=u1+h;
    . t$ U  A8 I( E8 [
23. u1=u2;
    1 Z6 f( j3 K3 S! ~% `
24. v1=v2;
    1 j8 `; Y: l  U1 C
25. end6 V4 x2 t4 ~5 U) \; ?( b( a
    
26. 
    ! Y4 c% W% L- {+ G& L6 b8 I) h, x* E
27. err=abs(y2-v2)
      V- H$ K! [$ ?
28. 
    ( A1 E3 M$ G% s4 H. V5 n

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