自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
! G8 O" E! _4 G; q函数的主要步骤如下：

1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
6 g% V& ?$ K* @( K' _3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
" i8 n5 N0 u$ l1 g" W- [$ p& b1 c7 c5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应- s) L# n4 r9 C
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h) ( m, X- A; U8 W; L! Z
   
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   9 d, w' r0 K3 J& z
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   + ]2 d; u* M* w) D2 b
5. 
   : u\" f4 n3 X' U1 [
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   - ?& x' Q2 E7 D, d1 b5 {
7. k1=f(x1,y1);4 \7 a' P; J; h; ]' O, m) H\" {  K
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);& [7 t: N! G# h4 ?
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   ! I$ p; x7 t( a! J\" T2 q4 j$ z
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);% U0 R5 @1 t5 @/ J. v' ^! A
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    - ?+ ^) G  z, H: g/ q$ ~
12. 
    : H: a' L/ v; l2 x1 [7 r/ H
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解9 H* q1 q3 O# ]; v3 O* I
    
14. h=h/2;
    ; e6 D: z3 k6 v) A3 g) o0 q
15. * |$ D9 r0 O. E9 @
    
16. for i=1:2
    & f+ D% `$ K  ^
17. k1=f(u1,v1);
    ) T+ E& f# Q\" i: O9 V; h0 {' ?1 p
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    : E3 @% I- ?. `7 M4 R- ?
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    % {& L. |: s- S
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);: y% T% i9 T5 g4 n\" m
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    + o$ N! j  Z! r+ r$ J. p/ x4 q% f
22. u2=u1+h;/ M# J1 C$ P6 l+ s: Q
    
23. u1=u2;
    4 T! O1 B/ f9 ^2 J, U
24. v1=v2;. R9 L! ]/ v4 i+ h7 r
    
25. end\" L/ |* D# y5 }1 {' Y' |4 i+ J
    
26. 0 X& `! X& ~$ r\" u4 x7 e+ q2 B- `
    
27. err=abs(y2-v2)
    ; r! U! |/ H3 }) b) A  ~5 P
28.   Z  x- Q- Z: \1 C
    

复制代码

8 b) e+ S: u4 E1 Q