自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：

1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
) U  M7 R" ~0 B4 L6 l4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5 I7 D. P3 J3 Y: U9 E( R: _5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
  G1 ^7 W8 L- {" _  z+ h% F, z2 D
0 n4 p5 P6 @. K; F: B这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   6 t0 ^( s: m  K+ |/ @: A
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   6 I6 Y0 p! g; Q& `4 z
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用: J3 {: c* Q, \4 ~
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   % Q7 H/ Q. D5 {0 `) k8 `
5. / f- ~. }+ S3 J+ [: X7 z1 e
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   - z- }/ S/ W/ @, x5 M) ^) k, t
7. k1=f(x1,y1);
   . L) G; i- A( n& q2 q' C
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   & e/ ?9 N! n. Q. f\" M8 f
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   5 D- r  _( E) h+ X: k
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);# D8 K8 F; P2 t/ F
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    * D0 D+ C- @9 ?! G6 y
12. 
    0 a( p\" V# n* o
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    ) ]# X( z- G! o$ ~1 k1 I1 D# l
14. h=h/2;
    ; M/ M4 G4 T\" S, U+ ^# G
15. 
    6 E+ D: ?- w5 b0 H& h. R
16. for i=1:2- e9 d6 r0 c+ {+ b) L, J
    
17. k1=f(u1,v1);
    , u+ |0 j3 B8 ~: r' J
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);( |/ _( H+ h3 K& y9 E
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    8 v7 W6 D  r! ?6 G0 p+ l) k6 e/ N9 l
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    ( Y+ y$ ~$ k5 L. A  E) L
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;0 d( z4 ^; c4 t2 O# g  p/ w
    
22. u2=u1+h;- C; ?8 ]4 u2 x
    
23. u1=u2;8 |! Z, h2 D9 e' F# T( Y
    
24. v1=v2;
    , g; I' G3 h5 c8 s; o4 N2 l# Z
25. end1 P\" ^$ {5 {0 ^* n, r5 E
    
26. 5 b. O$ H! |0 E4 B\" Z
    
27. err=abs(y2-v2)+ S& c' [6 R7 ~5 M! S: B
    
28. 
    ) [2 E7 G& R- o) G

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