Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
! u: z3 K1 F0 N4 _* g9 T! h9 |以下是Kruskal算法的简要概述：
/ X& S$ E$ \2 f5 \5 O9 t+ {
# y$ B6 Q" b6 h" J7 _/ b+ h1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。

! {! }+ V& Y! H以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:; ^5 B1 c2 z7 ?5 M+ c
   
2. 9 t, W1 L, Y: E( p$ ]( b\" D
   
3.     def __init__(self, vertices):8 h- L/ ~* Z' X  S/ T
   
4. 4 [3 c8 Q- |$ ?- U' h! @) ?. {# D
   
5.         self.V = vertices
   7 V9 w) R0 B4 `  x5 h
6. % v, h% O& |! j8 o3 B. a. `) [
   
7.         self.graph = []! P) [1 Z; O4 M; Y4 ?9 `- Q9 b
   
8. 
   8 y: W\" i! R7 U! Q
9. ( [: q9 @( S2 N/ v$ M
   
10. & F) H8 c! ]2 D$ i# e) p6 e/ s
    
11.     def add_edge(self, u, v, w):$ @' Z5 J! l. T% M: [% F
    
12. \" j$ b& k\" l# Z+ ]. {
    
13.         self.graph.append([u, v, w])( e9 t5 ~\" N! X/ A8 \) u
    
14. 
    5 p\" B, \( O, P  Z% f
15. 
    ; |5 F. C- O* Z0 K
16. 
    # b- T1 L: z' O
17.     def find(self, parent, i):* @' ]7 T, P8 D' y* d* M% @
    
18. 3 `' L+ l/ v. e: @/ r\" G* ?
    
19.         if parent[i] == i:
    , m; G4 Q! F2 Y6 Z7 C! z/ i
20. 
    4 K4 [2 m% R5 h0 ^. j
21.             return i
    2 G8 ~$ n5 X( `
22. 
    $ v6 ^8 \  J: t% `1 x7 x! @
23.         return self.find(parent, parent[i])
    ! c\" F+ e; U' F4 o/ O$ U
24. 2 ]3 D0 e9 @% v2 ]. j( A! E. @
    
25. 
    $ b& t9 _+ w2 U) i' }* t7 e  q
26. - p4 z  F: r' x* O3 y- |5 j4 \
    
27.     def union(self, parent, rank, x, y):3 u; L0 j+ G8 N2 B5 G& B
    
28. % H. L* Z5 E2 l. m5 q0 q! j# M  F2 `
    
29.         x_root = self.find(parent, x)
    6 D/ u- R\" C' y\" e. j+ N& q5 ~
30. - B7 d' o$ {! l; P; D
    
31.         y_root = self.find(parent, y)
    ; p. }; T5 ]$ h9 s
32. 
    $ H% X. I0 c2 I2 T) v  h  ^9 g
33. % R- k% O2 Y7 K' Q& f  P
    
34. 
    5 l$ o8 S- c) ^
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:
    % ]. E+ t; f5 {# ~3 l
36. ' l, R7 p* h  O, v6 Z; Z; t+ k
    
37.             parent[x_root] = y_root- H: k5 g9 O/ A1 W! [
    
38. ) c( {( B  I: Z3 t' G+ {) [3 w$ F
    
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:) X8 v8 t& x% u% q9 @
    
40. 
    . N' L( Q, K' e
41.             parent[y_root] = x_root5 M5 @3 {. H( l! J% c# k
    
42. 
    0 M) ^3 M8 c2 M( x8 |( F7 G
43.         else:
    ; K) ^\" y: g- A% U) t
44. - X, v$ j/ S2 J( j! y7 v) ?( q
    
45.             parent[y_root] = x_root8 t; m! e, h, B% J
    
46. . @/ T( Q* f7 v+ w6 `
    
47.             rank[x_root] += 1% }) v' p) R% Z/ R2 a
    
48. 
    % l5 `1 ~6 A3 e! k  V
49. 
    7 h& m, W; a/ U$ K- [( {$ r
50. 
    0 ^7 @  O. [8 a' j
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):
    + [, P& E8 o# ]* w' ~! U* T
52. 
      Z; Y2 R\" [/ c  r# d
53.         result = []
    % M. w, q; Z9 W' W; X+ h- I\" Y6 d
54.   _% i1 {! r' m/ r7 w! q; b9 p
    
55.         i, e = 0, 0
    : Z6 A- }. K3 R( M
56. 
    $ g4 u\" Z2 Q1 I% w! g: W
57. 
    8 q+ _8 G. w$ j) A: T0 W- {7 v3 l
58. 
    9 W$ ~6 a' o1 ~0 ]: a* q8 V
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])
      M0 k1 D$ B7 W& P8 G
60. 
    & I  K* d7 J, d/ x( }+ W$ K
61.         parent = []: v! Q, r# b* J
    
62. : l; }4 x% Y\" b% Y3 g) r( P  Y( M( V
    
63.         rank = []# e4 h. V( Q% I  A& ?
    
64. 
    ; ^& V7 `, v0 [8 }
65. 
    ; A% K/ o+ N3 ]% a  C6 g
66. ; B% p9 j! Q- `1 A. h
    
67.         for node in range(self.V):6 C7 h\" C, F! {) f& L& K
    
68. 
    ! D0 C: ^% V\" @/ U$ R
69.             parent.append(node)
    ; Y2 j: C6 B/ x: T2 c$ L2 m
70. 
    9 L+ V5 O+ g+ N
71.             rank.append(0)
      g& l3 E& O' ~. I, @% P+ t
72. 
    . A) R/ r' u( T0 R
73. 
    # }. a# e  _8 J1 E  |
74. 
    1 N  \2 d1 e6 o4 L3 N
75.         while e < self.V - 1:. x0 |0 F& s* T7 a$ @
    
76. % q: f' F: H9 ]. {. t! K$ O0 }
    
77.             u, v, w = self.graph[i]
      u% M$ d9 S7 T% v\" V
78. 
    + \5 l/ Z* [( ~( [6 Q7 i
79.             i += 11 M0 d( n$ Z- i9 [
    
80. 
    $ t( f* N0 X4 W
81.             x = self.find(parent, u)& _% K, Z$ X3 T. L: x) y0 D6 F
    
82. 
    \" b! U! {8 ]9 D9 n
83.             y = self.find(parent, v)+ G+ f+ g1 Z' G2 [, y
    
84. 
    ; p) f8 ^7 g1 p# v9 c
85. % j' x/ @3 _% e0 [  _# E
    
86. 
    1 W  o: ]8 I/ o3 W! A; b$ s9 q
87.             if x != y:/ q: S; Y3 ?\" ]1 u: c% V
    
88. : _7 Q$ v) E& t' \% T
    
89.                 e += 1
    ; h+ ~( e) f) b* C. M/ `7 n2 L
90. ) s1 _% X2 L7 v5 i& t; w; l7 E% R
    
91.                 result.append([u, v, w])# A1 D; S$ s; }. _8 u' v
    
92. 
    ; N# [/ x. q- ^. g1 s
93.                 self.union(parent, rank, x, y)8 j$ R: d+ O\" ^( n( c
    
94. 
    - I( Y9 L) i4 w8 P% v
95. & O  [# x1 v0 z6 }! u, p! A
    
96. ( b5 p7 h$ V+ w; j, T1 C
    
97.         return result1 |# s\" C5 @\" a8 r% B
    
98.   A1 H\" r( F0 [
    
99. 
    \" {- A, P2 e$ M! ~% |) s
100. 6 W/ r0 n8 G6 f5 h5 ^1 F
     
101. g = Graph(4)4 B$ m# \+ X+ U- P5 A
     
102. 
     ! x0 \- _$ M$ C+ `/ N# p% Z% W
103. g.add_edge(0, 1, 10)
     ' h. ?8 {5 v: T# U
104. 
     9 q4 z\" u+ f% @( Z7 Y; H
105. g.add_edge(0, 2, 6)! B& F, D0 z, O$ p& E! u4 @
     
106.   z' l, N/ R) |
     
107. g.add_edge(0, 3, 5)& ~. O\" {& _% L# K$ A
     
108. 6 G- K9 B# S. p. G
     
109. g.add_edge(1, 3, 15)
     + [6 C' T' b; C1 V( I\" n
110. 
     4 g/ D7 t& r+ }+ v& o0 T
111. g.add_edge(2, 3, 4)
     $ E\" \\" ^7 Z0 ~9 }1 y. R: }0 E
112. 
     2 T* Q/ U3 H) S4 I
113. # x' D% q3 W+ l/ Y0 l\" L% _6 q1 Z
     
114. * D$ i+ I( s2 A$ {0 ]. Z
     
115. print("最小生成树的边:")
     % ~+ c' P9 I! X5 p
116. 6 B0 H7 n5 n' D; l$ g2 Q9 Z
     
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。

* X- V& l4 \2 k9 {, s
# g0 W$ e% |: f