Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
! i; W. u, x4 s! z; B  E0 K7 v以下是Kruskal算法的简要概述：

1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
3 u3 U) m3 W! M9 \3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。
3 `( O: m; Q% F6 V( _% t& P) x
以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:4 H( x$ o8 ^- l5 i0 j
   
2. 8 l( D0 e+ M+ p5 l# s2 C1 }
   
3.     def __init__(self, vertices):
   & ~  b7 Z1 U) [% h# ]/ q\" p
4. 2 R( B* X  c# ^% \+ e
   
5.         self.V = vertices6 Z; t; R+ c! Z
   
6. \" j4 D. h4 [& }, D$ C
   
7.         self.graph = []
   . o& b/ L( O+ B; D1 u9 u
8. 
   / }7 e9 G% D* j$ @2 p) r* G
9. 7 F6 y5 e% F+ _6 H  W, s  C
   
10. 
    8 h- T1 ~7 K0 F4 E
11.     def add_edge(self, u, v, w):
    \" j* e  Y' a4 c6 {% q
12. 
    % a) k- X# [4 ~
13.         self.graph.append([u, v, w])
    # s- N# U, L# \+ ]7 C8 r# r1 ?
14.   z, M1 m& |' F/ A
    
15. 
    ; m% x$ V% M/ J6 i# Z
16. 
    / o- W2 O0 R* w7 {+ W\" R
17.     def find(self, parent, i):
    * r* c( G' P/ N) p' {
18. 
    + K% R, M9 C8 q) W
19.         if parent[i] == i:  N7 R6 q! G. C) R1 p+ S# f
    
20. 
    8 x6 b$ X$ T: c* N* G8 u+ o5 \  y
21.             return i  H+ u7 H2 L6 N0 }1 g% Q& Z9 ]
    
22. 
    9 C6 T$ T4 I/ V' s* W, _. [7 ?( F
23.         return self.find(parent, parent[i])
    5 U/ E( k/ k. {+ Z0 o
24. / S\" F: Y# U* p. I+ I! J( B) k
    
25. 
    ) ~! I9 ^- O6 o7 t
26. 
    ' s9 X4 [$ h- V$ j1 a! a
27.     def union(self, parent, rank, x, y):
    : `% Q& ]7 o  I5 Z
28. 3 P% M1 u5 R8 i  f, K+ ]0 `
    
29.         x_root = self.find(parent, x)5 L3 x; y; u! r6 g2 c* z7 |9 ^
    
30. 
    4 l- W$ ^9 a, m9 ]
31.         y_root = self.find(parent, y)% C3 U, j& f. ?  E  h
    
32. 
    7 S% g' ?  O. _/ H; t% G7 j
33. 
      e! Z+ i( t  y
34. # E9 b; f. R& j: N  m6 Q
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:
    $ G  c5 T5 l& G! Z' N
36. 
    / _  m  y8 s( k4 L1 v# H
37.             parent[x_root] = y_root\" z& H% e1 R8 G% O( b
    
38. # I/ i, Q& b6 M2 z
    
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:
    9 r9 U8 E6 I3 H; I* ?
40. 7 C  F. c, v, s* \& v1 @
    
41.             parent[y_root] = x_root
    2 S5 C) T' P- M. ]+ p2 ?% _# Y
42. 0 @5 N( M7 ^+ H0 ]4 v
    
43.         else:( t* y; v  t/ k0 q, v
    
44. 
    \" c8 G# y% z& u\" ^+ \& m\" W
45.             parent[y_root] = x_root# ]0 {4 J& d& _  L\" J
    
46. 
    8 }+ j4 [7 {  \8 Q6 e3 Y6 O\" i! n
47.             rank[x_root] += 1) d# W) T0 x- E: w1 R6 w+ H0 P+ A* Q
    
48. 
    $ ?3 n) }. f6 i
49. 0 j9 k0 f% i% Q! {8 r5 x3 q
    
50. 
    6 W# p  h( H( X! b+ r' V' b
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):
    6 p% `7 F; q/ Z  f' F
52. 
    % N; ^4 V' C0 i7 u) n$ X  [2 w
53.         result = []# `& W: Z( {( @3 a+ A0 h, }\" _9 A& O! _
    
54. 9 E6 h: \1 b' i/ |\" K
    
55.         i, e = 0, 0  n7 @: f0 R: |- H\" v4 H/ i
    
56. 
    \" x0 P4 Y  e4 C! A
57. 3 y3 U/ {5 i\" I- E6 r! c
    
58. 
    + t4 U: Z- @2 q2 p
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])
    + V3 A7 l# K8 r7 i
60. - ^2 e# G4 l! a0 h0 V7 g5 D* Q
    
61.         parent = []
    8 B, ^# K6 k: ?% J+ _% g, n
62. 1 a% h4 N$ P. @3 [0 i7 s# D- L) L
    
63.         rank = []- E, W+ _1 v# @$ p7 g% Y  x4 X
    
64. 
      t/ C2 s+ t4 v! J3 g! Q
65. 
    2 n3 b$ ]: z' `8 v5 {2 J
66. 
    ( k0 x. s8 J5 N8 [4 Y0 ]
67.         for node in range(self.V):\" N3 c8 f6 R0 L5 t; c  F) ^( ^
    
68. 6 l6 B( R0 Y: `- q
    
69.             parent.append(node)3 }+ Z# l2 x, P8 g; ]* m2 d2 J1 c
    
70. + {' f# U  p) L
    
71.             rank.append(0)# }/ ~  @( B$ v
    
72. . C/ G4 q* @4 [; l- x
    
73. ) `! X. i: U4 `; d  g( B
    
74. 
    ) Y+ c3 _/ s( p, A8 e: J, A0 K
75.         while e < self.V - 1:2 Y  [+ Y/ M: f0 K. W  e  y7 G
    
76. 3 m) V6 k# Z' a$ Z5 {
    
77.             u, v, w = self.graph[i]0 ^9 s2 D% [' |: g
    
78. 
    # }\" Y! p\" V' K3 r
79.             i += 1! t+ H, Q2 o; J
    
80. + C$ {1 B5 F' S8 i
    
81.             x = self.find(parent, u)* `# F* v9 B# i. G4 e& n. Q
    
82. 
    ( k9 o\" {0 O7 P4 h# _$ [8 s
83.             y = self.find(parent, v)
    & M  P( q% @' \: {+ A
84. 
    0 A3 ?1 r  n/ o' n3 y: \6 k$ \
85. ' V# Q) q* B\" l( g# Y, B9 ^# d4 E
    
86. 
    9 }& x\" q- s! w. g3 `; ^  s9 d
87.             if x != y:
    2 Z, U3 A. @( U, o
88. , L- `! {/ h: t; j% Y& |6 W
    
89.                 e += 1
    3 q% {0 S) [9 S  q0 [
90. 
    : h4 }1 R/ ?( q. l7 L: |+ i. |
91.                 result.append([u, v, w]). v$ M' a) c/ ~: M- _
    
92. $ r5 ?( O, R' |7 j! o9 D7 ^
    
93.                 self.union(parent, rank, x, y)
    7 X- L8 u8 d/ H' o
94. 
    # [4 K/ w$ a2 p0 @( c
95. 3 c6 v\" K, U. c1 c6 a& t\" I
    
96. 
    6 K$ L6 E' N6 i# T. L. z
97.         return result
    ! e# W$ W' L3 X0 v; z4 U
98. 7 Y\" Y; [6 `) T& p; m3 r  M
    
99. 
    ' V\" I3 {' Y( ^' @+ G$ @
100. ! W2 H$ C) R& h- n; n
     
101. g = Graph(4)1 m& }% |, G: g4 J
     
102. 1 _5 B; r8 X& W  n0 z- J2 |
     
103. g.add_edge(0, 1, 10)
     3 z1 Q8 W9 E& _8 I3 h
104. 
     4 ?2 b. l1 J: N$ [& Z8 o$ S
105. g.add_edge(0, 2, 6)9 t* Z# k1 t# l( @5 c
     
106. 5 {3 w  v  J7 o\" [
     
107. g.add_edge(0, 3, 5)6 c; j. C6 C2 F; ]7 ?8 p\" ^$ K( c; [
     
108. 
     \" U5 N9 m: ~' n( V* }: [  _+ h
109. g.add_edge(1, 3, 15)+ K1 |, w0 K- D) S
     
110. 
     & ?6 w9 R. b1 {4 y
111. g.add_edge(2, 3, 4)
     ! a8 Q+ I$ S5 ~: D# M: y
112. * z0 b2 d\" n! R+ I\" B
     
113. ( P! K- k2 }. T: a
     
114. 
     8 \; y4 x0 a  R) q/ [
115. print("最小生成树的边:")( {& m, \9 N9 Z# l+ U$ `, x# b
     
116. 
     ( H* h5 q& f( y2 L- I* X' s* {9 q4 T
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。
" c) f0 s; r' r9 b