Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
以下是Kruskal算法的简要概述：
5 F% w! [! b" u$ m
1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。
. W8 Q3 ^' m( u1 [/ o9 _: j* _
% ?* i3 A, F7 t) f- f# {  @3 y& X以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:3 v  K) k0 H# U$ K5 z
   
2. 
   1 n. g. J\" H; }) h3 @' k+ ]
3.     def __init__(self, vertices):( x4 N3 {0 S% j7 L( ]  q: n) `
   
4. 
   # Z1 t7 v1 u+ l4 B
5.         self.V = vertices5 t) k4 a) U  D/ t2 ^  S8 b( `
   
6. 
   / @) I: [6 [9 |. e
7.         self.graph = []
   , r+ s! ]' A7 G$ l# z
8. 
   + e( p9 D$ _# m0 s7 C7 d
9. 
   8 o: F# Y6 i0 V5 o
10. 
    1 v0 x, b5 {+ _1 T5 t6 |# G
11.     def add_edge(self, u, v, w):
    4 c8 d\" P( |$ m% E
12. 
    5 K3 @3 ^& j- A  n
13.         self.graph.append([u, v, w])- z$ @4 Y; c4 Z2 d0 z# C. s/ p
    
14. 
    , o) c$ L2 G2 R2 H# L7 k6 O
15. ! A* F; E) i9 @/ |9 m
    
16. + ~  D% R4 Z( X6 [) [2 Y- l: l
    
17.     def find(self, parent, i):
    ) @4 f: a/ U' F0 t, R2 i# N
18. + b  @2 |* M( K
    
19.         if parent[i] == i:& N; Z  L: ?& Q' O$ G\" U+ [( k( v
    
20. ! |% T' u+ t) f. [\" ]( C
    
21.             return i! i7 Y6 n, ~) G: s7 k
    
22. 
    , \- Y# t  ?% l
23.         return self.find(parent, parent[i])% h! N/ h( k% ?  A4 N5 N3 p* P/ G) G
    
24. 1 C: Z$ x\" U1 ?, y3 I9 }
    
25. 
    * [+ M, H1 F+ g  I$ ~) Y! {
26. 
    * _6 `0 ?8 s4 W- K1 `# J
27.     def union(self, parent, rank, x, y):
    ; D, d9 u4 |$ w2 {6 e# R' c9 M* p\" k
28. & ?9 m- e  q2 j- W8 D2 Z
    
29.         x_root = self.find(parent, x)0 S  H( m' K/ `) h5 U* H
    
30.   n7 Q, o1 R* z( L
    
31.         y_root = self.find(parent, y)$ ^% Q5 B( D3 G8 \
    
32. 
    0 m1 [# V% {, \* t4 B. M8 O
33. 
    8 ~8 n0 O: ]4 H7 i: G) _$ a
34. 8 l+ L9 A1 H. Y3 ?! M
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:! ?1 E$ F* t5 }- h8 v- l0 ]5 L3 s  y
    
36. 3 e& u( q$ w+ h( C
    
37.             parent[x_root] = y_root
    5 b6 }% _6 ?) f/ `5 U
38. 
    0 r* i: k( x: x
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:1 v\" I8 [  k5 e7 {$ `- }3 e5 Q) h% }  f
    
40. $ o; z\" u( _# ^% J8 N
    
41.             parent[y_root] = x_root
    # M& X: ~3 a3 M$ e) J, u& k
42.   q$ X! b) k; `9 D& n
    
43.         else:
    ) Z! S/ B. s- N
44. 
    ( W: d\" u' e# [+ c$ a
45.             parent[y_root] = x_root
    ) V% T8 {6 ?4 W& r3 u
46. & k& l4 w  o7 n( i8 Q2 y9 ]
    
47.             rank[x_root] += 1
    $ W3 \  V7 F4 I% r% [2 `# K
48. % e$ c6 A9 r5 ^( |8 Q, \' L
    
49. 7 r9 S% r. ?( L: O3 }6 H
    
50. ; ~, _\" y% {3 r! n
    
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):; L) G( J2 b( W- e0 T. x
    
52. - [5 I, i1 j8 X  K2 y/ n
    
53.         result = []
    * g- L+ }! [5 M/ ], m/ ^
54. 1 l1 S. e/ h. |
    
55.         i, e = 0, 0/ o5 J( q0 T0 Q, S
    
56. 
    \" t8 n' X$ ?# C& Y0 f$ c
57. * A, r5 {. d2 n. D- _9 Z! i
    
58. 
    ; t& X; D$ p5 t5 C
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])
    1 `, ^/ ~+ \+ s& N# U9 K0 H
60. ' T0 ^8 x  ~8 O& e: C- B
    
61.         parent = []
    ) \+ j) P' z( q8 h: p* N7 j
62. 
    5 I8 ^& B2 z\" Q
63.         rank = []9 t# `& ^% W8 ?
    
64. \" i6 i6 e# j  b+ a
    
65.   W& @5 q1 U  _, S, R. K
    
66. 1 i: U* y4 i2 S3 p3 w1 O1 D: m
    
67.         for node in range(self.V):0 p\" x6 ^, [9 g# {) B; P: W
    
68. 
    ( t1 ~7 B) K4 x8 R. @% W\" f
69.             parent.append(node)# M( v- K- Z) R, w
    
70. . X, B  k. T- b
    
71.             rank.append(0)) ?  o& e; w9 l  V\" g4 C
    
72. # v, \* V1 v: S' _; }
    
73. 
    + S3 n! h\" Z; A0 ]
74. . f5 h2 Y. ]# W: @7 d( B
    
75.         while e < self.V - 1:; z4 n/ F2 P! A1 X
    
76. : Z9 k# z/ T4 |- w
    
77.             u, v, w = self.graph[i]4 P9 s3 A( ?- c+ [
    
78. 
    9 }- @1 ]' \6 k5 M
79.             i += 1
    + K4 Y9 Q' v' ]9 F\" z; a\" M1 U! ]
80. 
    3 b' m5 E' K- e) D$ T: b  ~( l, f
81.             x = self.find(parent, u)9 V) o) ]+ S$ J  e
    
82. 
    . |6 N0 C& i, v# f
83.             y = self.find(parent, v)5 A) \0 R# O0 n2 w. `' Z& a
    
84. 6 V# X6 U$ t/ b  L9 A
    
85. 
    3 G3 a/ t, G1 F1 y
86. 
    , X0 s. m1 ]' f. h* c( b8 {+ O6 i
87.             if x != y:; B3 q2 j: I- i
    
88. 7 D; Y8 D! t3 l8 s/ a\" R4 }& p) n
    
89.                 e += 10 P\" S; N( V; x/ Y% d7 d2 ]
    
90. / m) I7 |7 B! D, P. n
    
91.                 result.append([u, v, w]). E8 g+ [: h& ^$ k' o
    
92. 
    ) ]7 H% F; T. f
93.                 self.union(parent, rank, x, y)
    . u/ v# F. e0 V\" z1 i% o  P* L
94. 
    : z0 Y% c\" g- r- K4 c# @, C  e0 K3 [
95. 
    - V\" ?\" s1 `, o5 T
96. 
    0 e+ l% v. S1 [( W6 e
97.         return result8 e\" i$ U/ S2 a0 y
    
98. 
    * {\" b# q8 n* m' J
99. 
    4 G0 `& S5 }( u5 N. t/ L# y6 Q+ |
100. 
     - b  c- E; W8 R
101. g = Graph(4)
     1 K+ w% I) U/ x; O0 N0 ^5 f
102. ( v6 z1 X1 V0 ?  I( Y
     
103. g.add_edge(0, 1, 10)
     0 F  [9 W0 ~1 ^. _! a( a
104. # p- S& ^/ S0 n( T0 x% W
     
105. g.add_edge(0, 2, 6)( C- K4 p$ Q8 C2 a9 b7 h& u
     
106. % Q3 n) N5 g; U1 h  l
     
107. g.add_edge(0, 3, 5)
     . q5 O2 y9 p\" T2 P& d8 ]
108. 
     7 F/ D* v) ]9 g
109. g.add_edge(1, 3, 15)
     0 d4 I3 p' n& }# C) L\" b
110. # e$ n, ^) s- U. ~
     
111. g.add_edge(2, 3, 4)( j' @3 t* ]: X2 q4 h+ G9 G
     
112. 7 U% M# {8 S- h) M
     
113. & ~7 a+ E$ {5 K) U* B8 D
     
114. & i  ^$ x# X: |4 w) ?
     
115. print("最小生成树的边:")! H+ k$ k) R, V! W% v$ ], t2 }
     
116. 
     - d9 q; U' ~0 [' L2 ]* k% f6 C- `
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。
1 W, J+ k; B. u6 R+ B* ~% x* q5 k7 m
) }- s+ l7 [+ w( y4 d- j1 c
$ g7 z; |- o7 O+ n# O