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割平面法

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发表于 2024-7-16 12:04 |只看该作者 |倒序浏览

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## 割平面法

割平面法是一种用于求解整数规划问题的算法。它通过不断地添加新的约束条件（割平面）来逐步逼近整数最优解。

**步骤:**

1. **求解线性松弛问题:** 将整数规划问题中的整数约束条件放松，得到一个线性规划问题，并求解其最优解。
2. **判断整数解:** 如果线性松弛问题的最优解已经是整数解，则该解也是整数规划问题的最优解。
3. **添加割平面:** 如果线性松弛问题的最优解不是整数解，则需要添加一个割平面，将当前最优解排除，并迫使算法寻找新的整数解。
4. **更新线性松弛问题:** 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
5. **重复步骤 2-4:** 直到找到整数最优解。

**割平面的构造:**

割平面的构造方法有很多，常用的方法包括：

- **Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的最优解的非整数分量，构造一个割平面，将当前最优解排除。
- **Chvátal-Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的约束条件，构造一个割平面，将当前最优解排除。

**示例:**

**问题:**

```
最大化 Z = 3x1 + 2x2
约束条件:
x1 + x2 <= 4
2x1 + x2 <= 6
x1, x2 >= 0
x1, x2 为整数
```

**步骤:**

1. **求解线性松弛问题:**
- 线性松弛问题的最优解为 x1 = 2, x2 = 2, Z = 10。

2. **判断整数解:**
- 最优解不是整数解。

3. **添加割平面:**
- 使用 Gomory 割平面方法，构造割平面: x1 + x2 <= 3。

4. **更新线性松弛问题:**
- 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
- 新的线性松弛问题的最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。

5. **重复步骤 2-4:**
- 最优解仍然不是整数解，需要继续添加割平面。
- 最终找到整数最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。

**总结:**

割平面法是一种有效求解整数规划问题的算法，它通过不断地添加割平面来逼近整数最优解。但是，割平面法的计算量可能很大，尤其对于大型问题，需要使用计算机程序来进行求解。