Dijkstra算法求c1点到其余各点的最短路径

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该 MATLAB 代码实现了 Dijkstra 算法，用于求解单源最短路径问题。该算法用于计算从一个节点（通常是起始节点）到其他所有节点的最短路径。下面是对代码的逐行分析和对算法思想的解释：

### Dijkstra 算法的基本思想
( E, J' b2 G0 Z- a& K; N
/ v% x1 D2 B4 T& S# qDijkstra 算法是一种贪心算法，核心思想是通过不断选择当前未访问节点中距离起点最近的节点，并更新相邻节点的最短路径估计值，最终找到所有节点的最短路径。

代码解析

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]函数定义:

1. function [d, index1, index2] = dijkf(a)

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- `a` 为权值矩阵，表示图中节点之间的边的权重。
7 X' v- h0 G% ?! f- f  j- `d` 为最短路径权重的数组。
  ^6 z  n# o7 `* a6 V1 k' t- `index1` 表示节点访问顺序。
- `index2` 表示节点的索引顺序。
$ c9 `# B9 R( A) O% r; j
, d" O& D8 c6 O; B2 u+ F[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]初始化[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:

1. M = max(max(a));  7 {) `. Q( U; U: Y( I8 [6 u
   
2. pb(1:length(a)) = 0;     % 标记所有节点为未访问  3 O9 t0 C) n\" v8 H$ `
   
3. pb(1) = 1;                % 将起点标记为已访问  
   \" G8 k  a1 v; u# v0 p
4. index1 = 1;              % 记录访问顺序  
   ! K6 c1 m& [4 _0 V: X2 e, A' O
5. index2 = ones(1, length(a)); % 初始化索引数组  
   , ]; l3 c: M0 U; ]+ _/ b6 l
6. d(1:length(a)) = M;      % 初始化距离数组为最大值  
   8 Q3 {9 M$ y8 }2 T$ K  W7 P# o
7. d(1) = 0;                % 起点到自身的距离为0  4 {+ x& S# y; a1 H
   
8. temp = 1;                % 设定当前节点为起点

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- 通过提取权值矩阵的最大值来设置初始距离为一个很大的数（无穷大）。
4 S& J8 p. n1 q" l7 B, m. \- `pb` 数组用于标记哪些节点已被访问。
/ z. N! t1 j2 p# q- `d` 数组用于存储从起点到其他节点的最短路径长度，初始时将所有值设为无穷大，起点到自身的距离设为0。

/ s- f7 c; y" R9 g$ ^5 a5 o: D[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]更新最短路径[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]::

1. while sum(pb) < length(a)  ( r+ s) w8 }# v
   
2.     tb = find(pb == 0);   % 找到所有未访问的节点  
   . U3 i$ s! p3 ]: w/ u% y\" u
3.     d(tb) = min(d(tb), d(temp) + a(temp, tb)); % 更新这些节点的距离  
   ! L5 r. p. i6 L: s
4.     tmpb = find(d(tb) == min(d(tb))); % 找到距离最小的未访问节点  1 ^. S6 l\" B1 p. T\" c
   
5.     temp = tb(tmpb(1));   % 选择距离最小的那个节点  ; W! m7 G% L& p. |4 |# [& h
   
6.     pb(temp) = 1;         % 将其标记为已访问  
   ( Y- V: }  x: N/ D  h0 Z
7.     index1 = [index1, temp]; % 记录访问顺序

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- 使用 `while` 循环遍历所有节点，直至所有节点都被访问。
- 找到当前未访问节点 `tb`，并更新这些节点的最短路径长度。
; H5 G: Z8 m; l4 p0 E/ g1 C$ p- 选择距离最小的未访问节点来作为下一个要访问的节点。
" q' D  f& ~0 [& B: U- 将该节点标记为已访问，并记录访问顺序。
+ ~+ Q) J) Q, t5 X5 u) B
: e& n) S' ]9 t5 Q7 N( f[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]记录顺序和索引[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:

1. index = index1(find(d(index1) == d(temp) - a(temp, index1)));   
   % z+ k9 W! S\" l/ V% I5 \
2. if length(index) >= 2  , L8 B( j, B. I1 Q. X
   
3.     index = index(1);  
   . d+ I3 _; T) t+ |3 d& g0 B) i' J
4. end  : ?# S. @  O( F5 `( d6 ^
   
5. index2(temp) = index;  % 将更新后的索引存入 index2

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- 通过计算当前节点与已访问节点的关系来更新节点索引 `index2`，确保最短路径的方向正确。
8 w1 g9 i8 z- J2 G" D
总结最后，该算法实现了 Dijkstra 最短路径算法的基本逻辑：
! Z4 u' j7 f! q* f; P& r* D
1. 初始化距离和访问标记。
1 r2 D1 k1 ~& h" X9 m% ]9 E2. 循环获取离起点最近的未访问节点，并更新其邻接节点的最短路径。
3. 重复这一过程，直到所有节点均被访问。
$ `; Z1 B9 A4 w7 T9 U
最终返回的 `d` 是从起点到其他节点的最短路径长度数组，`index1` 是访问顺序，`index2` 是节点的索引顺序。这个算法的时间复杂度为 \(O(V^2)\)，其中 \(V\) 是图中节点的数量。但在使用优先队列等数据结构优化时，可以将复杂度降低到 \(O((V + E) \log V)\)，\(E\) 是边的数量。
6 ?2 i$ T, s1 w4 B  O
) q* t7 |* [5 a" r  J
- w( ?. @; ?2 r% ^2 [& H. Z
, R- H& n+ s# y  C! v