Dijkstra算法求c1点到其余各点的最短路径

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该 MATLAB 代码实现了 Dijkstra 算法，用于求解单源最短路径问题。该算法用于计算从一个节点（通常是起始节点）到其他所有节点的最短路径。下面是对代码的逐行分析和对算法思想的解释：

### Dijkstra 算法的基本思想
* U6 g, m; a) v6 Z; {, K+ h
Dijkstra 算法是一种贪心算法，核心思想是通过不断选择当前未访问节点中距离起点最近的节点，并更新相邻节点的最短路径估计值，最终找到所有节点的最短路径。
7 B  h$ _1 z4 l( M7 w) N
代码解析

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]函数定义:

1. function [d, index1, index2] = dijkf(a)

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- `a` 为权值矩阵，表示图中节点之间的边的权重。
- `d` 为最短路径权重的数组。
- `index1` 表示节点访问顺序。
3 H% y0 e) [# x$ I" c# G- `index2` 表示节点的索引顺序。
1 M, F$ Z& `- H9 l& ]& F+ g# z
( I$ h$ h. Q+ y- U( e; w[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]初始化[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:

1. M = max(max(a));  
   . ^0 G% n  V) ^
2. pb(1:length(a)) = 0;     % 标记所有节点为未访问  ' d0 t) `7 u0 e2 Y9 w  ~
   
3. pb(1) = 1;                % 将起点标记为已访问  
   1 q' B; m# T2 C; P; ^4 _' E
4. index1 = 1;              % 记录访问顺序  6 u( _  j* `# T+ p2 |  j
   
5. index2 = ones(1, length(a)); % 初始化索引数组  5 T/ \1 i5 q. M3 f9 k. g
   
6. d(1:length(a)) = M;      % 初始化距离数组为最大值  4 p. t6 Y6 k$ \\" c0 a) d8 [
   
7. d(1) = 0;                % 起点到自身的距离为0  $ s\" f9 v3 a* l( W
   
8. temp = 1;                % 设定当前节点为起点

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- 通过提取权值矩阵的最大值来设置初始距离为一个很大的数（无穷大）。
- `pb` 数组用于标记哪些节点已被访问。
6 ^$ O5 d* Q2 \- `d` 数组用于存储从起点到其他节点的最短路径长度，初始时将所有值设为无穷大，起点到自身的距离设为0。
2 y1 Q  ]( {+ N  X0 }' Q: z
2 b6 G' O# Y& s. m/ B* F  H# i[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]更新最短路径[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]::

1. while sum(pb) < length(a)  + `! `% L* L0 D1 B5 B% j# J; w
   
2.     tb = find(pb == 0);   % 找到所有未访问的节点  % j- u4 ?0 A* |& i
   
3.     d(tb) = min(d(tb), d(temp) + a(temp, tb)); % 更新这些节点的距离  
   * Z4 W2 S4 [( V
4.     tmpb = find(d(tb) == min(d(tb))); % 找到距离最小的未访问节点  - r' u, D1 w% `& x) b
   
5.     temp = tb(tmpb(1));   % 选择距离最小的那个节点  ( J7 A8 z& z2 \2 r8 j9 s8 I
   
6.     pb(temp) = 1;         % 将其标记为已访问  + l1 p  Q3 g\" }
   
7.     index1 = [index1, temp]; % 记录访问顺序

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- 使用 `while` 循环遍历所有节点，直至所有节点都被访问。
- 找到当前未访问节点 `tb`，并更新这些节点的最短路径长度。
- 选择距离最小的未访问节点来作为下一个要访问的节点。
- 将该节点标记为已访问，并记录访问顺序。
  X3 _8 \, c- u3 j
[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]记录顺序和索引[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:

1. index = index1(find(d(index1) == d(temp) - a(temp, index1)));   
   8 c7 U\" @  l0 D
2. if length(index) >= 2  
   - r2 L5 W' k+ u# x' ]0 `0 u( K
3.     index = index(1);  
   ( n' }& b9 N5 b* T& H$ f
4. end  
   + m- Q* ~6 x- i# p$ k  ~2 t
5. index2(temp) = index;  % 将更新后的索引存入 index2

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- 通过计算当前节点与已访问节点的关系来更新节点索引 `index2`，确保最短路径的方向正确。
9 `, W/ p0 G3 o% x! A5 O1 Z
总结最后，该算法实现了 Dijkstra 最短路径算法的基本逻辑：
( _" R9 X" }4 n* r" x
1. 初始化距离和访问标记。
2. 循环获取离起点最近的未访问节点，并更新其邻接节点的最短路径。
# w! o4 E4 O' C8 z; t  V6 r6 ~" F) X3. 重复这一过程，直到所有节点均被访问。

最终返回的 `d` 是从起点到其他节点的最短路径长度数组，`index1` 是访问顺序，`index2` 是节点的索引顺序。这个算法的时间复杂度为 \(O(V^2)\)，其中 \(V\) 是图中节点的数量。但在使用优先队列等数据结构优化时，可以将复杂度降低到 \(O((V + E) \log V)\)，\(E\) 是边的数量。