阵的相关性质以及不同范数在评估矩阵特性上的应用

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发表于 2024-12-31 17:13 |只看该作者 |倒序浏览

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### 代码分解与说明

1. **H = hilb(20); rank(H)**：
- `hilb(20)` 创建一个 \(20 \times 20\) 的 **Hilbert 矩阵**，Hilbert 矩阵是一个特殊的矩阵，其元素是由 \(H_{ij} = \frac{1}{i + j - 1}\) 计算得来。
- `rank(H)` 函数计算矩阵 \(H\) 的秩（rank），它返回矩阵的线性无关行或列的最大数目。由于Hilbert矩阵是一个非奇异矩阵（可逆矩阵），其秩等于其行或列数，对于 \(20 \times 20\) 的矩阵，理应返回 20。

2. **H = sym(hilb(20)); rank(H)**：
- `sym(hilb(20))` 将前面生成的 Hilbert 矩阵转换为符号矩阵（symbolic matrix），使得元素以符号形式表示。这种表示方法通常用于符号计算，具有更高的数值精度。
- `rank(H)` 再次计算这个符号Hilbert矩阵的秩。由于 Hilbert 矩阵是非奇异的，转换为符号形式后，它的秩依然是 20。

3. **A = [16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1];**：
- 这里定义了一个 4x4 的矩阵 \(A\)，具体内容如下：
   \[
   A = \begin{pmatrix}
   16 & 2 & 3 & 13 \\
   5 & 11 & 10 & 8 \\
   9 & 7 & 6 & 12 \\
   4 & 14 & 15 & 1
   \end{pmatrix}
   \]
- 该矩阵常常被用于示范性例子，如矩阵运算、特征值计算等。

4. **[norm(A), norm(A, 2), norm(A, 1), norm(A, Inf), norm(A, 'fro')]**：
- 这行代码计算矩阵 \(A\) 的不同类型的范数（norm）。
   - `norm(A)`：计算默认的 2 范数（即矩阵的最大奇异值），它通常用于评估矩阵的规模。
   - `norm(A, 2)`：显式计算 2 范数，与默认情况相同，表示最大的奇异值。
   - `norm(A, 1)`：计算矩阵的 1 范数，即列和的最大值。它是矩阵所有列绝对值之和的最大值。
   - `norm(A, Inf)`：计算矩阵的无穷范数，即行和的最大值。它是矩阵所有行绝对值之和的最大值。
   - `norm(A, 'fro')`：计算矩阵的 Frobenius 范数，即所有元素的绝对值的平方和的平方根，类似于向量的欧几里得范数。

### 总体功能
这段代码的整体目标是：
- 验证 \(20 \times 20\) 的 Hilbert 矩阵是非奇异的（具有满秩）；
- 定义一个特定的 4x4 矩阵 \(A\) 并计算它的各种范数，以探讨其性质和规模的不同表现。

通过这些操作，用户可以更深入地理解矩阵的相关性质以及不同范数在评估矩阵特性上的应用。