实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数
& a* {) e' m( e3 a5 _; r; u# ], i
### Logistic 回归原理
4 P7 y3 t4 w; f& Y( M0 I
. D* B* n3 D5 ^) N1. **Sigmoid 函数**：
9 A, m8 T3 i8 z* l' j, `2 w- X   \[
$ p4 Y+ c% |9 q2 w* k+ Q   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
   \]
   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。
& K4 Z* a1 Q( M; G
# y  T% B* a: V6 M2. **损失函数**：
   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
   \[
   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
   \]
# t) t+ ^( r: Y4 v& C1 Z   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。
9 _$ m/ i3 J# H' g4 m
3 ~& G) C1 e8 T( ^. Z8 B+ z5 n& m3. **梯度下降法**：
   梯度下降更新参数的公式为：
   \[
   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
   \]
- H5 Y4 a6 ~) T" O   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。
- N% f$ ~3 K6 L* H; [7 T
( C/ _* A& p' J; S- L; T" d4 v


. m: K  y, J% f9 e6 v' s