实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数

### Logistic 回归原理
! o+ ]0 K! u* ^: [2 c4 t% R- B
1. **Sigmoid 函数**：
% |/ ~2 x7 H9 }   \[
  @+ M- o" G1 ^+ h# M   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
   \]
3 w& \/ z4 J: u& Z/ D) S   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。

. O  C$ P" h0 Y- @+ x2. **损失函数**：
! x. W3 I6 D' O   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
9 q) k  ]4 f1 x. M6 |   \[
   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
# D0 W' Z" a0 \+ A1 D0 [0 |  M8 I   \]
6 z: e, E+ j# ^0 q& ^   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。
/ @. [5 r9 P/ ]) K# x3 Q  x! W3 J
7 i+ v0 X/ q4 ~# \( p3. **梯度下降法**：
   梯度下降更新参数的公式为：
   \[
# P2 l: Y  X; \   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
' [8 H1 d& h0 {   \]
   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。



0 b* M/ }8 J  W+ c
8 D% q9 \5 ^- `, y/ i2 V