实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数
9 I* m3 [) c- q) H/ ]* \
### Logistic 回归原理

1. **Sigmoid 函数**：
   \[
   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
   \]
8 L7 F) @( ~1 q# B$ \: G( U2 Q7 q" ~   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。
4 q9 }8 n6 l4 V8 l4 n
0 G- I4 u9 _. q& ~! L& Q$ O2 @$ t2. **损失函数**：
; D5 V5 R! ^8 @1 O   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
* i2 ]& T) q7 `. d6 `   \[
" m* N1 k7 F+ K  ]   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
   \]
   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。

' p  O1 n: a! e9 P( M/ L4 k3. **梯度下降法**：
   梯度下降更新参数的公式为：
   \[
   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
   \]
# Y  `5 X) J. K7 R   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。

3 N% C4 {' c% r+ J8 c# o
7 N' z& R7 Q$ ?% s