哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
0 [+ B* y" P9 ^    一、质数表示式
- ]3 r/ b3 G% D8 O( c1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
+ t) a. n: v+ T* s它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
3 U* e/ |+ O: W5 b1 m. A- V以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
' y  `% S. I* o, q% m# D+ V则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
1 C* V/ G. R& W# e8 j& k即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
# E: M9 g( a: S" V  r5 g  T1 E（2）式为奇质数表示式
; @# x; u# _0 g: a/ J0 x9 v8 e& N  x: S由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
, V- c5 f" q* h" Y7 N' ]8 t& T' |均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
' l% M# S/ b( H; U: W" B! S! y2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
) W0 j. C; o8 h) ^1 Z即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
) A! |: [$ L$ C$ f4 b' H3 L用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
$ u4 [, D$ x7 q' d/ mPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
7 D$ l4 F/ O7 b8 W- k& j# x                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
7 ^, e" D  P; R5 k" c( L& F这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
- a* R8 h9 C* G* |8 c例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
# S) [( b' @" I* m9 l5 B- @# W3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
6 g% j& c3 L0 g. N% X( `, P; G: w* L即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
7 k, `; G: K% Y0 Y代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
2 L' I" |' i, q9 B* E* }1 P7 w# H, t在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
1 N: R: i" p% y4 q" k: P! s) s2 q( @6 w又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
6 ]( L6 v- M) [即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
+ x& G2 a: ^# j. ~$ \1 i* o从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
) n2 K0 j+ k4 Z  @由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
7 ]  L; @) t3 j& E由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
" F) N7 Q+ M; n# d0 L" M+ G4 ~/ B（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
6 I& r( O' v$ N8 }二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
/ o' G% y* U8 H1 A: x% `& Q* J9 p4 x若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
" J+ {; z+ S2 V
* ~5 E$ W; u  S( g( m得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
% e. E; g) T, D; q7 }* }同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
: s+ a# g5 O$ X% C+ _5 N3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
! w% v% c1 l% P0 \# @+ @( Q设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
0 w% ~2 t6 I9 A# ^. A( W: r. a5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
" `6 u. Y; K. I8 y2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
! i: }- ~& x- r0 @M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
- @5 z* b) f) ?, e" W2 d& DPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
& g6 v4 n! G1 S; H4 l: k. }Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
$ E: @' Q. {: I' DPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
. M& q- O/ p. q! w, y' t; g2 k
6 Q# k2 `4 a* N1 ~: Z9 o7 I3 m: ^由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
$ A2 x& J" ~5 r0 I6 D; R& j因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
: B" @9 G8 k3 |2 k则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
. B; j) K9 P: {: {. ?) X根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
0 D# O, N# `* b) z3 U. p* YPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
& ^2 q" ]) p8 B8 f  m（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
  G: Y! Q+ `" U0 FPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
% K5 u& D8 Y' @* r/ u  p4 N或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
) J9 M) T# a" u: z1 n由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
6 [& q+ H% P. y+ ?9 N! p; `或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
7 y3 L- R9 c8 ^# P0 Q  @2 ~在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
* u' d) E. i* m4 D" B- f代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
$ w/ G" ~+ W( D( {9 e2 T设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
0 K+ N& z2 X; ^, x& r' L  x若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
( U" @+ c8 ^( q: t6 o1 M! h即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
9 Z: N) s; h/ `% yn为偶数2n=0,4,8,12……
( l6 V9 @5 T& b5 U/ s/ W6 p2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
' f0 t& U) l3 p$ {+ l2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
$ Z# R5 A; [6 z将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
$ }) {+ P$ y/ Y, F设  Pn=2  或        Pn=3
0 r5 Z! E* R1 v- v4 j 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
3 s7 D9 j- y1 p四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
  X, F7 j( t# m" n6 S% D                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
( z* m  [' J8 U& p" F6 r    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
0 p3 i& \3 j7 \1 \7 ?    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
8 v- J! H' S  A  }0 ~" Z    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
. K4 H, C( F0 U9 j% I6 |, MPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
7 m& y: V% d; @; @      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
3 Y4 X2 Q# V. v; x' K& D5 B; E( j+ f 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
$ x( x- \3 _3 a3 Q% [0 Q0 V存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
6 d( R. S- G9 u# F4 G# k由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
3 F/ n0 [0 O/ B1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
3 e4 A% C% W( i# o1 g& X2 Y6 \' z在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
3 {9 P; n+ u, d3 w# S; H第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
. G/ C: O& s2 d& p: g3 j                                             =0+3+2+3=3+5
( I0 ~# n; J. A' H/ T                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
! M: i9 n3 c/ m: J" s# j% a" e7 a                                             =0+3+10+3=3+13
+ [) R( @, \1 j2 J9 f  S3 w                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
+ |6 W1 k5 Z3 _' q                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
! k3 D" @* o+ U" ^3 A, u这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
& w8 p, I( ]; d  v( C      =2+3+20+3=5+23
' G1 }% O; [" j/ t  @4 B- R第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
. J0 ~& J! h: F            =4+3+50+3=7+53
5 t* V: [# t- Q8 T+ Q8 u9 t" l又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
) B; j0 c" H% E. m; `0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
& j: m' h) h, L( [6 f* T4 Y8 l0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
* n# L) }& x- K7 M它们的偶数公由数分别为24，31对。
0 i; E* A8 Z( H- i3 H2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
- ^) U  y# M# ~' l  I/ F4 l  T                                           =28+3+64+3=31+67
3 ~+ \: e2 i' V4 \6 K                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
% L* B' o$ F4 A, K& z                                   =58+3+64+3=61+67
( i( P2 P+ x# D5 `综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
0 k/ [0 q% Y9 v5 U% Q8 e. P5 h) U                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
% j2 n& O& j" R7 b  m即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
- U3 b4 V2 O! S4 I  D2 i) J+ M设N=2    2n’=2n  代入上式
. W) P4 V$ L7 l+ f8 h4 n. B得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
; p6 r4 `6 T% y      Pn’=2n-2n’+3
/ n- k9 w: I+ Z' k- v3 m! W又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
4 B3 l/ s! [; K( D% Q3 f4 P2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
: V$ L2 T, r8 v  ]Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
/ L' i  M, l7 S1 [8 ~5 |2n=4n’+2n’’’ ……（3）
' F) v6 d  C: X2 J6 }上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
# l! m' S+ r$ F$ ~* y, N  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
9 W7 [: Z/ X2 a' D  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
! k; g2 V- S8 r8 f1 F  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
8 R+ z% B  D, E4 d0 V! \（2）方程组
& j- ]4 K1 T+ q# \3 g" T; aPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
  S( k) l* r5 e; S9 p/ u2n=4n’+2n’’’ ……（3）
% V* q' T9 o0 X  ^: O; w  ~①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
- }$ [( ~, K: a& \8 ^2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
; Q4 Q+ u, d( X: d$ c" `2 I设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
6 L3 |+ P. Z' i$ I2 x) V# f确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
% e! Y, I( k/ P* q: O  x  T③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
( n2 I+ T3 D+ V4 _( x已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
+ H" |6 M/ M1 ~& y3 S8 ]# ]5 J又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
) K. @6 W4 W4 w# T* \Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
5 ^8 S4 o; e! g即Pn=2n’+3成立
+ N4 h5 K1 H% x+ ?0 v: F1 jPn’=2n’+3+2n’’’
- T5 C! d" P2 @* L/ M' Z  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
: o7 \! q$ n; E6 w即Pn’=2n’’+3 也成立
9 U' N3 }# R5 y# X3 用数字来检验质数表示式的成立
6 Y& I/ O4 u$ T" t0 Z# `- u已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
# e+ a; ^! Z  ^+ J设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
, T- o1 {8 E& P7 @4 D+ C/ l      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
7 A9 m/ ?; e' T0 g5 u0 ~      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
# _# Q! B& ^. W' K* `, V' Y$ y0 j6 ^     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
' M) R& K9 ?* p- \( K     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
; X6 e2 {, G4 X- x- }2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
- l0 V6 z0 n9 Z' Y5 W1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
# H: H/ F' G" E9 i; _4 Z! Y(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
  N# r$ B0 h& v* m  l" X& t(3)，它们的分布是不规则的
" _  ]8 E+ g- N6 G# A  f& J; l由上述三个特征得到三个定理（见注2）
3 F+ n! ?  }& Q/ N即奇质数之间的共同规律
7 D  I4 t% ^+ r" V& B8 P8 h- J2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
4 j- s' Q6 G; I8 ^# ?( f4 v7 A ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
5 S, m: O0 _3 w0 g: |7 D4 J2 D③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
* W7 Z% o, M! b1 o注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
* B+ k- A( ^8 o# R& e3 M' |因为因素与理由意思相近或相似
+ l6 a; b6 M0 _5 j公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
% C4 a# g4 K$ \# q  d" k5 a公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
0 v( l$ F, Q3 J7 E; W如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
; |3 X' s5 G6 e1 I& L/ z; l这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
' F0 G, x5 H3 N8 D. I又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
: c- P1 o6 m1 K% q& G2 b因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
$ [- o0 A% s) {4 U3 j 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
$ V3 |7 _0 D' |2 h* M1 }# O2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
" r8 j$ c+ }) }: ?, n% N% `注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
+ v! K5 P* W: Z  z4 [下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
- r- O$ x; a& hPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
+ m# G" R0 |7 f, q- E  X# [即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
  b& i* ^+ H# L0 M' t9 B得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
pn        3        3        5        5        59        61
3 ^8 v- a. z) I  G  j$ a7 k$ E
  g7 r+ ], ~  n$ d: SPn’        3        5        5        7        67        67
% ^$ u1 {, ]1 @6 P  q2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
9 s3 }* X* P2 q9 H* r. N$ TPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
9 L! A; z. {2 MM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
: f- x4 |- ^7 D# U2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
2 M+ ]+ P5 v$ mn’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67
9 q( K! v- W; B- s& S
注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
, G- ~- h, Z8 \6 p; A9 u若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
+ [: e2 L) N1 y式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
% p, ]) R. l4 `- k% Y* A5 |" [例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
+ \" z, r2 o' S- h                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
# e& U) W1 F' l( p3 ~! C( e3 N/ E61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
. N$ O& q! O0 ]8 k- t当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
, @% M* y9 p# C$ R% Y6 a: {1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
- ]! C: Z7 P7 [8 Q若n为奇数时  2n’=2n’’=n
, v4 T& V2 R* R  W; U4 _& q若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
( |7 V# n" h% n1 h  PM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
& e$ u: G" U! f8 w7 R4 J =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
$ p) e7 s2 G3 N& _# b3 p) v1 Y3 R- M2 D5 e再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
$ V, o6 p4 h) U即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
8 _) }9 T$ b# Z" e0 L7 [        2011-8-6
% N+ a! o9 ~+ `# q" H/ p( U通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府

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