哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
. z4 W6 _0 C8 t! `; z; W, O    一、质数表示式
+ o% ], I! B# R* U3 h$ l9 L3 z0 h1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
0 K1 S$ ^. @+ s9 R将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
% m, {/ ~; _4 G, {4 T% _以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
) P; G- Z+ h. a5 m  i& P; n9 f: P* S将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
; {* o  P2 `: U2 ^即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
0 _4 b+ H+ T$ b1 H0 t6 B5 \$ U6 ^  o由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
4 W; f; Q* _; Z- a" a: `$ D 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
# G- K) d. n6 n3 Q" m  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
# V" R$ T# _0 C% d! _2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
9 B4 E3 |6 o- R* ], [# oPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
# G  C! \5 a) V2 r' Q其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
: W7 m4 J) }9 o( O+ [5 s这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
1 O9 u' B) c. p- J/ d& }即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
3 i4 M0 R% U8 Y! G例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
/ a' c9 ~/ x9 s3 d: \4 R2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
5 G( k9 V: d& h& o1 ]2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
! ~+ j, @! g( g5 y* |# W9 R9 d3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
0 T7 n, @( i# ]  v! @直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
- U% d+ }3 V! z$ ?5 ^6 p即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
  ?6 w+ e  U; f  @: F2 O代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
' \3 M) Q2 H7 n  G在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
" W! M9 C" o( {即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
' Z: V" y3 {  R& C- x或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
, W+ R6 b2 U( w( d, j9 A由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

* T8 b: P* c8 w$ ]* Z得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
- v- s* Z  f" P- ?同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
/ _( h5 h0 W5 F7 w2 z* l1 L在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
( W7 {% l) M. f) @即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
$ a2 U% l( ~7 [& z. Z1 {设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
3 E; w# Z! j& y: I5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
- J  e( Q. E/ N4 |0 R例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
9 s3 y! K, O8 ^0 x; I4 Y2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
8 g# w) u, W/ O. {4 J+ C5 k2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
7 L. s2 |8 H% g7 N- L$ L6 G2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
- E0 y/ @2 a3 R: [+ _% xPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
/ E- {  t4 P: T+ E: YPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
& k$ o' B: e7 E1 d又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
, T* @6 m+ R( V: @! M6 N  X( V因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
3 c/ T/ f. q( ^- D) F" j(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
* D$ C5 i* n( h- n' e* v8 C已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
: [5 N* t$ c$ L) @, VPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

- v' m+ e# E% f       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
4 M4 V; v7 N* \3 P三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
2 ^; Q5 |. }, X# p设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
' a- m1 e1 P0 q& [4 Z+ Y: w代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
) t$ W* _) s: v或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
4 o" b% Z8 f  E4 z+ j+ g+ kPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
. H; X6 N  C- I6 a! s. c代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
' ~, ~- N; H: @' p由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
# S! L8 b- p. m" _7 h当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
8 K/ `, O& }% e& F7 v2 k设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
6 Z$ N9 ^$ @  G" N8 ^  D  n# w2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
; n8 }* k; l- n5 h6 n在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
. s  Z( ?( F3 q) s1 P. _5 k代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
7 N: `, [2 e' v6 Z若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
9 {$ |$ z) z. [/ L+ D4 @0 X得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
8 ?' b' f  M3 g/ K2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
) N3 U7 i! o% Q2n’=0,2,4,6……偶数集
* @8 q* Y5 q' _3 S+ s: gn为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
" ^0 b' f4 [3 n+ q5 p2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
$ Q' |! V5 V9 M* u  Y2 ^将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
  H, x2 s/ @) I0 k  @1 X( i/ RPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
2 t6 T* _8 ~3 e9 L/ Z设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
) K3 a. N% L1 L4 h* qPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
3 I3 l" `$ o0 W  c由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
# A+ M& G. j, o/ b5 D# Y& m& B     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
2 U3 t1 D) k( x. _     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
) }) T( ?- I- |  @5 v     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
2 w4 P& M3 \) T/ b# t& Y$ g    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
$ L8 ~  m8 M1 H  u$ H# N    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
5 i2 k' j9 L+ \  l  S    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
) ], n# x2 y) |: [0 ]Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
5 [# Z5 y2 X# P5 Y4 G# M% u1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
2 Y3 e& _  p& \) ]) t                                             =0+3+8+3=3+11
: O& n/ o# Q3 |8 X$ o1 z' E2 k                                             =0+3+10+3=3+13
1 \$ Z+ N% r5 }) y+ q9 ]: |                                             =0+3+14+3=3+17
, c0 }9 P- }2 F5 s# O                                             =0+3+16+3=3+19
) J. g5 o0 y1 a  ~- R0 P3 ~                                             =0+3+20+3=3+23
1 e! [( f5 F% F8 F/ ]1 u' A5 _第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
* |; \0 H8 f! H% I! ]7 qPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
4 b- ]0 ]/ |, t% ]) ?      =2+3+10+3=5+13
! d7 _# p) r2 W& T  D/ P9 O      =2+3+16+3=5+19
, V. n5 a7 Y3 W, I9 E      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
0 z% I( X, _* W' s1 d又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
9 E& F0 a6 _2 J: N* |* O0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
9 b1 b9 r% t- I# E) H0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
+ q4 f3 \+ s- g% R: K它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
: Z0 |. p  q& }+ T( n2 D0 U                                           = 34+3+58+3=37+61
7 z* N0 T+ u( v' x# a$ [& M2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
3 T2 d* x* [3 u3 a" L  j7 ~0 H" |2 {                                   =28+3+94+3=31+97
# p1 a8 Y1 S6 s- B5 c                                   =58+3+64+3=61+67
, b- p6 `6 J6 p1 T+ ?4 |综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
: |3 E; P9 Z  h5 U! ?2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
" G  |1 y" a4 L  h5 a* t3 l. n                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
; M# ]" Y3 I& n) @# g                                                   =n+3
$ d1 x( [9 P3 s" o" c- h                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
% m& ]. G* T6 N. U+ t2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
+ K+ F. L5 O6 G7 j3 I, N5 q设N=2    2n’=2n  代入上式
& ~) U. ~  G0 x得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
! T  K7 X1 T9 A4 ^& C      Pn’=2n-2n’+3
2 B' i" m4 q/ q( K0 {, g* ]/ o( m又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
, B3 g/ p: R' vPn=2n’+3   ……（1）
8 y! @8 k( ~! LPn’=2n-2n’+3……（2）
/ D- q0 A5 k& }2 ~% K' n2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
! J4 ~$ L& x) @$ p2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
% @% E/ |% W' b4 i$ ~  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
" P0 @( B) g1 m, U" }  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
+ W$ Y1 J* X# s8 T! K' A# b  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
* D% i# o( b# C  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
7 f1 \7 ]9 ?! M# o$ E$ Y/ pPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
8 ^$ [: {9 G" q% u①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
" t6 I9 l- V: O; f7 H* \. R2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
2 H4 {/ Y& s5 C1 q1 S: H+ I②解方程的步骤
; o# `1 R+ {3 V. F9 M设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
2 A* ?, x% g. J% M& Z; ~" m7 p; i确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
) A0 C( N& s0 i3 v. m即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
$ u  ~, ~% M# I/ R   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
5 j3 u6 T" W0 W& K7 P0 j+ x得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
/ j6 O) G' G  p0 i 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
/ f) b! W& P# o% s% `# x9 J  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
" _& V. e- S1 E" K8 F& a/ g已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
1 E+ }. M( b. m0 W   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
2 Q$ \& H! Q( I/ u     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
& J( r% Y+ H3 c1 |( e6 }0 `! s, I$ `      4        4        0         2        2       5        5           10
, u! u/ Z6 e( x: U      6        4        2         2        4       5        7           12
9 S/ w6 ~+ w  A1 [7 ?8 Y, a8 O      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
% q$ M, x; f9 b( d. j      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
1 U: A+ `- x/ C  N     92        56      36        28      64        31        67         98
  m$ }& G4 \* v' h     92        68      24        34      58        37        61         98
/ ~  |3 j+ U$ z: I     122       32      90        16      106       19        109        128
6 q8 O3 W) ^# M  h* O/ C. U     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
; P: Z+ A7 X9 c  D, C" ]. L4 d7 t2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
# e* c3 i. |3 _& @. ?六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
; S/ H; E4 E6 J: S: y/ {% q1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
+ g- a. S0 L+ L2 i1 m3 g6 I(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
; ~8 g! v7 @! {8 I0 U(3)，它们的分布是不规则的
; b. r+ ]6 D6 i+ {4 f2 q由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
0 `% n1 Q& t7 f* I! W3 i$ n ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
! z& V8 U, T+ l) T鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
& k* q- g  j" ?: b注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
- ?3 t- @: C% Q  Z/ a# q* ?公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
& ~& t' ?9 _0 h* q& H) w3 Z公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
: {3 }* g& J" E5 F( B1 z5 f) {注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
) x) Z0 I8 t& q1 p/ y: T: ^已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
  c: A$ K# v1 E即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
% }7 S3 H+ o3 J  h5 W3 j由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
3 L, o" w$ j' H即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
( P. o7 p$ _$ m+ N7 _# p6 |例
pn        3        3        5        5        59        61
8 ^/ R- J) w: b1 n/ ?' i9 O
Pn’        3        5        5        7        67        67
$ v! f; Z* ?3 B+ \2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
& V- [. W# m) j) ], ^' X即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
0 Q, p" v# I8 O4 w* |! v2n’        0        2        0        2        8        6
4 R1 ?, T1 ^8 K0 N5 q& g: Kn’        0        1        0        1        4        3
" `' E. a- d3 ^0 cPn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

' x" O! n- T$ B7 `7 @注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
. @4 y3 X/ x+ @) Y- z若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
: |2 a) u" T8 Y例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
1 f# z* c% y3 ~                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
  T  k; q8 g& Z7+7=5+2+5+2=4+10
! A5 ^- O  H6 ?) @: H2 P59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
; b6 s! B; u, U* G2 C当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
' j8 o0 Q; e  D  ]3 Y =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
4 n7 [) E6 s* W6 J, J* {2 } =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
0 G. \( e% B$ Z笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
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