哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
# c. _: F6 `3 {+ l    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
, u/ ]! J! [: y( R  T) a! ]5 B已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
3 W1 @. B5 k2 y; y+ W4 P+ ^; W将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
, r7 m$ X. _8 q4 M' ]; e- w  T已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
' y# `! u* X7 u1 q+ Z% g将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
7 t; Q% m7 z; g# \3 {9 f即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
, ~+ V8 A, [+ P同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
; X& \4 s  I6 R5 O. h即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
) t. F9 C4 X$ G7 e" f8 G均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
1 B+ J" c$ H8 c( `! x7 M2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
$ H& L) o5 d! d3 t9 w1 Y  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
) F6 F8 K1 R2 m7 k设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
. O' t3 i) B' z+ R                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
# u3 f. j8 Y) w+ H( |7 c2 s0 h这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
) [  M. U: h3 Q- p  ^! [6 E! S1 [即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
: |! G# {; |' y例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
6 V2 g' w4 `7 _- a2 ?7 R5 g! K  R8 R4 F2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
% X) k+ S4 W3 l( P( I9 q2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
% N6 V8 H! E' X  k/ W1 r6 S3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
( n; |3 W; }9 _0 R7 {2 q( |6 ~在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
* ?) g% k5 W( a代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
) e' ^0 G% t3 v, y% @  M又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
! M4 q1 t+ p; ?$ X或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

+ {9 l/ E; V& i" C得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
1 ?7 b3 }- _  A5 t2 P若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
( l& V. A. f- K- B3 q同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
2 s- c- P( N( j7 D' }在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
. N* j5 g( w0 s+ S, O$ {, R: t（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
4 o3 B* b0 z  @1 h2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
9 x) r; J9 i3 B5 x% B) s即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
2 ]0 M, v2 A+ {6 f$ H7 A1 w3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
! d/ `1 c7 Q* D( i& q1 ~% Y- L5 ?+ S设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
& S( l4 P$ a9 p  _  J2 w" ?4 O2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
: f( S2 a) F3 }7 L3 T  v9 ?: [M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
1 z0 a. s5 p3 ]2 W1 I( ^Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

! M- R) j9 @+ G; x由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
. |1 x  X9 P+ m! W( }% W又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
2 }1 K7 r* T) k9 l& K" @7 a% n5 P因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
4 n: F8 k# n. z, r(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
! ~- ?) a/ \! q  VM=11111111111111111+3=11111111111111114
  \: R6 q* ^. C: p: y根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
5 B/ l8 V' i) h7 Q9 t% P" i2 _然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
2 v8 _9 ^5 W& K1 v9 @" T已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
4 j" \1 O: i" G/ ^
! S6 J) ~9 b3 v       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
6 m& o* B0 H6 b% `( O4 o) o三，也可以这样证明
: \/ `# p& f' x& l" m& M( I, `1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
( A- c2 i- g+ F- A代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
8 X: Q+ L. `; ~9 A; C3 d+ _/ G（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
, s3 R5 T% X& _% g( j或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
9 {7 o* y" u5 v* u4 ?) I/ UPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
8 ]* Z8 q6 Z% }4 t! i+ e或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
: i. m' S( x1 F5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
- F9 [: `7 G# ^2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
, V- Y% \6 b. |1 D+ \即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
* Y+ O9 N- s3 a" F, F1 e% ~: S3 @在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
) w- O5 C* G3 J! D' x代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
# d  A+ A5 F( k设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
: E+ @* C* ^  j) w0 z/ E同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
, k! t8 \6 O0 e& E5 N- Y即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
* C  f, X- h! ^4 I" M' L6 H& kn为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
0 }' J& X* O. |; ~n为奇数  2n=2,6,10,14……
6 u- |8 K# b4 ^9 S' q2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
+ H$ C' m/ e$ ~4 V( ]9 }! z. i2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
6 c' _0 z) N  t& q. u9 gPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
3 S" W) }9 M' xPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
1 q* o" `% t5 D7 q9 c或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
0 u& o8 X; M* W+ [. g( \2 ^8 h                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
6 L' q# n; K/ `& c6 }8 S4 V得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
, o7 m4 {. p" o     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
( \& e. k* m3 e- z; a( r" f     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
8 R% y" e1 a# ^' D- W+ e0 F    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
0 U. r9 ?0 |2 \% D7 X    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
* |2 d5 o0 K  I& m+ a6 E0 A 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
9 e( k9 b3 @- Y( A五、质数表示式的证明
: g* l  a0 Q) L; b0 q  ^. s5 S' q1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
: d- N5 Y# j, V( m& C2 {在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
  N+ E5 N4 j& L, F第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
! @+ p" j5 [" Y1 P* }                                             =0+3+10+3=3+13
, U/ C8 _7 R* l, c2 k                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
- j( Z7 t, d/ S- J                                             =0+3+20+3=3+23
2 Q! C1 k) ]+ E2 y3 e2 N第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
( H5 t7 l- W- `Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
# P5 s& W3 A0 r      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
2 x2 y1 p* Z$ S. U% M' b      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
% m$ z) ^7 y, B3 A            =4+3+50+3=7+53
. G* x- R9 R# |3 {又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
2 Z, c" G1 y8 V3 y2 ]0 c# V* x* I) U它们的偶数公由数分别为24，31对。
2 U5 k2 u" J# ^6 |- {2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
( ?. Q6 S0 Q: K  u( a6 A8 |2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
$ i( H. A! B& O- `2 K6 Z- S* M- W                                   =58+3+64+3=61+67
; n* U) A4 O0 H  v/ P综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
( `. e# `- O9 _7 o2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
* S: n/ o5 ~9 \1 i% z& n& {# t                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
4 j8 {9 Z" ]% s! T/ g2，质数表示式的证明
# S; g: s6 T( e. ^5 x(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
. c- B8 N/ ^/ N5 {+ h9 X% {8 g设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
9 U. l$ L7 i2 |      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
. T. S8 s8 T( G又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
* V; Q2 l/ W. H' r2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
  z0 T( ~1 j# D3 M, a9 F' |1 |3 wPn’=2n-2n’+3……（2）
% f; n: z4 n! R7 z( z7 g/ r2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
, r/ Y2 d0 t% b, @& ~2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
; {, K7 |- M% v9 C! w  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
8 j% y, [+ L6 U+ G8 J! W8 ^: ?  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
* ^0 t7 d: L1 L- Z' o8 C  l5 w2 g  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
6 U' {' U; v2 N& R1 [  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
8 C3 e1 W7 K7 v6 F2 JPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
; G& Z! ~6 w, ~! q$ R! I( M) }3 w①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
0 D- b/ ^4 X# `/ X% j. i+ Y6 w2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
% S$ T- E2 ]( b: G, V! l设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
/ L% S8 \% X/ r确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
8 R/ `" x# [1 ?  f! U. G: ~* j已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
$ ^- P3 t0 H; g4 [% o' }2 x又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
# G2 }# d. n: Y. m  z   
: |4 Y# n7 P% [  B2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
1 [" x" `" ^  I' j4 m2 }得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
% c( D, a5 O6 N2 q8 G 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
/ W- B; e5 H$ A" R; {即Pn=2n’+3成立
* y6 _9 R: Q' W$ b: [" h8 o3 lPn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
5 p  d7 F+ C  p8 y  =Pn+0，2，4，6……
2 G2 E) `& b$ f6 M0 E. @( U. D已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
7 S7 P5 R: y% D! K已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
5 `1 R, }) c( \3 Z  n设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
, g% U" o& b$ A4 P4 W     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
; C6 _- c- M. H+ d- n% d      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
$ W0 L; T1 c! j& H) p      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
' l3 U4 U2 y  @7 v( `) t     18        16      2         8       10        11        13         20
/ p# v3 X. l1 V$ L% z& A2 Z; J% ?     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
3 I. R8 k3 R! v0 t! E/ ]# e- Z+ v+ n     122       32      90        16      106       19        109        128
" C- X2 ^3 n7 I4 q- b  p0 q     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
$ P5 T: o  E& x/ h2 l( X% n. Q 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
' ?  J: Q, g( ^. B2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
! |% [$ S* B: @. X! V/ R# T7 w1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
8 E$ Y% s! ?5 k(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
% b) A  s% u) L4 F5 A& f$ O" S由上述三个特征得到三个定理（见注2）
3 k4 N6 y1 z: q$ O即奇质数之间的共同规律
8 w0 O" p1 c8 {* D2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
6 k+ v! ?3 Y9 @, ], u1 P( ?' D& z③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
7 B' F' F: p; g) M5 T ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
! L+ d- Q7 h2 Y3 z$ Q公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
! k+ G% p2 C  P０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
  a5 W/ L; t; A( W2 Y; h, Z2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
5 c8 W# R  ~0 e% T" k注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
5 @9 ^4 d, O7 i: m已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
7 [+ K+ V! f3 k! @3 bM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
" O5 J2 E0 v$ v1 _. Q+ V& R+ K由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
2 ?3 x; Q  n- v; l2 e即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
! d2 F* b2 Y/ u' ipn        3        3        5        5        59        61

! K; j6 ~$ c/ G1 n. uPn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
- J, l: _6 v2 g! K- V2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
) _* M6 |. A( UPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
* I8 I, Y% D- w1 WM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
0 N9 ?% P; G: N/ U1 J2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
8 P6 @  Y1 g; R+ y0 N' ?# a% T2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
8 D4 X$ m; v7 S# b5 {/ z  APn        3        3        5        5        59        61
# p/ ^; ~& Q2 B$ nPn’        3        5        5        7        67        67

% ]! B4 |% A' T* s. N/ \5 I- U+ ], V注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
+ J5 f- x/ R8 w6 o, c% m6 c9 c若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
. a# N! n& U( f( F% O% }式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
5 a: ~" O7 [/ n; p! \6 J4 v                                          3+3=1+2+1+2=4+2
& i3 p$ V: @  a+ _" I( _0 l1 C                                          3+5=1+2+3+2=4+4
( w6 D5 Z/ `$ ?9 W/ u4 R                                          5+5=3+2+3+2=4+6
; w' G& I5 C6 \5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
" @6 l6 L/ t2 F+ n: h8 N; M59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
: W" q6 K; J2 \! m& O# D8 n…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
! y/ h6 r8 P5 Q. l2 M1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
" ~. I6 ^9 ^8 m8 G, g+ m6 u若n为奇数时  2n’=2n’’=n
+ Q, Q. i  d$ h4 ?6 X若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
( G% u) q+ a* t6 l- u6 g- cM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
. e' R: i! W4 [5 B$ F0 F; }0 a =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
5 Y, j. j7 z" t$ j4 `1 f" H6 i =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
! t8 C7 g2 @5 v+ m6 w笔者   蔡正祥
3 _* A" M8 E$ F5 G# X        2011-8-6
# \0 P# j$ i% E. c1 a. B! I通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
( O% k  k5 h* q+ d6 I0 M  c邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
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