哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
* v3 {$ G/ F* L) I  e- s    一、质数表示式
% y$ E1 }( `; J6 |; H) S6 {1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
1 W1 |" A) u4 W) d4 t它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
) a3 n0 q/ ?$ ]# A! R  @. |. r* X将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
! R9 l" V& w, {# ~2 T$ M3 k则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
' }  x4 Z. H2 i2 n5 M" E6 A% m将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
7 `9 q+ O% Q0 p7 g* X' a# n: n即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
' R, z! w; Z5 j0 X3 R2 T即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
7 p) u: L* |2 E8 ^  b 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
% m# B- b/ m1 R6 q: ?( u0 ~设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
# R  Q3 n- N# f4 y' W, W& Y用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
+ q7 e6 A3 v% y, w# t1 x: f4 M+ zPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
& J; K5 u( ]. H2 W: ?                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
. x% z, v: E& e# l这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
! x; N& ?; r: t# R7 n  X2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
! v. ^7 R9 w- J2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
! T9 P$ u) F8 m; o5 J$ G% S# m( s1 A即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
( V/ U' E' R2 k4 M9 g在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
2 y% ]$ p( ?! t' f即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
$ n$ `; [$ Y* G% k& ?（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
" a% i1 h% J# M6 P2 A0 e6 }若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

9 I6 q4 B0 T) Q. Q, u& {  e得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
: A, g- ~! c; F3 a5 S1 i$ z若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
) d! y' c0 ?. C$ h& Z同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
- }. F+ q9 X- I' R; f在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
, u& o' a: Y- t8 Q) N9 O（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
. N! c  z7 f3 j+ U3 q3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
8 z3 G8 u' q) @6 O% m0 @+ {( ln        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
  [; Z5 H- H6 o1 HPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
7 j2 z/ \. ]) e
/ O' _6 K  q: b& l4 J# a+ l由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
* ~& u, {1 ~" K7 N! a# V又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
+ L1 n6 x  R0 _! w! y因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
- m' B1 A% ?' T, i* f则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
" m% u7 ^* D& a5 h(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
: f5 }& k; @  G- `# kM=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
" A4 {% e/ p* N' y6 |+ K3 S/ t* y然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
7 l$ e# w8 b" Z% M2 s. M  |已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
. O( {) q5 k  }Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
2 P2 X1 Y; I( _3 ]) W/ cPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
( L+ P' P3 m% A, M5 O% C! T9 T$ K
9 U2 A; J4 `* M/ m" t' O0 H' @       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
: h$ w8 A  J! J( K; C' b三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
5 X( K" q9 U* Q- B, f- z" Z若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
$ g+ U& c+ n. Q# Z（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
2 j& O' y! o$ [2 Q$ n或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
* p8 N! Z6 Y6 F9 r0 Z" P8 Z! e设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
1 k4 V# ]8 i. b! F, D" v, q代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
# x: Q5 H' k" S3 P( m或Pn*+Pn*+1=6+2n
: t6 d: C$ @: g5 ]1 `2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
6 V* R  i1 K6 Q. l即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
( j+ r/ d) v9 E( {代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
* Q( Y" h- R; z; i( W. x9 l设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
( X; e3 P' A% P: x" p; Z0 U6 i若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
9 N* ^% s% u* N: v) v) t得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
! e9 f0 \, ?: S1 [同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
4 U0 {$ N# U% J  X2 O1 J& I2 a即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2 H; L5 l) e9 ~- K2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
; o8 s7 h( o. [& f8 D' O2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
7 E0 O5 d' o4 `6 A2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
5 R! N: q$ ?( q) @Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
+ H2 y$ a2 ]2 w; d* A/ ^设  Pn=2  或        Pn=3
, w: {) E; b  Y7 S* _6 c$ X& x 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
3 T, x  G, E# c0 C. e* e（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
5 |& |, U1 A- g- jPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
, {6 N" t( e# H& f- a, U' Z/ _. Z: F  ^" HPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
1 A6 t/ i1 X3 j- w3 h1 o$ {3 p5 A或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
, Q5 {4 g+ W. j$ A5 l6 J& M     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
$ Z9 X: c5 v1 n    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
5 M" K5 S  d; k& q    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
1 N$ s7 _7 j* Y+ P- l. s    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
; J& u* c8 w% f! ?  ePn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
6 e5 S4 f; d5 U（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
" P$ I! R! C2 g  m7 v 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
7 C3 T. |( E2 G即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
' O- N& M% Z. E1 |7 B6 I' S1 k五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
  h# E0 J/ b. j* K+ q8 T7 z! {在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
9 Y' q! e; U8 q第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
2 `* Y' j' m) C0 s" c5 }' I                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
/ |. T1 g6 ~( v0 \3 i) F                                             =0+3+14+3=3+17
- o9 C. C2 K5 R' j2 A( `; R& e                                             =0+3+16+3=3+19
+ t$ i6 V7 r, F* E& k                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
, i# `- L0 f: P4 e* J6 a, C这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
- k( \) T# U7 \; o9 gPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
- A  ~, F6 N. ^% b: l0 h. n      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
; {- e' K3 m8 n! h# Y            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
1 F, N: d5 o. l            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
6 c; M, K$ P! j1 q( {$ l1 k                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
6 b* D. t( H4 i, x2 {4 h) W2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
" m6 S. E1 [4 m) s8 {                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
5 b" [: \: w7 {6 _5 U( S. t/ S2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
: v& h2 @6 p3 A2 Z$ K6 F/ i. P                                                   =3,4,5……
( x3 H9 `' \" t5 j; v即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
$ Q0 F6 {0 H. i) _7 B1 T' s2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
* L, g. W* n# E. h2 O) g设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
6 d; u: k. N& q0 Y      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
2 C6 B" P) _6 fPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
4 ]# ~7 J7 B( O4 {( h2n=4n’+2n’’’ ……（3）
- S* I6 M9 X% o8 ~" X' B4 N* d4 x1 F上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
' z) R8 L) D1 S+ M8 p0 M/ d  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
3 y2 n0 }0 }: g5 x  p1 x* S9 B- p, V  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
2 Q9 p; _) d. e3 o  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
& Y2 E, X$ Z  J9 f9 k/ {  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
; j& [' U9 s6 V1 ~, d（2）方程组
% L, j% k) L0 }3 [2 j( @Pn=2n’+3   ……（1）
! W( L$ ]! U5 w0 T5 H2 Q' m/ L: _Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
# {  e* @- O! a2 F+ h②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
; s4 D7 G) _6 G6 e  }③证明方程组成立
8 u# U: M( d. H5 L/ c0 G即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
# A+ z2 u" q  @& k6 h$ k又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
+ P0 X; W& i' X. U6 A+ P+ Q) B8 Q得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
* j/ Z0 Y! H; L7 g; YPn=2n’+3
7 m- R0 c" k) V# TPn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
, y% D; ]; B: n1 b9 M) \9 T即Pn=2n’+3成立
: w: W) h6 Q. j0 c" m* lPn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
# h$ L% ~  v) ?  =Pn+0，2，4，6……
: M1 A- a9 \+ N9 A- }已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
2 J0 Y/ N3 f& W: E9 Q" U- D则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
9 G! i0 j* t8 F: |2 p" L5 w% c设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
& Q. q1 V6 C3 y* n2 e! g   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
# I( i5 w1 q. v7 c     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
2 r7 w: G- h6 D& V# w      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
( r! c6 h, u& n5 \$ i" l, s     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
1 N% s# F" u9 D     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
, i6 e, [8 a: o4 b$ h! q0 ] 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
8 H7 n. N( D* Q9 ]% b, a) w; x六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
/ i6 ^( Q% W1 \2 l由上述三个特征得到三个定理（见注2）
  ?8 w1 f# l2 D+ U4 J7 X$ N4 o即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
/ p4 Z; B+ p* O% z: h$ `! K6 D3 U* f ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
9 W$ |4 S* ^4 C7 |③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
8 _3 |2 N7 ?0 l1 A4 ?$ w注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
+ Y9 @6 u( z. s公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
( g7 H, M; _! ^; v0 V' ~! A公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
* w* z( K( j5 V. C( n: }如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
- P1 P1 W: U& c6 h5 o# i这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
' J. [$ ^: J8 X3 n 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
; @5 @4 V1 o8 H; j   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
6 E3 F5 w, n* E2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
  c! L* p  R8 z$ S. O7 ?6 K' I注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
- L: C( f/ B, V+ g! t6 ?4 @已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
6 U! m$ g0 E; F) t即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
, D3 A, d8 A( X8 s+ ^M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
; W$ Q$ c1 v2 u$ @5 S9 i- A( h2 i得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
# f" q1 [! I) n( O% T例
% o, C* D" x0 U/ b, F1 `pn        3        3        5        5        59        61
1 }( Q4 H* ^, w+ o
Pn’        3        5        5        7        67        67
7 J. V+ P  o# }. v! G& ]2n’        0        2        0        2        8        6
% c& [; X, n& n, }n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
% o, ?6 y5 S  A. I' D% C0 S2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
* w+ F. ]% ?& A0 s! s$ k) e5 QPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
0 b' P) ~2 D5 f# S. K' d% B/ b. ], V2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
) A- `, C  Z1 x& z* f0 R7 ~2n’        0        2        0        2        8        6
- ~1 X, |6 I6 o/ Kn’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

' F) O9 R) h' x! }* y注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
: a7 ~# N, n& |9 j3 h" A若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
* M0 v# [  O4 s. R- ^式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
& K1 T6 G; e! R1 s5+7=3+2+5+2=4+8
2 e2 [7 X- C' }- F) I, \7+7=5+2+5+2=4+10
, t0 I" H: ]8 B59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
2 F$ y& g1 R/ E2 R, f…………………………
) e* y7 q' y4 [' C. X& [在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
9 x: l/ \6 r9 \5 K当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
7 `4 _5 ?! t4 f7 p) ~0 |% L. m( S1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
& Q* L% V: A( L- H, r; X若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
2 Q; j1 Q1 Z) ~ =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
2 }3 ^: a+ U. s" M. }$ l, @# ~/ B' r7 B即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
        2011-8-6
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