证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
, W. o8 P# C* K/ n若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
" k6 _9 C# \; g/ s1） x ≡r1

2 K, }# E) v" p( L(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
2） x ≡ r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
3） x ≡q1-r1
1 s2 R" \3 [8 F: e) q9 Y9 L
(mod q1)
x ≡ r2
1 [  j0 T8 K. H8 g1 T: a' u(mod q2)
4） x ≡q1-r1
(mod q1)
8 g) c% v% x7 Xx ≡q2-r2
: q0 |+ b- b+ U' s; h' O. ~(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
/ S8 b# W1 g. E8 z1 ]; l8 L) M1 u证明：
. O2 a9 u0 Q" C3 H. }根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
2 t( o6 F' Z  Q7 w# r令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
* U* }: i/ ]/ G# ~' C! @x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
! {3 c' u; Z/ l9 y5 _$ y则
x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
$ F" C9 Z  x, f% ~" T* v( i即
; S6 U+ E0 ~5 z: `8 ~/ E# ra1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
$ _( @) H3 X; a7 B7 h' f∴
# F* e% @9 s3 Ca1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
  l. J* A! x# l! \+ S同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
( h( b# W7 N. Q' R即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。