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证明素数对称分布定理的五个引理(三)

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李彦修        

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发表于 2009-4-4 09:31 |只看该作者 |倒序浏览
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引理1.5) E( @) ?0 M& d- G7 [: g. z
q1 q2为奇素数,则以下同余方程组
9 i- P' F- E& ?  y
1 x ≡r17 g; F" J  w; b8 }; M' t5 B

7 ~2 q. I* _# t  f7 v(mod q1)

# y( [% J3 ?% D8 N6 X2 X8 H( Tx ≡ r2
9 Y! {* ]+ J9 T9 W
(mod q2)
# b$ H/ K: z$ v  d5 Z. o1 H
2 x ≡ r1
; c( s0 ~( w  h' F(mod q1)

( S/ G& E# q+ c& b: a- Qx ≡q2-r2
* [4 r" f- U) _
(mod q2)
: W: B( l8 _& @  ~
3 x ≡q1-r1
% }9 M1 r5 a! W2 f, K. U5 @9 k1 R" I' }% p7 ?2 `; r( x
(mod q1)

4 f" ^0 E) Q6 w  T( S# u! _; Zx ≡ r2
0 J3 I3 Y6 f6 \, L! q" ?
(mod q2)

1 t1 @7 i! r6 F' U/ Q4 x ≡q1-r1
5 D% N) P; _: J# _3 q# o" t(mod q1)

5 M( m' D' c( |/ B$ `; S' q$ _" }x ≡q2-r2' w* Z2 G- a% R8 u) ~
(mod q2)

, s/ N' H2 |4 n  x+ f( `小于q1q24个解必然2个为奇数,2个为偶数。
$ ~6 J( v  k  G+ T8 v证明:
# g8 w! b  i5 t; a7 g1 v9 r根据孙子定理,每个方程组都有小于q1q2的唯一解。8 x: {7 h1 [+ V) V1 y; y, @9 \
令同余方程组1)、2)、3)、4)的小于q1q2的解分别为:
3 R2 s/ v2 R' g8 k% y% }  H' yx1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
# D& I5 {3 T0 _* b) B8 C) rx2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2* g$ y/ y3 O8 y- T# {
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
# j) d8 g. n$ O. R; q. ?8 lx4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
8 s0 |$ H5 U+ @& V! ^: H" j/ u8 P' n$ r# R; m5 Q- O
x1+x4=
a1+ a4+1q1=b1+b4+1q2
* d8 h" K5 |' N/ ?& F, z
3 ?" q5 W+ }- {9 n- H' i
a1+ a4+1= q2b1+b4+1= q1

8 M" X7 {2 n5 d8 k, F7 O+ W! x( ^+ q7 Z* l1 }: ]
a1
a4 b1b4只能同为奇数或偶数。因此可推出,x1若为奇数,x4便为偶数;x1若为偶数,x4便为奇数。即,x1x4总是一奇一偶。

" h5 t  s3 H  }6 S- w* H/ S7 Z同理可证x2x3也总是一奇一偶相对的。
7 b+ s3 [& N- b' T" X# V即是说,x1x2x3x44个解中,总是2个为奇数,2个为偶数。
; I7 e0 k. N# p4 V/ g; s# }2 b定理得证。
zan
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