证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
* }6 Y5 I( q2 g% ?1） x ≡r1

(mod q1)
0 N+ _( L  y! r. i; Tx ≡ r2
- {  R" H  i3 l3 J; F(mod q2)
: F1 T$ o' Q! G! g# l2） x ≡ r1
: v" C! \1 I7 X1 t(mod q1)
x ≡q2-r2
0 B  Q4 e5 {+ y$ I! @5 c(mod q2)
% ~$ k5 G/ M( a. C" r1 I5 w3） x ≡q1-r1

3 B  {  o9 {2 @+ \$ J  f8 _(mod q1)
9 Z' _/ t& M" g- [x ≡ r2
* I* D: H: S: Q7 ]8 L(mod q2)
0 ]& W8 f: q; L  p- g4） x ≡q1-r1
, ?9 @0 J! |, }5 c* ^& i(mod q1)
) {7 a2 Q& a) I, x: w. R5 P1 |x ≡q2-r2
(mod q2)
- {: M) @$ |$ \1 L/ l9 }7 H# d小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
5 U( Y3 j0 N6 `令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
5 `* v, \* C! [( I% ox1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
' X3 X2 P; z. R& Zx3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
' ^+ x4 ]2 X/ Y. g5 Yx4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
2 u! d  N- w, zx1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
即
# U. c' z0 Z6 o3 Xa1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
∴
6 G9 y8 f$ G+ P2 Va1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。