证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
0 o' W) P2 o1 f若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
1） x ≡r1
% u- _$ H7 b" `
(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
2） x ≡ r1
(mod q1)
0 i1 K) i  r5 W% bx ≡q2-r2
0 K6 c+ F) t* d5 h5 ?4 c, g* H- m1 {+ A(mod q2)
% e+ [0 T: n4 [7 {3 h* x8 z3） x ≡q1-r1
, s9 B6 w/ J* M
8 R. m* ^! u) Q& N1 K) h* u# g& V(mod q1)
7 [0 t" M( l5 c9 K, c$ V8 o1 cx ≡ r2
(mod q2)
3 M' Q! |! }  M; C. ~* {- w4） x ≡q1-r1
5 L$ Y2 r6 B6 t! N) {. v(mod q1)
x ≡q2-r2
, Z( P) L! z4 P$ z(mod q2)
. N; P* h0 ~& |小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
4 k, ~2 O5 i- ?4 b" q根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
! k8 B: z; i5 r- U7 h令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
; s; h+ v8 ]& F7 N3 o2 p* p4 R% Lx1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
  X3 Q7 k* Y" v/ g/ A& |7 B- Y4 F( sx4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
* v% C6 E, d+ W& J/ W则
+ D- _- A0 \  U( t  bx1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
; O2 t' v" S$ N  M( m7 o6 o  f: Z∴
4 X/ q4 {: D2 ~1 wa1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
' w, e) ^/ i! z+ a; Q' I/ }6 y同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。