证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
) K* r. Q8 ^$ K* A% @7 f7 T" q% i若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
$ t! J) o* V" D8 K; u1） x ≡r1
. ]$ k: ]+ t( A4 N
(mod q1)
/ \' _& A" Q2 z3 Kx ≡ r2
(mod q2)
7 r, }6 }# _- D7 @+ O2） x ≡ r1
% M0 n1 ]% I- k(mod q1)
x ≡q2-r2
! Z; c* W3 `3 f* W! s) n7 M(mod q2)
3） x ≡q1-r1
; I* w4 g& W, ]* ]. \6 X" n
6 i% C: O# n4 o, y6 m(mod q1)
; L+ z: A. b; nx ≡ r2
(mod q2)
% J7 j* `! K1 |6 [; U4 e4） x ≡q1-r1
(mod q1)
, Y: e0 v( e/ d; h2 h. ~x ≡q2-r2
4 q8 z# v, ^+ h# a6 _(mod q2)
. Y, t) h- T0 _; g7 V; F+ `小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
/ R: Q% V  G- S' b) Y& M4 e令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
" j! |8 U" u5 d6 m1 Z6 W8 Sx1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
. s; y. ~+ S. [/ Tx2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
: I% M  N: W5 X- g+ xx1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
1 l7 G( s; M$ w! A9 z即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
( z6 r0 R/ h# b' b" `, y定理得证。