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引理1.5
) K* r. Q8 ^$ K* A% @7 f7 T" q% i若q1 、q2为奇素数,则以下同余方程组
$ t! J) o* V" D8 K; u1) x ≡r1
. ]$ k: ]+ t( A4 N G, i9 Z, s( a; Z7 \3 s, l% l
(mod q1)
/ \' _& A" Q2 z3 Kx ≡ r2+ y8 i6 N& g; F' X0 f* y
(mod q2)
7 r, }6 }# _- D7 @+ O2) x ≡ r1
% M0 n1 ]% I- k(mod q1)/ k3 C3 ~9 t0 V. {# W
x ≡q2-r2
! Z; c* W3 `3 f* W! s) n7 M(mod q2)8 t1 q) v4 J N A, e1 _+ ~
3) x ≡q1-r1
; I* w4 g& W, ]* ]. \6 X" n
6 i% C: O# n4 o, y6 m(mod q1)
; L+ z: A. b; nx ≡ r2 " {' n5 X d' i/ a, w2 Q& Z9 a
(mod q2)
% J7 j* `! K1 |6 [; U4 e4) x ≡q1-r1 + e( H, d+ {. L U
(mod q1)
, Y: e0 v( e/ d; h2 h. ~x ≡q2-r2
4 q8 z# v, ^+ h# a6 _(mod q2)
. Y, t) h- T0 _; g7 V; F+ `小于q1q2的4个解必然2个为奇数,2个为偶数。* U- y) j) D( b5 ~& {
证明:' j+ w* P ~' ]6 m
根据孙子定理,每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
/ R: Q% V G- S' b) Y& M4 e令同余方程组1)、2)、3)、4)的小于q1q2的解分别为:
" j! |8 U" u5 d6 m1 Z6 W8 Sx1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
. s; y. ~+ S. [/ Tx2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r27 g4 V2 t. I8 v1 k& d& V0 Z
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2- c1 I/ Q+ [/ A
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2& A3 h2 X0 y5 U. t" N# b- ^! x
则
: I% M N: W5 X- g+ xx1+x4=(a1+ a4+1)q1=(b1+b4+1)q2
1 l7 G( s; M$ w! A9 z即7 k( s& a4 ?2 e& h8 R9 a x$ S6 Q
a1+ a4+1= q2,b1+b4+1= q19 i% ?/ a" E( P' E, s+ G/ ^
∴ o/ q1 l" P! r" t! D7 [4 B: p
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出,x1若为奇数,x4便为偶数;x1若为偶数,x4便为奇数。即,x1与x4总是一奇一偶。8 L* S' @- L2 H' w- X4 x/ j
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。3 j& S0 l9 z! s
即是说,x1、x2、x3、x4这4个解中,总是2个为奇数,2个为偶数。
( z6 r0 R/ h# b' b" `, y定理得证。 |
zan
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