证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
1） x ≡r1

7 ~2 q. I* _# t  f7 v(mod q1)
# y( [% J3 ?% D8 N6 X2 X8 H( Tx ≡ r2
9 Y! {* ]+ J9 T9 W(mod q2)
2） x ≡ r1
; c( s0 ~( w  h' F(mod q1)
( S/ G& E# q+ c& b: a- Qx ≡q2-r2
* [4 r" f- U) _(mod q2)
3） x ≡q1-r1
% }9 M1 r5 a! W2 f, K. U5 @
(mod q1)
4 f" ^0 E) Q6 w  T( S# u! _; Zx ≡ r2
0 J3 I3 Y6 f6 \, L! q" ?(mod q2)
1 t1 @7 i! r6 F' U/ Q4） x ≡q1-r1
5 D% N) P; _: J# _3 q# o" t(mod q1)
5 M( m' D' c( |/ B$ `; S' q$ _" }x ≡q2-r2
(mod q2)
, s/ N' H2 |4 n  x+ f( `小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
$ ~6 J( v  k  G+ T8 v证明：
# g8 w! b  i5 t; a7 g1 v9 r根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
3 R2 s/ v2 R' g8 k% y% }  H' yx1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
# D& I5 {3 T0 _* b) B8 C) rx2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
# j) d8 g. n$ O. R; q. ?8 lx4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
8 s0 |$ H5 U+ @& V! ^: H" j/ u则
x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
8 M" X7 {2 n5 d8 k, F7 O∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
" h5 t  s3 H  }6 S- w* H/ S7 Z同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
7 b+ s3 [& N- b' T" X# V即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
; I7 e0 k. N# p4 V/ g; s# }2 b定理得证。