证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
1） x ≡ 0
7 D/ P7 }: j; _) Q# l(mod q1)
x ≡ r2
: d: _$ g3 q0 k' A(mod q2)
! X3 N. u& q8 h; [2） x ≡ 0
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
证明：
2 L4 U0 @: w& R* P. S5 U- q根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
令方程组1）与2）的解分别为：
* ^& K2 T- }! H9 p1 _& C/ \" sx1=a1q1=b1q2+ r2
% o4 A  q! J$ w7 P0 \x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
$ w8 @# F& \' P; P/ N$ f3 @∵
( j" [4 e* m- kq1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
' X# ?/ E) S( M6 h+ c9 ^9 Q∴
x1+x2< 2q1q2,
∴
% Y8 _* k* j+ u3 d# j8 b1 O; ea1+ a2 =q2
) Z! K8 y9 w4 W/ p# j  X3 M% P，b1+b2+ 1=q1
∵ q2为奇素数，
∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
- L9 ?& T" `$ Z∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
* w$ K0 O+ @# j9 t∴
x1=a1q1=b1q2+ r2
$ J5 \8 q8 O+ lx2=a2q1=b2q2+ q2-r2
也只能一个为奇数，一个为偶数。
% L* r* @, y1 i, Z% ^定理得证。

azqw

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