证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
1） x ≡ 0
(mod q1)
( a$ P% v6 M; G8 O3 j/ Xx ≡ r2
- i! S& Z9 Y2 U8 I) C1 y(mod q2)
2） x ≡ 0
(mod q1)
# L: z/ U2 u3 P2 Yx ≡q2-r2
. B- d% x# i" e8 \6 M* t* F(mod q2)
小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
证明：
! W% _2 Y& j/ O. a( G根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
令方程组1）与2）的解分别为：
" q5 x' t2 i( P  d( n" ix1=a1q1=b1q2+ r2
* s1 }  t; @. ]/ ?. sx2=a2q1=b2q2+ q2-r2
则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
! j% e9 Z# v$ M' n/ M* o% }( q∵
q1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
∴
! M# D9 Y, z; X% h- ]1 J7 lx1+x2< 2q1q2,
∴
a1+ a2 =q2
: T1 b6 P9 ^1 R; D5 {& Y  H，b1+b2+ 1=q1
: X1 e( M, L2 o! F∵ q2为奇素数，
- m* [8 n& x. X& Z/ M; H2 [+ u∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
- M% V; \) m5 n% U- F∴
4 s8 {4 O% [8 _8 X9 e$ \' qx1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
/ e% `" f9 r: Q3 `' S  k; _也只能一个为奇数，一个为偶数。
定理得证。

azqw

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