证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
9 B' W( M; \+ k4 E2 g7 z7 {1） x ≡ 0
$ h: {& d2 `1 b% s' L(mod q1)
! {* k: i" K& }5 b' |x ≡ r2
(mod q2)
2） x ≡ 0
(mod q1)
" N' p: s- k- f5 ]x ≡q2-r2
(mod q2)
; q% m: N/ p! M2 F* R, o小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
/ D+ y! Q2 N3 ?8 F0 P0 f证明：
根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
+ T& i5 ]  L3 v& L, [9 c/ P令方程组1）与2）的解分别为：
x1=a1q1=b1q2+ r2
" K) ?. v, B2 m8 R, B# T9 hx2=a2q1=b2q2+ q2-r2
9 _3 ]' Y, p# J! P) j  X% u5 O则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
8 y/ Y( f7 X( A! V3 V) ~即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
∵
& h3 r$ x/ e) T; V2 R8 c; Eq1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
  ?) L3 m) S6 T) q3 G∴
0 s3 S9 C/ o9 O5 ?x1+x2< 2q1q2,
∴
a1+ a2 =q2
3 w9 N7 q/ v; R2 t1 d$ p，b1+b2+ 1=q1
∵ q2为奇素数，
∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
" V$ H. M' R7 A1 l# s% |! J∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
7 A/ D2 i7 S! w# e∴
x1=a1q1=b1q2+ r2
6 X' H, ~8 I  ^" ?  Jx2=a2q1=b2q2+ q2-r2
2 B2 l4 D# P6 [6 g0 x也只能一个为奇数，一个为偶数。
定理得证。

azqw

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