巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化
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　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
/ D1 R% k& M4 c+ {. [% A亞和伊拉克。
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　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
" l, e  c9 K- z/ N一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。
  U3 |( C6 q+ _6 u. n, p9 u
　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
& [. p: o! K; f, I$ D% C9 m6 P/ Y. `十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
" U5 [6 [" I0 i的貢獻。
& O1 y4 e$ ~  ]- T, d! N% |- ?
　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
8 r: r% |; z6 p的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
3 N3 \' C5 [. |7 a: c: y" i% d/ |磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
板書。

# q8 n% _( \- t# M( y/ c, x0 B　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
4 H* s' \. T$ P  }工程的研究，這是當時其他國家少有的。

& Z  o" r7 Z4 Y( o) y; V0 Z! G+ t" s" v　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
& I/ p# V! E, F; M# U土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
土下，上面只有野羊奔跑的荒原。
* p3 {% e: z8 C" {
　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
& J4 _( B( u2 u4 L板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
, ]" a1 t5 N3 `, U. C5 ^載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
3 @* f+ }3 P4 V' i6 `3 c( V+ v6 k9 i除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
高。
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　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
* F- p+ b% e% C  Q$ d% E+ b. r* G裡就談談他們這方面的貢獻。

　

* {: h( W0 B9 o% A巴比侖人的記數法

　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
+ E* `: Y1 S3 e) T+ v" m' t0 A進位。
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　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
5 h9 i9 b: S# @2 E# t「逢十進一」就是基於這種原理。
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) u7 E* H: x! ^; M　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
& S  |; C% r0 G/ v# c5 k2 Y助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。
- r3 a) r1 ?! O$ y/ V% B3 l
　　　　　　

　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
) P( k% b9 F, u3 B7 j  z是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
2 t- l$ h7 v4 L9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
; i, |# q- @" R3 C3 j上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
. l3 N, X8 k. n( s3 個小球。
; j9 P2 @8 w. z& b* J
　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。

0 \7 ?& m% y1 {8 c' V1 }/ c　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
法。
! K% k4 h7 x) T
　

　
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　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。
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　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
4 _0 S& s) P. ]2 T五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
( m5 {" E; S( E+ ]: |& K+ s  N星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
等等，我們現代還是繼續採用。
! T# L- [. }1 L) X' E8 m
　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
" l. t( m# a  H% F( G/ R7 \吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。
) G# f4 |% H! ?+ c: A
　

0 b4 O+ K" K& ^+ U　
1 P$ @! P" K$ D, U4 A
　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
4 n* j) d7 }7 [; U4 V出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。
8 q( s. X+ u% `+ Y/ q
　

4 G3 N5 ]- b+ K% h+ Q1 u5 U3 a  |　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
2 G: C4 f/ c( F3 i前五行是形如：

! d* Q1 [  Z9 H7 h　

$ z6 i6 z8 M  a4 P5 e很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。
( `4 k5 p6 E% t$ V! `* r: m
2 }# n. @# o/ X; t- `　　可是接下來的卻是這樣的符號：
! I) j  E$ v! e' {. }
　　　　
　　如果我們前面知道的符號是寫成：
' Q0 v5 ]" x4 Z" _6 T
8 F) h9 I, h& Q! o. A　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10

　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。
# e  K5 i: g: g4 N( X
+ _' P3 A0 i1 G- U. p  v　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。
1 G# D5 ]$ Y& }
, ^5 E3 T1 F( O& {. f　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。

　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。

　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。

　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841
; g* g5 M) j5 J% Y* i4 X
　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。

+ \# X+ f8 v* M# p/ D+ I7 Y　
4 Y- o2 ~3 U: d) Y- S' C
巴比侖人怎樣進行除法運算？
- ]1 m) V) }6 s  e# Z! Q; r
　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。
& }* s& W. m( s5 K
$ L2 l) H# g6 I% p- O( l1 m& f# C; S9 I; ?2 30 16 3,45 45 1 ,20
3 20 18 3,20 48 1 ,15
4 15 20 3 50 1 ,12
5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
5 G% A8 r1 v8 T# W0 l4 P9 C9 6,40 30 2
10 6 32 1,52,30
! b, a2 l! X  z$ L. O% n; z12 5 36 1,40
; J; e9 {& H. v8 O15 4 40 1,30
" \6 {9 t+ f, ^3 n8 I- `  L2 t
　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
' g. U* ]  A7 v8 G" g% l% Q; v意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：

: V. g# `& s. P5 r　　　　　　　

　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
對應 2,13,20意思就是：
- ?" t# `1 m9 k  x! a$ m- h8 H7 e
; M8 y3 c4 j" f8 \+ D( p& R! \& [　　　　　　 　
( F! i8 x& c% }4 w. m. @9 G
　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
: m- ~  l  I" g' X# \3 n這是什麼原因呢？
! K" Z2 \& t( d; [
  g/ m" u2 [6 r2 |9 i　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
" r8 u" C4 g: {# y/ u, i$ Q: H8 \數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。
1 @, q- m8 {3 H$ |
- p& f  Z8 y; P8 E2 u" u　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。

* z( v% y0 o* F3 B& W3 s4 g2 ]% R! b. {　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？

　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
, B# z( ]4 K# D5 _7 N6 z6 qa ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
化除為乘」，計算有時是會快捷一些。
/ s6 @6 G* _( I( R* Y5 S# T
( z7 ^7 B) G! k- J　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
, T) T5 P+ W' D- ]. y9 w% j) t4 c、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
* m  U8 d1 }5 z$ N& u決，這時候「倒數表」就很有用了。