巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化
0 n  o+ p: |! F
% e" T5 p/ Y3 t; S+ \　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
# `2 a* R/ n( q6 t$ m河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
亞和伊拉克。
5 `% B( Y* }  ~8 A
　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。
  q; ]$ x* g4 R5 p3 L  A
; v& j9 s0 `2 D# [' D# Q　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
8 d' c5 m, D( \! m- m; f8 E) T十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
的貢獻。
0 U2 j; Y2 x/ g! Y! v, E' X* b
8 U) `- b8 ]3 R　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
板書。

　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
: S. C3 _% R7 b& P, h，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
% B* l9 |9 N9 c: M; f- F6 B! `8 [9 L工程的研究，這是當時其他國家少有的。

　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
. Q7 M( t9 R9 u+ P' r/ T' S; I/ w, I土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
2 j, d! I* b& \這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
土下，上面只有野羊奔跑的荒原。
+ y$ g. U- i. }4 t! D7 s, O
7 n2 U2 s! y+ f2 q　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
7 S9 I% j, U4 f- U. e& ^板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
高。
* Q4 c# [+ w; U& P
　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
裡就談談他們這方面的貢獻。

　

巴比侖人的記數法

  X! U- M) g9 V5 i, ]+ o' q  B　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
進位。
1 O/ g# A5 U4 E
  c' v: I* W6 m1 \4 B8 _1 y& O　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
「逢十進一」就是基於這種原理。

　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。

　　　　　　
% h8 a, A1 P2 `
　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
  l6 T1 I$ f) m1 c是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
$ f* \# J5 ?) x) _' d3 _) s& T9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
3 個小球。
; e) p( f$ m& H3 M
4 q+ o+ Y6 e! ?4 v* e8 {4 k　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
" Q$ |* G; J1 k) N( e* d# N; e' C個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。
0 C  B, b# P! o! ]# ^( z7 K5 c! j
, D4 d+ G9 _' P6 m+ q4 D4 Z　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
- i' q4 s1 \* }/ o; R' G2 P（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
法。

　
. I8 i; B/ ]6 e" J0 L" L
　

% {# L% u! B; F* o+ _3 P6 t+ ~　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。

　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
" }8 ~0 O% f' C' y" }9 F7 a- J五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
. L  D. {$ T( n6 w% i5 i% V, ]1 x星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
# i% s3 g' Y5 I. l3 N0 ~3 x3 G等等，我們現代還是繼續採用。
) G' r( F. {; g9 v. t& E; ~5 e
　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。

4 d5 v* V7 Y4 M! ]6 o　

1 o9 U2 Y1 l% ]5 R$ g　
+ Y6 S* \0 t. U, a
2 ~) t! u! g; x& U* ^5 s4 X! E0 |　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。
/ ^5 Q/ p5 F3 H2 u9 Z
　
5 ]) R! ?& }8 |0 s, l/ {! `7 R
+ d6 B1 {! E: H6 H　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
前五行是形如：

! l6 _6 N5 R9 g7 `* E% s5 c: t5 l　
  G6 F4 @8 {6 \! y0 x3 O
/ d: z' v9 W* T5 Z( f& n# C很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。

- J2 v# q  |% u1 X" X0 n　　可是接下來的卻是這樣的符號：

7 ]) {9 \2 _3 Q; [/ Q8 [. T3 {0 J　　　　
% X( w# W4 K+ [' V; O　　如果我們前面知道的符號是寫成：

7 n. O: r' Y& k  A- p: B/ E　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10

' B) B- d( i) f. p: U　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
6 k" {4 r) u0 e% r6 D; C3 u( g" E　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。
  H# a/ n& [4 S- {& V# X0 j
　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
* ?& r# c3 E, S7 t. \就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
+ k$ q, @. Z6 J$ l' B$ ^/ Y0 l將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。

　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。

　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
) L7 n. e! \" O1 `. s看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。

$ ?8 B( p3 m/ `/ b$ W: S' ?　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。
' L1 ^2 c* r3 H0 c/ w
　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841
& v/ _2 |; @4 ]2 l* N# Z
　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。
7 z, F3 k+ k5 N2 A  e0 A
　

) ^  `( C8 x7 ?' J, R巴比侖人怎樣進行除法運算？
$ L( p3 F, ^) J' E: |
1 c+ a) U. q5 V. f, a* m　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。

2 30 16 3,45 45 1 ,20
3 20 18 3,20 48 1 ,15
) N1 K# b, g1 d; K( J6 j: I- v* S3 `4 15 20 3 50 1 ,12
5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
& W' m" p9 ~6 a1 ]  U5 Z5 A6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
9 6,40 30 2
  ~) C# v( |% a$ v, U& c! w/ c# X10 6 32 1,52,30
. A6 p3 y' q  f+ D" Z12 5 36 1,40
15 4 40 1,30
5 d. @- g0 I- d) \! i
" ?1 }9 ~2 F2 h- l4 z　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
# I. [$ \! `/ n% d1 F( e7 v現在把以上的表改寫：

% X* s; u  u( I- s　　　　　　　

. y' O2 X, e! _8 X) B9 T' }　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
  D* L. v* C" |5 J7 v對應 2,13,20意思就是：
, t" w, g* H+ ?$ ~6 H
* m5 Y1 N( t  k: g, ^( K" u　　　　　　 　
( D2 u7 P2 i* ~4 F0 y. ?
　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
這是什麼原因呢？

　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

; H% j( d* v; D$ `　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
! l  L6 d0 e: x1 Z0 h/ Z8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。
; G! l7 U7 S3 L) S' N+ H3 Q
　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？
5 |- t, {. ?0 I( Y6 a) E
　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
a ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
化除為乘」，計算有時是會快捷一些。

, ?* N, c! H3 _! J+ K  ?　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
決，這時候「倒數表」就很有用了。