巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化

5 L, {* ]$ X  L　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
亞和伊拉克。
+ }5 ~, n0 v5 \- v# H# R
　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
) a" Z4 t; f- L7 f. _- Z. X4 K人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
/ G; }$ ?' d  J& G一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。

　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
: [. h/ d, X. a' T. S3 r# V秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
6 s) Q" |! ?& h十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
9 w- R1 q2 ^) p9 d, J3 F" }7 P的貢獻。

　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
2 I+ D, F& ?6 R# c9 t板書。
) Y; Y2 m" [: ?4 @8 K
　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
% z) w3 Q( S% }6 y- Q  a  w，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
* r" ?$ E8 W' y8 {8 v8 F7 P，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
6 ^. j& `% F+ T3 x工程的研究，這是當時其他國家少有的。
* H0 C) w& c! e8 x
　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
6 o3 r, \+ R0 M. p& D. t4 c這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
: j2 e& ~  I! d: h0 I1 q土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
7 y# M( W& u# C& m及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
$ z4 s& C" f* Y. ?8 v微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
9 q- j" F2 P$ T, X; K3 D板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
* E* ]1 a' I) o' R) Z' w. n比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
' }( X+ r  z5 k' O# v( X載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
2 b- j) `3 O1 o高。

　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
裡就談談他們這方面的貢獻。

# A3 @0 C3 h9 R( m$ w　
% }# }$ _$ _) B; y2 k! C
2 K, d) y/ [) ?- e' ~巴比侖人的記數法
% M: c& c4 y5 L$ ?7 {. l
　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
4 h5 Y9 \& j: ?$ _$ ^. ?: z進位。
1 ?) o" w* P- R1 S
　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
「逢十進一」就是基於這種原理。

　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。
8 v  T: {6 z: H
　　　　　　
( v- ]+ n* Z2 m4 Z
　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
; `* ]) C6 Z/ I1 ]8 `稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
. l! h5 d- k8 f) T3 D& O5 B是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
5 V: S" @2 A8 y- A7 C- P上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
0 x7 G0 a( h2 t& T1 R3 個小球。

" C( v' q% a: J% f1 i　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
( C6 }' [! O' l) C4 i, n個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。
6 Y2 o8 C( q7 @! f* W5 b
" v" j* L; x: _8 Y　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
  |+ b3 E% Z; {7 N0 W, @（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
% X' P3 J8 H# j$ f( V$ z法。
" j3 C) u( T  t; z2 `
+ y8 g) }  D& P+ }5 G( x　
4 i# @2 v/ J4 y' z5 }$ k3 R, k* T
　

! r! D; S* P3 d  E6 e+ r　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。
- p4 U( M# r! Y" E, ~& Z
　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
% ?* H4 t' t: H7 b5 @等等，我們現代還是繼續採用。
" }' I! x' I/ x! v: e& B
: Y. ?, G. D: X* \　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。

　

　

; E2 U& E/ z% l( J; c　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。
9 v2 y  F: ?; _  P8 k4 I2 D
　

　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
( e4 \$ |0 m% ^前五行是形如：
9 }* F5 e' Q. u' ~' g1 r
8 v+ A/ O# @4 ^9 Z5 p2 Q　
! l( n& B* y2 s( t. O2 {
: u( ^) L: Y( |5 n6 a# V) ?: A2 X很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。

　　可是接下來的卻是這樣的符號：
" e; M: A9 O+ D! q/ x, n) B  B
' h0 J9 G: \$ ?2 B8 B; P　　　　
　　如果我們前面知道的符號是寫成：
6 [8 o) f6 A/ G/ h- N9 C
( G& s2 C$ y+ G; O) E　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10
# b3 Q& e, \$ x/ J2 a( j
8 j: ~# b, N8 ]& C- b8 h) z　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
  r+ X8 c# M, W　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。
( w9 [% g& U: B' j" l( }
　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。

　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
5 E! o% O1 e  y1 [# n, M) z+ A. y) N他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。

　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
& r& a2 x! n/ j7 P: ?0 |: V看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。

5 ?1 }0 u+ K$ r$ m! o1 d) O* D( ^+ X, [　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。

　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841
& f, h6 q% t' N0 ^
6 U8 j! k8 M+ k4 ?+ F' q" e　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。

　

巴比侖人怎樣進行除法運算？

! z5 H1 y9 F* K1 Y　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。

2 30 16 3,45 45 1 ,20
( e0 }0 h' \* g3 20 18 3,20 48 1 ,15
4 15 20 3 50 1 ,12
) L0 U0 O' E" Q  ]" U& O/ T) E1 ^5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
( V/ W$ g; p. x; ?; ]" s, X+ z) x6 10 25 2,24
: F' V- }" a7 D; E: _  \8 7,30 27 2,13,20
- A0 }9 P# _% Q: G: D; O9 6,40 30 2
: q0 I+ ]9 |( z/ z2 o) `- ]& t10 6 32 1,52,30
; J6 e' F0 ?7 C. t- w0 R4 E- y* j' r3 S6 E12 5 36 1,40
2 h/ ~3 x4 ~4 d0 i: K, C15 4 40 1,30

　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：
: e0 L5 ^8 k3 ?# c: `
　　　　　　　

　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
5 d5 m8 X4 I1 O4 _& c; }對應 2,13,20意思就是：
* ]& _9 {* d$ `
% O' O8 U) m8 K/ N+ K! a& \　　　　　　 　
0 w" k: m7 \4 y; w' h% u
　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
這是什麼原因呢？
$ K! K- O+ B8 d; ?2 V0 J
　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

9 g, V/ O9 U2 Y　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
6 T+ f2 c/ @: R! y8 S% P) U8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
" O1 F$ |% {, ^4 c1 F* V( n; d式以至無窮。

　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？
7 N( f0 q" b% L5 u
　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
. `" J- ^/ O: |# u, }a ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
化除為乘」，計算有時是會快捷一些。
7 c1 `- z- l# ~/ o+ |5 \# [
4 @5 a/ c( e+ Q$ G& M) S) s) {3 T　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
- Q& ]: m& v# `4 j7 t# h1 F、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
  l* i& h" M! K& n: X% F決，這時候「倒數表」就很有用了。