巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化

6 `2 H3 L% s5 s3 g　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
3 a7 r1 q* Y& l9 s# _河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
亞和伊拉克。
! ]6 ?8 B9 \2 S8 A* ]- C: s1 C
6 t& b- b( D5 y+ }3 \　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。

/ o8 f# J$ T8 N& B3 O　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
2 J& ~; v) d+ Q9 {$ h4 x; N秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
9 S1 u& v* j, E+ ?% R6 N5 {0 ?的貢獻。

2 x. O4 O* T' [- |$ ?　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
% f/ a" F# M' D; u6 W: \板書。

! c$ D* K( I- Q3 [' x  Z9 e; T$ I  i　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
& a8 u+ e+ r/ ]) Y: }( M5 e，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
: x2 w, Q4 X7 q& d5 V5 V$ t; |工程的研究，這是當時其他國家少有的。
# E( d( T4 H" x: A
# h  \+ r( D3 A7 h6 U　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
- Q* ?- [* z; t土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
8 N9 A6 F  [- F" g& x* u7 [這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
$ h+ t) v, q5 D, S: _# H: U' F土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

# G! j3 B$ h3 G9 U$ a3 {　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
6 E0 [2 _1 r2 K- M6 [/ v2 G及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
3 ~5 S" u3 C. q* Y1 Q" b& K, b了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
3 g3 y5 A3 e  a1 @比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
7 A4 K3 n9 k: h% ?9 d6 I5 l8 W載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
高。
7 y% ?% n: I% `+ a3 W# I+ Q
8 a, C) J. \; K2 ?4 u　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
裡就談談他們這方面的貢獻。

- R1 M3 O4 `# U7 t　
+ m, F7 b2 d+ q, Q1 w% v8 x" J2 z; I
巴比侖人的記數法

$ V# m# Q. x3 b1 d' [  v4 F2 d　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
進位。

　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
' ]4 H; L2 R- g「逢十進一」就是基於這種原理。
! k- k" j6 K/ Z# r) \
7 z5 B  {4 X7 W4 B　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
1 V2 Y" l* I" X# M- H糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。
. ?* F" d6 r7 \8 y5 N" ~' a
4 W6 [. S9 H. j, O3 }! m. d* e" N　　　　　　

　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
7 Q+ {9 q0 Z0 l# \' P是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
* J; {0 ^8 a# Y8 y9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
& Y) g$ d# i7 O/ T" T6 _上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
! [# Y8 W. Z! t9 Y" e5 A3 個小球。

　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。

　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
( \( U& r+ e4 ^9 O) x9 [/ W（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
: s, @# K, m4 i* z7 L法。
4 v) E7 x. K  E# g9 w0 ?
　

0 h( T3 e' {' e1 {& T0 w# \　

　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
$ E  E( K" k- h( m2 J5 d時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。

　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
: L- d- \) y1 G. \五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
  H1 t+ L' Z7 V' r星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
0 F; V6 r- ]8 I- D$ i4 V7 a等等，我們現代還是繼續採用。

　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
: r6 {; U% h% d% q吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。
, }; q* o4 @5 C' r# v
　

: I4 `* d; }! e9 k. z% s3 {" ]　
# P+ p  m2 F& e# W# n5 u/ g) X
　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。
( n9 }7 Y. c; m7 D9 {% y) H2 o
( p: j& g) T' Q& u/ d　

　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
前五行是形如：
3 X+ O( E, y3 B, V: t2 x
7 ~+ t% x- t! H　

很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。

* X6 e, E' v7 y& M: b8 F; R/ n　　可是接下來的卻是這樣的符號：
+ n$ f/ n& V) C
. ~# ^0 p% i1 \3 m" f( u　　　　
7 ^& d* u/ ?5 @: Y　　如果我們前面知道的符號是寫成：

　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10
  X9 [* j7 W. V7 J. a3 G
　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。

　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。
5 W  v8 f/ r! x5 _. n- j
( x. V* e% Y/ C) n7 b　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
$ V9 F$ {9 k6 e- Q- z0 |  k看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。

　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。
& g5 b/ u0 Z- ]; ]4 [
　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841
- l" q7 y& k( l3 h2 D, O% T
　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。

; S. C2 P" `3 t% |8 G+ m　

5 m8 M& j  o1 w8 G: C& W5 w2 P巴比侖人怎樣進行除法運算？
, {" |- O; Y( M/ D) c8 S/ y+ z
　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。
/ w+ c4 G9 P* A
2 30 16 3,45 45 1 ,20
" A8 Z: Z' O, u0 a/ S3 20 18 3,20 48 1 ,15
4 15 20 3 50 1 ,12
3 [2 x* l# z, l+ g5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
! i6 H- Z8 Q" `7 L# p# J! I9 6,40 30 2
10 6 32 1,52,30
12 5 36 1,40
! L) Z3 @! F2 p15 4 40 1,30

) s) v  Q, M1 o. {) o, D　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
1 s: t6 L- l6 Q1 M9 }+ F, b現在把以上的表改寫：
; j" Z  M6 C3 i/ ?2 [
2 [$ s3 P* `. k1 n　　　　　　　

　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
; z7 c* D+ `% z& Y: P1 j對應 2,13,20意思就是：
1 W8 c& S- n. E& P9 m( P! e* P
/ I0 S& @4 [" b  c$ D4 X- n" f　　　　　　 　
1 X0 W9 @) |1 R" V$ i. J% w4 }2 M
0 |. `. g; ]# A' }' U0 r' ^9 y* ^8 }　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
這是什麼原因呢？
5 x" B% H- }6 y8 x/ G7 A
　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
1 S4 Z1 `1 \' X  G, B, J! I數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。
" T) C* q) S. B  y* z
　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
- Z, E: x* b) ]; t$ n' J式以至無窮。

　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？

4 o/ D- b; D3 U4 ~! o% M　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
a ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
4 n, ?2 _/ T& E% {  W  E. C6 W化除為乘」，計算有時是會快捷一些。
6 H/ ^! k/ [% l  \
# _3 P6 r3 ~! E1 U- J: \- N　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
# K5 z  P4 q1 D) N% s8 z; E4 u、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
決，這時候「倒數表」就很有用了。