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数学在其发展过程中产生了不少悖论和趣闻轶事。如: ' o5 V& ^- O' \% q- p: W. y! Q
裸狗问题: * C! _/ @+ Y% ^
求证:不论一只狗有多少毛,它都是裸狗。 : g e8 P$ c$ D: t% U$ o% {
证明:1.没有毛的狗,是裸狗。命题成立。 6 o A% e6 _% W* D. y4 m- u
2.有一根毛的狗,当然还是裸狗。命题成立。 $ Z8 o" u& w& c2 T# ?- ?
驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟
5 g+ p8 w6 g$ q; L$ z: B阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟 3 u" g8 E) |6 M$ ~. w$ O3 W: e5 f
阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时
3 ?2 }$ _, }0 S. f+ a) W乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时
. Z. p$ o) `6 n) P1 N乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点 ' T- C# T8 Q5 n+ C0 m8 l" m
距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟
! H, G5 X' }% h6 S
4 L1 D2 \3 n* Q 3.假设有n根毛的狗,是裸狗。
* A, A Z' ^+ n/ W 那么有n+1根毛的狗呢,当然是裸狗啦(你能说它不是吗?)。
5 D; Y, @: c$ j8 M 由以上可知,命题成立。 , [8 J1 N, ~8 _& Z0 D$ L/ h( E5 A
1=0=1/2? & {2 N5 z& Q# \& x- q# D* W
考虑下面这个无穷级数: : J5 B/ K/ F- h- G% z
& V2 j5 a; T- V& t) ` 1-1+1-1+1-1+…… 9 ?4 i# k: _' {0 ?7 j
( _( z0 I5 n) |6 x
在很长一段时间里数学家们对它迷惑不解。它似乎有两个值: " ^6 y6 `0 n% g$ S
3 {* s8 n ]. }& h2 } 1-1+1-1+1-1+…… = (1-1)+(1-1)+(1-1)+…… = 0+0+0+…… = 0 * E% w( i _8 S
# Q% E) l- p; r- i
1-1+1-1+1-1+…… = 1-(1-1)-(1-1)-…… = 1-0-0-…… = 1 7 t4 v$ ]# d) H) B7 ^, P; M
' M7 {* m, _2 q3 a9 x2 Q' V4 E而伟大的欧拉则更绝,他把等比级数公式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)应用到x=-1的情况下去,得到: 3 W7 f9 {* h) w: [" Z
( `. \# m" S: G* g) y2 Z6 _
1-1+1-1+1-1+…… = 1+(-1)+(-1)2+(-1)3+…… = 1/(1-(-1)) = 1/2
! D1 o" i2 t! @. Z$ e' k7 V5 m8 ]# Y! k) d
然后他得到1=0=1/2,并由此得出“上帝从虚无中诞生的象征”。
( m; J b4 t% l' F驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟
* w/ M+ c4 l. ^8 P4 j" K! X+ b& I: g$ @( u! y; h5 y8 q8 P9 I
阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟 8 x/ K5 G. ` e8 Y/ t
7 G8 j1 ~& U$ e5 O4 g% m" F3 G" v阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时
/ F/ }3 b" ~9 x0 q/ |' h& h% l# m& q R% M* l1 F
乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时 ' V8 R* P2 l& g+ A) P
$ x% k% i7 F2 v: [/ a+ j
乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点
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距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟 |