数学趣闻

天子门生

数学在其发展过程中产生了不少悖论和趣闻轶事。如：

裸狗问题：

! Z9 J, V3 N: k2 D

求证：不论一只狗有多少毛，它都是裸狗。

& m9 G. }- F4 }8 L8 D1 y- o; J

证明：1.没有毛的狗，是裸狗。命题成立。

2.有一根毛的狗，当然还是裸狗。命题成立。

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

. ?% S; H! s1 X0 l

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

0 Q8 _4 G$ g. B/ O0 j9 R+ U

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

$ o' k! ?3 X( N, }6 A% T

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

& i' @& M* C c7 m

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟

7 o& P2 L) m( E7 ?; }! y2 p

3.假设有n根毛的狗，是裸狗。

那么有n+1根毛的狗呢，当然是裸狗啦（你能说它不是吗？）。

由以上可知，命题成立。

: K8 z; z5 F4 d6 q _

1=0=1/2？

$ E6 f5 e- W9 d

考虑下面这个无穷级数：

' {9 N1 i) T, H) t1 {' O, W " `+ V5 ]8 f' p0 i& h

　　1-1+1-1+1-1+……

5 e# n @4 Q; B: y* b

在很长一段时间里数学家们对它迷惑不解。它似乎有两个值：

0 e5 {4 W0 B( @2 ?" y0 U% j

　　1-1+1-1+1-1+…… = (1-1)+(1-1)+(1-1)+…… = 0+0+0+…… = 0

! Z; V4 _/ A& H& a! c

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1-(1-1)-(1-1)-…… = 1-0-0-…… = 1

3 y- M9 [. h$ r9 S1 G

而伟大的欧拉则更绝，他把等比级数公式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)应用到x=-1的情况下去，得到：

( a. M6 s" b. _$ V }

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1+(-1)+(-1)2+(-1)3+…… = 1/(1-(-1)) = 1/2

然后他得到1=0=1/2，并由此得出“上帝从虚无中诞生的象征”。

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

) _0 e& W, c& [6 _+ ?

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

, }. d9 D4 k( I% Z* p

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

0 Y4 V) X2 b; p# A: h0 k+ W

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟