任意角三等分

徐成龙

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任意角三等分法（1）

如果某一任意角是由原来的三个等角合成的，那么这一任意角便能分成原来的三个等角，即任一任意角客观上都必然存在着两条角三等分线。

（一）三等分直角的启示

如图1所示：∠A=90°，以A点为圆心，任意长为半径画弧与角两边分别相交于B、C两点，连接BC；过A点作AP⊥BC，并与BC相交于G；过G点作GH//AB，并与弧BC相交于M。连接AM，并与弦BC相交于N，连接BM。
则∠BAM=∠MBN= ∠A。
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（图1）

证明：（1）延长MG与AC相交于K，则AK=KC= AC
∵AC=AM
∴AK= AM
$ f  i/ W  [! v( d∵∠AKM=90°
6 _( }! I5 p2 R0 @# Z( ^∴∠AMK=30°= ∠A
∵KM//AB
* Y9 O9 ~9 ]/ d- X∴∠BAM=∠AMK=30°= ∠A
（2）在△BAM中
/ d/ t$ ^* c0 r4 g( j2 S∠ABM=∠AMB= =75°
在△MBN中
∠NMB=∠AMB=75°
! J- `1 D" w0 R: r+ s8 Z3 K! D; W∠ABN= =45°
( x1 G1 Y# z" P& x. r# l; Z∠ANB=180°—30°—45°=105°
$ H+ A( |% P5 C9 J. m3 U7 a∠MNB=180°—∠ANB=180°—105°=75°
∵∠NMB=∠MNB=75°
∠ABM=∠AMB=75°
∴△MBN是等腰△
1 [9 u$ ~8 ]+ k: s) o+ ^/ N∵∠MBN=180°—75°×2=30°= ∠A
& c% Q' t4 j* T2 i9 `+ T  h# Q∴∠BAM=∠MBN= ∠A
通过对直角的分析证明，我们发现这样一种关系，即，如果以直角的顶点为圆心，任意长为半径画弧与角两边相交得一弧和弧所对弦；那么以直角的一条角三等分线被弧和弦截取的线段为底边，以弧（或弦）与角同一边交点为顶点，构成的三角形，是一等腰三角形，这一等腰三角形的顶角，是直角的三分之一。
直角存在着这种关系，任意角是否也存在这种关系呢？
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未完待续......

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蓝色忧郁

只有无刻度的直尺和圆规三等份任意角是不可能的，只有那些特殊的角可以三等份

RoyalYun

虽然这些图很精致，也花了心血，但是为你感到惋惜——你的精力白费了。三等分任意角、倍立方体、化圆为方是古希腊尺规作图三大难题，其本质在抽象（近世）代数学中才研究透彻。前面两个问题涉及域的扩张，后一个问题涉及π（圆周率）的超越性。在抽象代数学中证明了，它们都是尺规不可能作出的。提这个问题的老兄，大概没有接触过抽象代数。奉劝不要再在这个不可能的问题上花精力了。数学中像这类不可能的问题不少，如5次以上代数方程不存在由其系数构成的代数求根公式（也是抽象代数学研究清楚的）、初等函数的不定积分（如概率积分）未必能够用初等函数表示、一般的二阶变系数常微分方程（如Riccati方程）不可积等。其实，认识到了这些不可能的问题，也是数学上的一大突破。一来可以避免精力上的浪费，二来可以另辟蹊径，发展更有效的工具。比如，对5次以上的代数方程，就可以用数值方法求解。对常微分方程甚至可以不求解方程，而应用定性理论、稳定性理论来研究其变化趋势。

15920368411

强悍，佩服！

bua1s2d3

一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人
　　
　　 在处理尺规作图的内容中有：
1 L4 r& W6 c8 m0 e4 F( b- p$ c' ]2 K　　 三等分角的代数判别准则是————已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
　　 二等分角的代数判别准则是————已知数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
　　
/ {. u* ~: p# o5 L6 m+ R　　 两个代数准则相差仅“有理”两个字，它们是不可以相互调换和替代的。
　　 由于同时有两个代数判别准则在处理着尺规作图中的相关内容，它吸引着一些人继续探索着几何三大难题。所以一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人。

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haoyongle

先支持一下

haoyongle

看来我懂的还很少，很少……