|
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 8 ` k+ J1 v5 Q2 t: i
Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
* Z& ~) a' r0 O$ c 考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。
0 a) I/ q/ m+ q9 R 可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。
& M9 S9 E! P# p. T& ]9 f7 R 科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。
2 g+ N: ?% o" t6 f4 z 另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法” * O. K' D7 g9 C9 c6 `
(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。 具体实现的matlab代码：
' z/ w a) N; W' ]$ d2 U6 P---------------------------------------------------------------------------------------------------4 j; O) h" v( [/ R# Z
function val = ballvol(n, m)
! t' A3 Q. Z, j& F" I/ n& \% BALLVOL Compute volume of unit ball in R^n" }' M2 V5 T1 v7 @
%; N. }9 y ?4 V, A8 ]2 Z
% Computes the volume of the n-dimensional unit ball
0 A' D* P: a* K. q' t% using monte-carlo method.( \0 |1 \0 F% x' l( P" O
% usage: val = BallVol(n, m)" l" r7 |6 E4 P% A: I
% where: n = dimension # |" M. T9 o: {& n K
% m = number of realisations
6 M( D( T) p& x% If the second argument is omitted, 1e4 is taken as default for m.
' Y* o* k5 V& a. l2 p9 |
, ?3 }" u5 Y% C. p' _2 n: b% (c) 1998, Rolf Krause, krause@math.fu-berlin.de
. J" k# ]' n; g( {9 c- ?" ^
1 O4 d0 y4 K; ^, Y: l) UM = 1e4;
1 @$ F- P. P% Ierror = 0;5 J1 Y. k* E, e4 i
if(nargin <1 | nargin > 2), error('wrong number of arguments'); end ^3 I" ~$ o! W4 U5 a
if nargin == 2, M = m; end
/ B: i0 w! A% i7 x! z6 d( e8 \. i0 Q
8 Z2 u* J4 z5 U7 iR = rand(n, M);6 h. k3 p$ @* Q# _$ ?
in = 0;& y7 L; Q: Z! A3 ]) P
for i=1:M, T k7 Z' o& b' a: Q1 H* F( }/ d
if(norm(R(:,i),2) <= 1.0), in = in+1; end
6 S: r$ ]+ F K9 j4 m1 yend4 S+ y2 E( Y S1 e' [
; d# U/ P: V2 Rval = 2^n*in/M;0 v1 c* N% n9 s5 h+ H; L
--------------------------------------------------------------------------------------------------
# \& U% L& K' h' G- I | 
IP卡
狗仔卡
发表于 2005-3-31 22:22
转播
淘帖
分享
收藏
支持
反对
微信
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
抢沙发
显身卡
发表于 2005-4-27 08:52
