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蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
8 L6 O8 A, N6 n% p. }. ^9 ` Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。 ' ?3 X0 V7 L0 ~/ A
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。 * Z& g4 g$ d' Q6 J4 U
可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。 5 [' I" i: y( S" u( s
科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。 1 O3 E5 d. N/ N0 E
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”
$ c4 J. t9 i# M(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。 具体实现的matlab代码：4 h% j" g5 v+ h) ^. p
---------------------------------------------------------------------------------------------------) M$ j+ O' Z; y3 D. a n) _. l. n5 G
function val = ballvol(n, m)
8 w( ` Q/ { R% BALLVOL Compute volume of unit ball in R^n) s0 Q, i) I7 z9 }
%; i7 f) c& C6 f% r6 |
% Computes the volume of the n-dimensional unit ball " R9 J* U3 x- K8 l7 [
% using monte-carlo method.
7 m8 x8 Y" j5 I0 Z% usage: val = BallVol(n, m)
2 z* i( K5 o: v' x% where: n = dimension 9 S6 J/ h6 @! V# P" u
% m = number of realisations/ ?; x) Q) S' k% i k
% If the second argument is omitted, 1e4 is taken as default for m.
, B* n, u* o* j. [
* k0 ~1 t" T, }# w% (c) 1998, Rolf Krause, krause@math.fu-berlin.de. y: ]1 W. ~% H% b
, B8 y1 T* ]+ k" D! v
M = 1e4;
3 o, V2 Y7 e+ |* F- W' o' W6 _2 oerror = 0;( V/ i$ x& R' t$ S- a
if(nargin <1 | nargin > 2), error('wrong number of arguments'); end7 \1 O6 J' ]6 s- G" ~$ z
if nargin == 2, M = m; end
- m' `+ n$ M. {, J; Z4 J
7 M( \7 b0 W. _3 [ L) D4 H% JR = rand(n, M);
, o6 n7 X$ o4 d* uin = 0;
" Y8 X5 y+ j/ F# Z# h7 wfor i=1:M$ X! @( `: o+ _# o( X K! s. w, X
if(norm(R(:,i),2) <= 1.0), in = in+1; end$ \$ o( w/ |8 n; A! H
end
5 \! R9 i/ i1 Y k" G* N# l% t0 g1 x* D& g/ b
val = 2^n*in/M;: `' T4 X5 E$ T+ x7 A0 r/ t8 @3 H1 j
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. Z3 R O6 ` q+ m | 
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发表于 2005-3-31 22:22
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