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蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
& Y1 L# f6 t& @ Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
- K4 ?5 x6 b8 [. y$ e/ s) x* y 考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。 5 q, F8 m; G/ ]7 j
可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。 i. e, U8 f& M3 D( L$ u& T
科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。 8 I# y S9 x% |
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法” # _ k, _6 d0 G; p4 r3 Q, e
(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。 具体实现的matlab代码：* B5 \! H4 F8 z
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/ f* j& P2 J! m' @: T6 Jfunction val = ballvol(n, m)! H7 t% D5 k% |" E( h
% BALLVOL Compute volume of unit ball in R^n& d9 }# l+ T! W
%! q4 N: O+ W- G* o. M2 I& C p8 {0 n4 ?
% Computes the volume of the n-dimensional unit ball 1 }1 z: R8 R" n( {
% using monte-carlo method.' U. ^8 l$ Q) h! h, }0 i# J
% usage: val = BallVol(n, m)
- T# p- m' O$ U0 q9 K8 S5 s% where: n = dimension 0 e) r3 k# @, ~7 N
% m = number of realisations/ |" P& L) j T# n
% If the second argument is omitted, 1e4 is taken as default for m.2 J. N0 T! |: h$ p
" l# }* N4 i+ y+ o: \
% (c) 1998, Rolf Krause, krause@math.fu-berlin.de
3 m: m& T; {! u! j# T( p( f5 H0 r5 n$ _' Y- F L2 T
M = 1e4;
; |4 ~0 h0 `* c8 F2 berror = 0;
) j# Q' R7 y: _1 r* A0 E, fif(nargin <1 | nargin > 2), error('wrong number of arguments'); end" w* U6 W5 R) ?7 h4 `
if nargin == 2, M = m; end
' j& N8 h+ E1 Y2 r2 A5 i" y1 z
$ J( H6 c r/ K+ D- _6 `R = rand(n, M);4 a D$ A- q+ \- r
in = 0;, D% C5 g/ A& u5 Y w8 @' R
for i=1:M
0 A5 k$ {! H/ l) Yif(norm(R(:,i),2) <= 1.0), in = in+1; end
) A2 n- O5 i% F& aend
* q( Y/ f/ s: |' I' `1 \- Y7 C) j' ]
val = 2^n*in/M;
5 v& L! t" T7 x1 G" d# }' r--------------------------------------------------------------------------------------------------
( d1 O- k5 n: v- O/ @* G( m | 
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发表于 2005-3-31 22:22
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