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蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 & @1 K; D( S0 K
Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。 6 Y2 }* o# H6 T1 g& S7 V1 k1 n3 X
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。
8 `6 O2 A L; i. x6 y 可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。
9 p" Y9 E! l8 w3 d' k! o 科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。 & |3 P' ^& W- V9 K b
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”
8 V- e5 q$ o& W$ z+ D3 a(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。 具体实现的matlab代码：
5 O! |' P& W; s---------------------------------------------------------------------------------------------------5 j/ s; Y/ V( _, J
function val = ballvol(n, m)9 K" z! j' a, f$ O; `
% BALLVOL Compute volume of unit ball in R^n
1 y& [2 Q7 [! k0 s%
- X) i* q4 V4 V. x% Computes the volume of the n-dimensional unit ball ) L) e1 a; d( U
% using monte-carlo method.
! o( K/ b* _+ t/ f! q* ]2 q! x" j' A% usage: val = BallVol(n, m)
% |5 v. p3 n" s- S# y$ Z4 ~! N% where: n = dimension
- E7 I5 P( F3 l8 X E1 N% m = number of realisations
O# ^# e( k4 w5 M* o% If the second argument is omitted, 1e4 is taken as default for m.1 e3 F2 v' N( {' Q. ]! J7 I8 R
, o4 l5 ~0 O' ^0 p* p% (c) 1998, Rolf Krause, krause@math.fu-berlin.de
c6 i9 V R) ^& T
0 T+ c: [# B6 i. B# B) W- |( AM = 1e4;+ c# I* F! t; w
error = 0;
) J) J3 X0 l& j, k) ?if(nargin <1 | nargin > 2), error('wrong number of arguments'); end
7 L8 [$ f1 g: I: u8 w8 Xif nargin == 2, M = m; end
; S" [& j. Z7 u/ G' z0 I
: m5 c9 [( r7 n& |" LR = rand(n, M);
/ o) Q/ I3 z* sin = 0;
5 w7 r4 _& Y/ y* W+ Pfor i=1:M+ X; B3 V( t# h0 H5 s H! F
if(norm(R(:,i),2) <= 1.0), in = in+1; end' e# G1 [4 o3 H. D
end
" `. T/ H2 Y: P/ \" c& v9 ^" x6 y S2 c- S. m
val = 2^n*in/M;( ]7 S T: b% ]+ p" }
--------------------------------------------------------------------------------------------------6 p8 G, f" s4 r3 C
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发表于 2005-3-31 22:22
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