|
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 % l; W4 {1 b2 d' f3 r# p V
Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
. J* b4 s6 u+ r- y. k; W 考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。
: k) H4 X+ O# m5 Q 可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。 : {2 C2 N3 D& t3 ^! ?
科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。 \$ _- U* _. V! Z
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”
' \0 d$ J; i) T9 o2 Q(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。 具体实现的matlab代码：. d; N( H& d6 w1 |% h
---------------------------------------------------------------------------------------------------
/ e( N( d; W( n J& ~( S6 Xfunction val = ballvol(n, m), g% @3 R! [3 A
% BALLVOL Compute volume of unit ball in R^n
7 W9 r, i/ H( i+ ?* R3 b9 u%0 X0 W$ f' L8 E5 R$ R' y
% Computes the volume of the n-dimensional unit ball
6 v* [' ]& X/ t: V8 c" U2 l+ x% using monte-carlo method.
, Z* q9 |8 h+ c1 ^1 g/ Y% usage: val = BallVol(n, m)
+ |4 A2 p+ C- n, y0 J; H% where: n = dimension . M& ?; d, {- l6 E" J' D
% m = number of realisations
0 E" U1 h |. Y7 B3 f3 K% If the second argument is omitted, 1e4 is taken as default for m.
& |8 \; A. [+ } S% E# y- U3 Y6 W* f/ U; L* ^
% (c) 1998, Rolf Krause, krause@math.fu-berlin.de
4 o3 R. ^8 ]# X! B( F& u& j m$ `; v8 K3 C
M = 1e4;
+ m- `8 x, ~/ `' @; Uerror = 0;
+ s. z" U( w1 F d9 Sif(nargin <1 | nargin > 2), error('wrong number of arguments'); end
" @ C9 `* e6 A/ T7 [+ {$ J% `if nargin == 2, M = m; end 8 X) a+ \8 H) K4 ]) m- K* r, g
w" p8 H8 i1 v- ]% U) eR = rand(n, M);
' y9 U/ _: }! a1 Zin = 0;
& F0 k, w. e5 B! h- [ G. F; }' S3 ufor i=1:M
6 o; _, D' f9 q" H% hif(norm(R(:,i),2) <= 1.0), in = in+1; end+ e# I0 O" Q( a" B
end% U" R1 W5 x c1 Q% \1 v0 p
, H& O3 L8 t. jval = 2^n*in/M;8 ]9 h' d4 P$ L& c" v' |( z. T6 ?) ^8 x
--------------------------------------------------------------------------------------------------7 V1 F' ~$ O+ z
| 
IP卡
狗仔卡
发表于 2005-3-31 22:22
转播
淘帖
分享
收藏
支持
反对
微信
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
抢沙发
显身卡
发表于 2005-4-27 08:52
