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蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
; G3 u- v- r i3 V! x- `6 A/ E Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
R! p1 l7 z- m 考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。
( r z' w+ j# r; O* j h9 L 可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。
" L G; t* B5 l( ~ 科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。
Z7 j0 o. A/ ^9 v7 I 另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”
3 ~3 f1 Z/ k8 r# h( j0 }( i. ^) ~(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。 具体实现的matlab代码：
* T; O5 s6 f6 m! A3 K9 h---------------------------------------------------------------------------------------------------4 f4 ?$ ^6 Y \% @9 [' ]
function val = ballvol(n, m); A( ^: }( [& e* x
% BALLVOL Compute volume of unit ball in R^n
+ u" ]& R9 D/ C9 O+ [$ T6 f%
7 Y& c; o9 G2 S% Computes the volume of the n-dimensional unit ball
8 Q3 q; M8 ], U8 l% using monte-carlo method.# B, l4 f6 S; O6 w
% usage: val = BallVol(n, m)
' j8 T' z% m+ e% {% where: n = dimension , P# i1 r7 @0 b& e; W
% m = number of realisations- J( }; A. d+ D8 m. N
% If the second argument is omitted, 1e4 is taken as default for m.- a1 ?. y) X. M
2 K' F' ~& j; m: }' d6 c5 Y; {
% (c) 1998, Rolf Krause, krause@math.fu-berlin.de R# r# ^+ d# Z" M" A0 }
- m. S1 t0 w+ h- {* M9 g/ T
M = 1e4;
) h0 Z6 V) x: Z9 I% ?8 e! Werror = 0;
8 ~/ B" j D' h5 n7 iif(nargin <1 | nargin > 2), error('wrong number of arguments'); end
* p" z6 I3 ^. q+ U9 c% h# gif nargin == 2, M = m; end
5 u1 s( b1 h, a5 `+ M
+ f5 e! a4 D# B2 TR = rand(n, M);- Y2 s$ A$ {) n X
in = 0;: S$ I2 W) B {
for i=1:M
1 N9 F9 R: e+ R6 f& ?if(norm(R(:,i),2) <= 1.0), in = in+1; end* [5 y, d* j( H8 T
end
( V, K" B; i( ]/ W8 P) c& M" @( y4 Y" t9 T% `
val = 2^n*in/M;
! w$ j" A" E6 M1 f--------------------------------------------------------------------------------------------------: K$ r: i! L/ y
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发表于 2005-3-31 22:22
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