竟然还有在数学中国网找不到解的微分方程

renqing_zhao

这么大的网站没有人会做这个微分方程吗？还是没有爱心的高手肯付出一点时间？
有点想不通,竟然还有在数学中国网找不到解的微分方程。(方程：dx/dt=a-b*x^2/(k+x)关于t为自变量求x的解)
http://www.madio.net/mcm/viewthread.php?tid=93271&extra=

540982016044

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    我再看看，呵呵~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

540982016044

回复 1# renqing_zhao
4 `/ U# U( S) ^- U* `+ R
, _! C% [/ D  c! a% P) m
! }# E3 \2 y) K  G" }   
是这个式子吧
9 m4 Z) m) ?- X) B* c* k


: n! |8 ?$ o3 |" H分离变量得：

. b  N' h5 F4 r
% y% X( P* m5 a% t
再积分，就可以了，左边是个有理分式积分，对楼主来说应该很简单吧，就是有点复杂，呵呵

starbinbin

楼主话说的很有意思，哈哈~~~~~~~~

renqing_zhao

这种分离变量的我也做到这一步，就不知道如何准确地积分了。
但是有人提出另外一种做法更难理解，我很茫然。见下面：
1 B/ r% M- M) b) [5 b0 _这种题目做起来比较麻烦，我就只说下思路，具体计算就不赘述了~~
, B9 }2 X5 S) K3 ~8 k& E. |* c# ~$ ~      dx/dt=a-b*x^2/(k+x)
即    dx * (x+k)/(ak+ax-b*x^2)=dt
5 S2 i1 d5 n" w3 d2 Q   
( e* j% f# D( B8 u( `/ B     

2 g2 z; I" I' u" T: r对于形如 dy=dx * (Mx+N)/(x^2+Px+Q) 微分方程可以按如下思路求解：
$ i2 v4 c( a8 g# M, M0 q8 q        因为x^2+Px+Q=（x+P/2）^2+Q-P^2/4,则可令x+p/2=t,
                                            记x^2+Px+Q=t^2+a^2
        因为Mx+N=M(x+P/2)+N-MP/2，则可记Mx+N=Mt+b
      原式可化为dy=(Mt+b)/(t^2+a^2) * dt
* Q3 u- C8 [3 c. Q/ O                   =Mt/(t^2+a^2) * dt + b/(t^2+a^2) * dt
# S$ P2 ~, k4 |/ k+ m) F8 Q- k1 U                   =M/2 * d(t^2)/(t^2+a^2) + b/(t^2+a^2) * dt
       积分可得 y+C=M/2 * ln(t^2+a^2) + b/a * arctan(t/a)  (C为常数)
       后面再用M，N，P，Q，x代换掉a,b,t,即可得出所求微分方程的解~~

renqing_zhao

上面也是一位高手的指点，但我感觉有点晕!

renqing_zhao

无论如何先谢过了，最好请大家给出确切的答案。

sijunhui2004

上面也是一位高手的指点，大牛！！！！

D-lin

不会把
~！！！~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

mourinho001

这里真是藏龙卧虎，高手如云，来这里真是来对了