谈谈连乘积和哈代-李特伍德公式的关系

大傻8888888

我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
7 u9 U- v( \7 g' X- O$ C+ Pr(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2    其中∏[(p-2)/(p-1)]中的p|N，√N≥p＞2  c是拉曼纽扬系数
如果p不整除N.则上式成为：
+ \  j9 q2 |) er(N)～2cN/(lnN)^2
9 q1 ?0 P$ s2 }0 k# W% D' ?: M2 h$ S根据梅滕斯定理，可以知道：
3 j7 I5 E9 j# r& U8 q∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN    其中2≤p≤√N    e^(-γ)≈0.56146
因为素数定理：
π(N)～N/lnN
- f# n/ \# {: @8 X/ p所以有：
* r! \; W3 E; w6 P2 wπ(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)      其中2≤p≤√N
3 y  |2 I% f* k: J也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
4 P  L+ s' G, j2 s(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]  其中2＜p≤√N，
所以                                                            
& h. q( _& X. ]5 Z' t# G8 jr(N)～( N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2  
" u! o! A+ K6 h0 I; N  @; a+ W上面其中(1-2/p)里2＜p≤√N  (1-1/p)里 2≤p≤√N
如果p|N，则
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2
) Z* i- _3 u4 ?& G; d; k& e# n至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明
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