谈谈连乘积和哈代-李特伍德公式的关系

大傻8888888

我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2    其中∏[(p-2)/(p-1)]中的p|N，√N≥p＞2  c是拉曼纽扬系数
3 d+ Y: w! H% O4 n! _如果p不整除N.则上式成为：
. e$ C  }  g. ^; R1 dr(N)～2cN/(lnN)^2
根据梅滕斯定理，可以知道：
4 G9 L( _! a- }- ^2 l+ `2 q: [4 i∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN    其中2≤p≤√N    e^(-γ)≈0.56146
2 R- O! _9 X  j+ s4 i0 H因为素数定理：
  p+ V+ Y. t" [5 u3 yπ(N)～N/lnN
$ c- P$ }0 L' S所以有：
, n1 y2 r% {+ Y3 c$ P$ Q  yπ(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)      其中2≤p≤√N
也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
8 c4 e" Y# M$ H8 Y6 g. p5 h7 [/ K(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
& A4 b. n6 d* a7 F=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]  其中2＜p≤√N，
. `0 |! G+ Y" d9 u+ v9 ?所以                                                            
r(N)～( N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2  
5 l2 }" l1 c. E# o) C. q7 n上面其中(1-2/p)里2＜p≤√N  (1-1/p)里 2≤p≤√N
4 b5 _' I+ ]" }2 z如果p|N，则
( w6 f4 H4 n* w. k  n: N3 _9 gr(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2
至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明
- Y0 J' b; g7 m, G9 p4 a