谈谈连乘积和哈代-李特伍德公式的关系

大傻8888888

我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
7 O, D6 g% H& y$ or(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2    其中∏[(p-2)/(p-1)]中的p|N，√N≥p＞2  c是拉曼纽扬系数
+ }  P/ J/ Z* a/ F0 O, a如果p不整除N.则上式成为：
% O3 m( b# w2 C/ j" x1 q" W9 Pr(N)～2cN/(lnN)^2
根据梅滕斯定理，可以知道：
, |% I% K) z! w3 I; Q# J2 r∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN    其中2≤p≤√N    e^(-γ)≈0.56146
. E- A" t  b3 l% i7 K因为素数定理：
7 Q" M# {7 T4 w4 Z+ s  V# R6 d* xπ(N)～N/lnN
7 Z) M9 X; j8 _! h* B" v所以有：
9 h/ w  l3 i  ?8 Tπ(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)      其中2≤p≤√N
也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
" Q2 ~6 b& B4 a: q: C( I(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
4 u. ~* _7 k7 T% _7 E' w! B1 ?=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]  其中2＜p≤√N，
所以                                                            
# h) j' w2 z5 ]; b! k2 R3 G: M! `r(N)～( N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2  
) j7 m% y( W% ]* r- X上面其中(1-2/p)里2＜p≤√N  (1-1/p)里 2≤p≤√N
如果p|N，则
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2
至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明
: x" k: S4 x/ d' f7 y' o
2 ~3 v' G2 P4 f4 g( n8 B