谈谈连乘积和哈代-李特伍德公式的关系

大傻8888888

我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
8 u2 c3 @* d" x6 O0 }r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2    其中∏[(p-2)/(p-1)]中的p|N，√N≥p＞2  c是拉曼纽扬系数
如果p不整除N.则上式成为：
% ?' N/ _! Y4 G2 Xr(N)～2cN/(lnN)^2
根据梅滕斯定理，可以知道：
∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN    其中2≤p≤√N    e^(-γ)≈0.56146
因为素数定理：
% F! M# C; `+ U; Q' q# lπ(N)～N/lnN
2 o+ `6 @& @0 O' N5 p' D( d所以有：
% |9 l. _) H- [' q+ c% B3 \π(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)      其中2≤p≤√N
: Q* p/ A* ^1 {% V$ L也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
1 T$ _( S+ v5 i6 K0 x同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
4 t) x0 M) y6 X0 }" \9 a) R(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
+ q: X, b; I/ V. |# B: _' e" i  i2 q=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]  其中2＜p≤√N，
所以                                                            
8 h; h7 U5 [7 A# Y, gr(N)～( N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2  
6 X+ y; i$ f! H, Q上面其中(1-2/p)里2＜p≤√N  (1-1/p)里 2≤p≤√N
7 n& Q" Y3 V7 F( L5 c如果p|N，则
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2
0 R, v& o9 z8 a& Q1 a, z: z: T" I至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明
$ S4 B2 Q* O9 W5 M0 U* ]