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如题,遗传模拟退火算法简介模拟退火算法简介* ]9 _ A1 y\" P: p' W
) i' u- G u m ' K( `2 l1 J) D) u
模拟退火算法来源于固体退火原理,将固体加温至充分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小。根据Metropolis准则,粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT),其中E为温度T时的内能,ΔE为其改变量,k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题,将内能E模拟为目标函数值f,温度T演化成控制参数t,即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初始解i和控制参数初值t开始,对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代,并逐步衰减t值,算法终止时的当前解即为所得近似最优解,这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制,包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。 , R8 K3 E; k. ~9 v. I/ K8 y5 I& D- Y6 ^1 _
3.5.1 模拟退火算法的模型
! ? u! {3 ?! r5 I+ @( f 模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。 ! U0 e1 D! r8 X
模拟退火的基本思想:
1 ^3 c: b0 }% J4 G7 p* n (1) 初始化:初始温度T(充分大),初始解状态S(是算法迭代的起点), 每个T值的迭代次数L
3 n+ \# d3 G( S% R) d6 L (2) 对k=1,……,L做第(3)至第6步:
$ Z' S: o: o+ A0 h( V \ (3) 产生新解S′ $ L* `! g2 V, A# N\" h7 l\" p6 _
(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S),其中C(S)为评价函数 7 ]1 L7 _ H0 ]% R9 w7 M
(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解. , R, A' M\" v! {4 G( X8 E5 D# I
(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结束程序。 % J8 y' C/ {) q8 j/ e
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。 s+ h) r0 D1 [
(7) T逐渐减少,且T->0,然后转第2步。
- O) r/ N/ v9 e 算法对应动态演示图:
/ B% n: R- K+ J\" i$ x4 K 模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤: 6 a9 t k, v1 r' M
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,因而对冷却进度表的选取有一定的影响。 / T! Y. e! x3 Q; U I) \8 K) J
第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生,所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标函数差的最快方法。
7 D( j: l# j\" t( {\" f3 B 第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则,最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
$ M+ c! D6 \7 o\" I$ ?6 ~7 T 第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。 / o% v& S: ^ J
模拟退火算法与初始值无关,算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关;模拟退火算法具有渐近收敛性,已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性。 % b7 H8 x6 t1 T' o
, |; m j. z. }6 E 3.5.2 模拟退火算法的简单应用 3 P\" i' ]- q; k\" t# |; k! L' o
作为模拟退火算法应用,讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem,简记为TSP):设有n个城市,用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i,j) i, j=1,…,n.TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路,且其路径总长度为最短.。 ! u% c: t8 j; @, E b
求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下:
9 q \; z: G; g 解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路,是{1,……,n}的所有循环排列的集合,S中的成员记为(w1,w2 ,……,wn),并记wn+1= w1。初始解可选为(1,……,n)
\" G$ H; s3 I- M 目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数:
& {3 W: d y0 z6 ]/ J
6 G: R' D/ q& s$ e7 e/ f7 S4 s 我们要求此代价函数的最小值。
+ m# W8 | M! ?$ f% h c 新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m,若k<m,则将 7 @ q( i% s0 v
(w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn) ( W+ z+ L& z: {' ~9 }! b& s* E. S; x
变为:
1 Z d+ }% y W0 Z. b F; v: i (w1, w2 ,…,wm , wm-1 ,…,wk+1 , wk ,…,wn).
) }0 L2 ~+ w9 l& J8 R: q& d5 n 如果是k>m,则将 7 @. ~2 ?\" p3 h& l
(w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn) # {) q- @+ |& M& C; L* K
变为: ; U. g3 @7 D( p% K
(wm, wm-1 ,…,w1 , wm+1 ,…,wk-1 ,wn , wn-1 ,…,wk).
- @( i% }2 `. o+ z 上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。 6 S+ K1 j: i7 j F/ f& q\" s
也可以采用其他的变换方法,有些变换有独特的优越性,有时也将它们交替使用,得到一种更好方法。 : W0 \$ y& H$ g: Y/ i
代价函数差 设将(w1, w2 ,……,wn)变换为(u1, u2 ,……,un), 则代价函数差为: ( x! m4 L' k4 R; J3 U! ^; A
1 l( p! u8 ^& \ 根据上述分析,可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序: * S, }# i& N9 ` \5 A( M
Procedure TSPSA:
7 ]. m$ `% b: `9 P# q\" E1 z4 O begin : K\" z V: U! r% H
init-of-T; { T为初始温度}
6 k& ^4 \2 X: k4 n( n9 O4 [ S={1,……,n}; {S为初始值} {5 C\" Z9 Y. d+ J v
termination=false; 9 b8 X! ~% A. J# j, R: |( G9 H
while termination=false 0 k. |* H' W; {3 Z+ L
begin
& X& N# q9 W9 G9 G$ F9 z for i=1 to L do
. s* u' }1 J6 E/ N begin
$ b. c\" [. D7 r) o: O8 V/ v+ g9 f generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′} - g& z$ R! o- q+ j6 S. j' `4 N
Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长} : v# o+ z, f3 j2 r
IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
\" v; u9 i9 B1 H# |7 z! R1 g S=S′; : L4 Y+ a# l0 t* _( i. h' w+ ^# a
IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
& J3 I: m, w0 ]: ] termination=true;
: V, v O+ p# g5 P End;
j+ d5 Q- k8 G T_lower;
% ?$ x3 V$ {9 b8 A& k9 I7 b End; + V\" s$ n \. m& H) a2 D
End
) u! n' F. b9 d$ m 模拟退火算法的应用很广泛,可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。 / P) n- _# K& o5 P/ [
0 M k4 s& X$ T2 t$ j, h. k 3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题 1 o$ m1 V! O' E* p3 u1 F
模拟退火算法的应用很广泛,可以求解NP完全问题,但其参数难以控制,其主要问题有以下三点:
& p5 A5 |. e+ I4 K3 t (1) 温度T的初始值设置问题。 ) {' w9 F2 V: s2 ?/ N
温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高,则搜索到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间;反之,则可节约计算时间,但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中,初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。 % q4 @8 d+ ^: z9 b- c& p
(2) 退火速度问题。 - E& \* e/ x\" e: n! x
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说,同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的,但这需要计算时间。实际应用中,要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。 % @( R6 h0 ^' c+ T. b4 X, f( c
(3) 温度管理问题。 1 y+ N9 m) Y, ~
温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中,由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题,常采用如下所示的降温方式: + z. M8 D8 T. A: B8 r
1 Z1 V+ H/ B0 _* ?2 I4 y
T(t+1)=k×T(t)
1 U! n5 z# @; W 式中k为正的略小于1.00的常数,t为降温的次数 复制代码
zan