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如题,遗传模拟退火算法简介模拟退火算法简介/ R& b& c p6 V\" ]3 T
9 p$ {! E: h: P, g! A
- c) U7 C4 P, K r2 J/ K
模拟退火算法来源于固体退火原理,将固体加温至充分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小。根据Metropolis准则,粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT),其中E为温度T时的内能,ΔE为其改变量,k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题,将内能E模拟为目标函数值f,温度T演化成控制参数t,即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初始解i和控制参数初值t开始,对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代,并逐步衰减t值,算法终止时的当前解即为所得近似最优解,这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制,包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。 ! V/ o( w4 ]' ]1 j$ ?: ^
3.5.1 模拟退火算法的模型
) K7 k/ B- K# G2 J0 x9 E& u 模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
0 ~; d u) A0 W* A 模拟退火的基本思想: 8 z& k. A1 P0 L# S! H
(1) 初始化:初始温度T(充分大),初始解状态S(是算法迭代的起点), 每个T值的迭代次数L 6 s9 U# i6 j2 {9 s. c: G4 x& L
(2) 对k=1,……,L做第(3)至第6步:
. o( B! k' }: b D p4 K- O (3) 产生新解S′
1 x, w5 h' K9 A# x (4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S),其中C(S)为评价函数
% N* i6 k6 C, x8 w: h1 d# w (5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
4 x4 g( \ X }- I; g! R6 l: l (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结束程序。 ) e/ z* u7 Q5 b. j; Q/ M
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。 # a k- T1 D- z7 z# l: `
(7) T逐渐减少,且T->0,然后转第2步。
/ ~4 y$ F* K0 M\" F$ [! y2 p6 } 算法对应动态演示图:
p3 b- N! u( Z2 \ 模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤: $ g o: t* L( S K8 V/ M! d8 e0 M
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,因而对冷却进度表的选取有一定的影响。 + T! B& o\" r' d0 I
第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生,所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标函数差的最快方法。 ; ^! k' T1 ?9 W$ V4 w
第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则,最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
: w8 v% g& v b) C) N& I 第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
+ N8 g! x& ]* P1 `4 Q% b5 R 模拟退火算法与初始值无关,算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关;模拟退火算法具有渐近收敛性,已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性。
9 _9 }7 h( f7 a# L+ N
/ T) ]* t: u4 X$ I 3.5.2 模拟退火算法的简单应用 3 C, P. o, p2 w f% n! q* f( u$ S
作为模拟退火算法应用,讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem,简记为TSP):设有n个城市,用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i,j) i, j=1,…,n.TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路,且其路径总长度为最短.。
# {5 G: b6 E) ^0 ~\" S' m 求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下: % V( O) {+ R, z% |! I
解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路,是{1,……,n}的所有循环排列的集合,S中的成员记为(w1,w2 ,……,wn),并记wn+1= w1。初始解可选为(1,……,n) ) E; Q+ V* `% c' V7 i
目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数: ! h, U; q! ^! P& N
+ P6 L2 I1 w, T, H\" l9 L
我们要求此代价函数的最小值。
9 J1 r\" r/ f6 b0 Z 新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m,若k<m,则将 \" X5 g& M\" L. `: }1 I
(w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn) & f# T8 I, M/ ^8 F+ ]. r* I
变为: 8 n* W& O# ~, S( y/ b }
(w1, w2 ,…,wm , wm-1 ,…,wk+1 , wk ,…,wn). 2 k- r/ i5 ]3 D
如果是k>m,则将 1 ~9 H8 P/ @ {7 n& S, Q
(w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)
c0 ]) c0 c7 e( T6 r 变为: 8 x) `( [9 Z! W
(wm, wm-1 ,…,w1 , wm+1 ,…,wk-1 ,wn , wn-1 ,…,wk). 2 z* p\" z2 X4 E8 E4 e
上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
; R: b, c% Z* @4 t6 B% Z6 V Y) { 也可以采用其他的变换方法,有些变换有独特的优越性,有时也将它们交替使用,得到一种更好方法。
1 h, L+ u+ l# _& u 代价函数差 设将(w1, w2 ,……,wn)变换为(u1, u2 ,……,un), 则代价函数差为: ' G, H4 U) G# w4 ]- c% a1 w2 Y
) G8 o S/ d4 m) ` 根据上述分析,可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序:
+ W, ]8 m3 m7 l0 n. m) c& ] Procedure TSPSA:
% ]0 k( t1 o- C/ s! E1 U' a5 `& l: Y begin ( |3 `$ P0 K3 u* n
init-of-T; { T为初始温度} ) w i8 y' @ Q7 D
S={1,……,n}; {S为初始值}
- N2 Y- M6 y# {8 E5 s. j0 H termination=false; i8 s# w3 V! P- v
while termination=false 9 C$ ]\" p: H1 c2 c8 E( ~
begin
2 Q1 M5 j- A, p* y7 }3 N5 U for i=1 to L do
* [- V [3 @2 }. e' f! J6 X5 G: b begin
\" g0 W7 d) A7 {3 ] generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′} 5 T% a! H) O6 o/ A( \
Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长} , Q6 ]0 a) J% c& N8 Y
IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1]) . Z% R; N* T0 _& R
S=S′; - d$ B( V0 ]0 [
IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
' O; Z1 N3 `9 `) o+ L termination=true;
/ p! h\" \7 |( Q! \. w& H End; 6 Y4 z2 t& S& U2 Z k+ y8 k$ b
T_lower;
; S' B/ G' j+ W End; \" ~% U5 g$ C* U D
End & N, P* Y4 z) ^
模拟退火算法的应用很广泛,可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。
) A N7 d' `. E1 } - X8 S5 { k1 j) j' `( e8 E
3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题 + U6 Y0 G\" Z! R; |
模拟退火算法的应用很广泛,可以求解NP完全问题,但其参数难以控制,其主要问题有以下三点: - ^: _! g! u8 N' z' @5 U
(1) 温度T的初始值设置问题。
6 H/ A8 }8 {; \7 M i$ u8 S Y2 X e 温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高,则搜索到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间;反之,则可节约计算时间,但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中,初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
$ U* }) b! ~\" c$ Y6 } (2) 退火速度问题。 / T' t4 O& E& r$ W) ^' v: D2 x
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说,同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的,但这需要计算时间。实际应用中,要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。 4 q( M% |- j+ p
(3) 温度管理问题。
4 c& s# r' Q: I. M7 w, i+ \9 I 温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中,由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题,常采用如下所示的降温方式:
5 r' \. P7 b. w6 Q6 S6 Z 2 Q8 V: p$ j7 Q2 X
T(t+1)=k×T(t) 3 A+ A$ m4 z& L
式中k为正的略小于1.00的常数,t为降温的次数 复制代码
zan