卡丹公式欺骗了五百年所有数学家----最简证明.

谢芝灵

谢芝灵

数学题:

已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.

求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?

解题.
/ @) Z; ^" ^$ t$ B2 \' N0 Y( R  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
/ \1 ]5 V! p6 \" Z  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
! r( W$ t: X5 l" T) M  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
' `$ S1 n% {3 I7 ^. M+ n) g  一元二次方程x^2-x-2=0.,
4 e7 [/ y3 B7 W  Q; _- e8 {/ c再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
8 e/ @* {7 r  T( K7 Z4 q因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
必在-1和2之中.
. D3 ^; }2 y/ d; O) r; |
+ T  F3 ?  X! W8 w. p9 ~再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
5 W" x2 @5 Z& D% p! r- F% e并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..
+ N" N" n4 M5 ]  a1 o' A* L5 w
补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).

证:
6 c. _9 i2 @* d令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
. @, D7 Z- `, j# j     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
- A* o3 y  ]# m4 ?5 {' G  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
3 p) ~$ }0 j6 O4 M; b得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
# i1 I' ?5 X" ]3 q, J5 s  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
   得:w^2=x^2.
  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
& ^" Q1 ]: y/ i$ r  O" e  证毕!
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