急 急 急 急 急 急求简单问题解答

lengyuyendsk

sturm定理到底是哪个定理啊，应用还很广　，很多学校大纲里都标明了，但书里却没有标明 是不是挺基础的问题哦
是高等代数里经常用的，就是不知道具体哪个，

应该是高等代数里经常用的

lengyuyendsk@163.com

madio

阅读参考6 多项式根计算的两个定理

实系数多项式根的计算，首先要确定实根的范围，进而将实根分离，使每个小区间只含一个实根．下面，我们就来介绍这两个问题的解法．对于前一个问题，我们可以更一般地讨论复系数多项式的复根的范围，再由此得出实系数多项式实根的界．

定理1 设∈C[x]，其次数n³ 1．令

则当zÎ C且时，有．

证 当M=0时，结论显然成立．下设M¹ 0．当zÎ C且时，有

．

从而有

． „

由定理1得到，当时，有

．

因此f(x)的复根全都在以原点为圆心，以为半径的圆内．把这一结论用到实系数多项式上便得到

推论1 设∈R[x], 其中degf≥1，令

，

则f(x)的实根全都在区间，内． 

由定理1还可以得到

推论2 设∈R[x]，其中degf≥1，则对一切充分大的正数r，f(r)的符号与的符号相同． 

例如，设．我们有M=1，．因此f(x)的实根全都在区间(－2，2)内．

求出实系数多项式f(x)实根的界只表明：若f(x)有实根，则所有实根都在这个区间内．但是不能肯定f(x)一定有实根．如何知道f(x)有没有实根？若有的话，实根的数目(不计重数)是多少？如何把实根分离开？对这些问题的第一个令人满意的回答是在1829年由Sturm给出的．下面介绍Sturm的方法，为此引入

定义1 设是一个非零实数的有限序列，如果，则说，序列在第i+1项有一个变号．这个序列中变号的总数称为它的变号数．一个有限的实数序列的变号数定义为去掉这个序列中的0以后得到的序列的变号数．

例如，序列–2，0，1，0，0，3，–4，5的变号数是3．

定理2(Sturm定理) 设f(x) ∈R[x]，degf≥1．对f(x)与做下述略微修改的辗转相除法

… … … … … … … … ， (1)

得到一个多项式序列

(2)

称序列(2)是f(x)的标准序列．假设区间[a，b]使得f(a)¹ 0，f(b)¹ 0，则f(x)在区间(a，b)内的不同的实根的数目是，其中表示序列 的变号数．

证 略述(参考文[2]阅读材料八)．

例1 设，则．对f(x)与做略微修改的辗转相除法，即把每次得到的余式反号以后去除除式：

因此

．

从知道．因此f(x)没有重根．在前面我们已计算过f(x)的

实根全在区间(－2，2)内，现在计算f(x)的标准序列在- 2与2处的变号数：

于是f(x)在(－2，2)内的不同的实根的数目是．由于f(x)没有重根，所以f(x)的实根的总数是1．为了进一步确定这个实根的位置，可以再计算：

因为，所以f(x)的唯一实根在内．

madio

这个定理是中科院数学与系统研究所考研的要求内容
所以在中科院要求的参考教材里有
代数好像是很老的一本书《线性代数》 蒋尔雄等编 人民教育出版社 1978

chenshao1982

对不起，不知道

cunu

对不起，不知道