动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
% T8 w) A( |% k/ |/ K7 b
变分法简介
' E! |7 b, L# u2 w0 J) E' r' @
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
8 b0 b: l6 U- H8 Z; U6 Q0 J4 a; ~
1 变分法的基本概念
+ D& b; R+ z) ]% c( A3 N4 v8 A  A1.1 泛函
0 M" I4 c# x6 J# v" C4 e
  G6 G  M8 D( g* y! U( d
! D" |1 W9 B' V3 x7 F' x. o7 m
& w. \0 r8 G6 o) }7 H' D3 y+ p
1.2 泛函的极值
9 F9 ]) m3 K) O$ [1 c" R, m; i; k
6 A9 |( C0 d- }2 l
" e8 ]; p0 F$ n$ ]4 T: O
1.3 泛函的变分


- q  B* m: n2 w0 O" y6 _- Z" D

# A, r8 u! @2 h. X8 Y- z4 x/ H
! P/ u0 o/ B0 d4 v) k! [( B8 R+ x0 g1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

- W% C6 ~6 D( ]$ b

1.5. 变分法的基本引理
( C& Z1 i  {3 w
- Y. t& _7 B6 y- [
0 M0 t7 w+ z. [8 P, t) M+ r5 k4 ?" ^
9 D; A1 b; @1 \& J; x4 y2 无约束条件的泛函极值

, @. h. z' p# Z9 y1 {" T7 J
: {+ b9 m7 [% ]4 Z$ X1 \1 k6 @2 v/ |6 G4 w
2.1 端点固定的情况
* v# c0 l4 e, Z  }2 \- H
! ?( Y7 m7 ~6 j( D8 Z9 U( w8 L2 u

% O6 a8 l& ~/ z& ^0 {$ P
) s9 S8 w, u- {0 u$ T& t2.2 最简泛函的几种特殊情形

2 Y* p  K# L+ U* n+ ^! L* W) A, f( {; t

3 K4 S1 J% w" ^1 U" x
例 1 (最速降线问题)  
# M& F& O. n7 e( @6 c* t, P最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
. b! L8 T- a; v7 v" n; t' G+ Q* P



9 I+ ^" \" d' m  X) |
9 P) [0 }+ R" |, B! l$ Q1 m- A例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
: [2 a4 u2 C6 T+ r# u0 a0 R, A

- c: E- p" |( |5 d, c5 y8 Y! f
2.3 最简泛函的推广
- V$ b. l3 ?6 E最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
& `3 n8 K$ T9 _" w; J8 n
$ X3 F* e4 Y/ e5 c! I/ Z（ⅰ）含多个函数的泛函
! X2 J+ r' R+ v! U; @
; i" l& Q* o4 ~/ y. s. _! [0 i
! [  X, s* r: D0 r+ X0 [
（ii）含高阶导数的泛函



1 O; q5 R0 y# z2 _9 f6 O+ g/ @$ `（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
5 P4 Y7 [% X( U( B! V- O% @0 r


2.4 端点变动的情况（横截条件）
$ @2 f5 ~' y9 q
, \9 B0 @, d) V6 \* U" E

! o# R3 b3 G+ m3 s# T! ?
横截条件有两种常见的特殊情况：
- d) [0 Q( e- t
; _1 V: q( Y) n9 P. i& m, P) h0 m
" v! E9 y% P0 G; @
' ~$ g5 [8 o0 v/ Q: t注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统


0 e' k. g7 [+ b7 Q. g! g8 O

7 \0 P( w2 }* H! j) U
% s* V: }4 f! n9 _# }
5 Z; ?& n- I5 e# t3 c0 I' ]* z
1 S; _1 B' ?: n: u( s

; y' B5 j) A  K" A* |5 `4 最大（小）值原理
3 E% T" k  S& q
/ l* v5 [3 i( l6 n, V5 K! u

+ y; o- P0 L! m9 ^————————————————
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. O, Q8 n9 ]. U& J' _( i5 o, [原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497
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0 k( F9 ~4 ]3 N5 D3 v0 @, h5 l