巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化
3 K2 u. h* T2 n
4 q8 F. ^2 G4 `8 p　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
亞和伊拉克。
* M, l) V- y  g8 R. s! z6 A
　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
# C1 ?$ [( j: _* u0 |人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。

　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
! z) s& }& X+ h( Z的貢獻。

& s0 N: @) T& d2 O. A/ ~6 Y　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
9 x( R3 f9 c1 E的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
& K/ A; @0 L, t% d0 h磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
6 I" t. C3 N: H. z! s5 U8 L板書。
) v0 c+ {0 o" S
　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
& `5 Z" l: Y: ^，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
- @" g3 ^/ b4 I8 e/ k! x，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
工程的研究，這是當時其他國家少有的。

　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
* S% l! _6 u9 f* A- z這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
. |4 {: D( N& R" J3 K( m土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
8 z( j7 a4 _- e# G8 B& k, s/ U了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
* C6 F+ A" K; ?7 ^* O2 c3 z高。

! i# [3 X+ K2 i$ T/ \- @　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
裡就談談他們這方面的貢獻。
  [+ x5 |. f  s
5 _+ F2 D; R7 i. o; j1 g　
" X& {/ j- U: a1 C2 \
巴比侖人的記數法
% A- U, k5 }5 ]. T6 A( Q+ S
, U, ?- {6 s. _　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
進位。

5 K% r$ C' {+ Y$ }4 O' v　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
$ J* v; N9 D9 n% d「逢十進一」就是基於這種原理。

　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
. q0 }. Y# l- ~" f) z7 c助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。
: v1 ^4 N0 b& T
% d0 U! l  Y  r9 f  f: |　　　　　　

　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
0 S0 V1 C) W. A0 p" k了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
. d3 [4 ^5 n8 a2 V, ]是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
- `: H" w/ N6 s; L- H: ~0 E9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
; l; ]0 w9 s, v- y. {. @. B3 個小球。
. P% G; t9 `& U) i+ M0 `
　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。
7 O4 l$ J# u. T% W% h
　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
7 B$ q6 W2 o( X7 B3 z/ P; x% F法。

　
1 l  v+ a$ i( ?; b# x. \
( F' v  U7 A2 @8 ~8 |5 d　

　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。
6 \& `& C- B6 S" ?4 C$ G  T: ^
$ |; ~7 \1 a/ d' ]$ c　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
* q4 a; W2 |7 {0 t  c" ~; o; f+ K等等，我們現代還是繼續採用。

# X3 c; K4 J  W/ Y　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
/ B8 B) Q3 e( n吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。
2 C2 C7 g* j" o5 J
　
0 v  L. r3 P. U5 P8 L+ a  r
　
1 L) \- ?) W! W4 k  i9 L8 W
) ~4 o( \. b. B4 X- H6 E- S　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。

% |0 U5 B1 u2 V8 S3 N5 R% F! X0 w　

　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
前五行是形如：
3 O! y2 }7 e7 c) f& O$ _$ a
& O: Z6 g9 J1 o' `　

很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。

; N9 @  K0 R! C- G- s2 h" U; `6 i　　可是接下來的卻是這樣的符號：

# a0 }( J$ Z9 F3 A1 h7 C1 _　　　　
　　如果我們前面知道的符號是寫成：
7 N  `) L3 h& J) ?  D
　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10

3 P8 h2 f" T2 y3 I8 f3 Q) _& }　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

% I; m+ d( H1 ], c, b) }8 k　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。
; d) Y2 n7 e- \) O1 M' a
　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。
7 T% N* v( ~$ Q0 u* P
　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
+ n$ L2 k# {$ ^: e看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。
/ U: n7 [1 Y2 f# S
* X( A6 Y7 L) Y# a3 m　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。

　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841

7 s5 }# h% \" k% E* z$ U; `　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。
. n# A$ h, X$ b0 K/ o
! H8 J0 k6 ~2 a; Z　

巴比侖人怎樣進行除法運算？
- o/ h% k- {5 ~$ \* y) B
　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。
2 n; a( @5 h% x; _. U* F5 }0 W
; J3 F, z0 T0 j3 F8 m4 {2 30 16 3,45 45 1 ,20
3 20 18 3,20 48 1 ,15
$ z) n2 T* F" _! b9 |) V4 15 20 3 50 1 ,12
5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
9 6,40 30 2
* C1 r$ ~5 i- a- R10 6 32 1,52,30
12 5 36 1,40
15 4 40 1,30

+ q6 w* n4 Y- f8 b　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
! O; A, G8 b2 N7 X/ v% N+ @6 c& @現在把以上的表改寫：

4 L* N% E" m1 t$ W2 y& F　　　　　　　
& I' d4 V/ u( l7 \, }1 ^6 C
, d5 i  e% O/ _( w6 c　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
對應 2,13,20意思就是：

4 ~' A  ^: E: A　　　　　　 　

　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
' J9 e/ S+ J8 V) a6 V這是什麼原因呢？

　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

: S2 G9 C( D9 n! ?3 d, Y8 L　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。

　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？
; i2 g' f2 I* g( u# G' m
　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
* \- Q% K4 [' G- @9 da ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
2 q8 a. O! s$ h化除為乘」，計算有時是會快捷一些。

　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
; \2 ]! x' ~/ T! d" `, P; b決，這時候「倒數表」就很有用了。