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2009年,中国大学生数学竞赛(通称为“全国大学生数学竞赛 ”)开始举办。该比赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才。
- K; ^$ q" z$ u+ ?6 Z, U" s 竞赛用书 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》,由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写,已经由清华大学出版社出版。: |4 t/ f/ \% p: l* O% a- `& H/ V
竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲
' s& Y2 [* C# `& ], X* y & }! x* r6 Z* C6 H, Q
(2009年首届全国大学生数学竞赛) ) W9 ]: i( H2 B X
0 g$ k0 O( y! |2 d" v0 g0 B
为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。 ! c J) r' Y, Z6 ~/ o" {% y
( D! |9 A8 ^2 d. d e6 D# i+ j$ W
一、竞赛的性质和参赛对象 4 ?3 g& Y c" Z& y7 t( i
, G+ b; _# F# [ Q
“中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。
0 ^% } u/ E' T0 I
5 I8 i: j+ R/ b% X1 F “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
# ~( ], H- @& Q" D1 R) f9 ^ ~0 I6 f * S8 `7 s! e! p p3 B1 _8 p5 W, D
二、竞赛的内容 , A) J" r! s! v1 I$ y& f
$ ~" O9 E' s! U. W5 E5 y8 D
“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
, E; _" x9 c- y% m. U# [3 X 9 m8 f. O& b9 @& z5 F
(一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下: # b+ ]2 b; i' C& J; [6 |( @
$ r/ E* ` Z; Y/ w( C Ⅰ、数学分析部分 7 U5 k1 M: {; S4 z
. d4 D6 M3 c1 S# P3 D/ T: _
一、集合与函数 # ]# T& z; z1 L6 d
6 K4 }0 _8 ?, k J 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 7 q( Q# d8 \4 m
7 X Z# r4 y9 U2 Z
2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在上的推广. + s: w5 h1 t3 B# Z# N
0 b& q! o/ c: P, N9 J2 a
3. 函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质. 4 i; b. m, O1 t- S# Q3 U% ^! Z
; X7 o) C! A3 y 二、极限与连续
0 `2 t( o/ e, v& u 3 x) i0 {/ ^2 `1 T1 [1 H: Z* A* L7 B+ Y
1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质).
8 k! G2 m& M2 B. b; U2 N+ A * N1 N1 y+ }8 }8 ?1 Q5 N
2. 数列收敛的条件(Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限及其应用. 1 j) Y4 M% V% l9 v
5 |0 a7 T/ ^- c) {% y1 b 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性),归结原则和Cauchy收敛准则,两个重要极限及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O与o的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系.
( {- q3 V, x- {/ S8 t3 t; W
" |) r' }0 ]& d( w: w7 j 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性).
3 l' J3 w1 [1 o: V
1 S3 U0 }. m0 o3 _0 J* ~$ r% l1 S 三、一元函数微分学 - m% u/ y! C8 ?! F6 \
" o/ }( O7 u! O2 J, y
1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.
' M# E1 ?9 @& B) Y' P0 I $ y8 u k* E9 _( r4 Y
2.微分学基本定理:Fermat定理,Rolle定理,Lagrange定理,Cauchy定理,Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).
5 r0 t6 q% E9 v4 k/ S
U! T9 E2 u, u! Z% l 3.一元微分学的应用:函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达(L'Hospital)法则、近似计算.
7 h t ^( u% g! @- ] - g' I6 T! k8 [" w! Q( ~
四、多元函数微分学 % A$ K; t# I( B. O7 j j
( Z9 R% t2 k2 ?9 e" G0 F
1. 偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式不变性,方向导数与梯度,高阶偏导数,混合偏导数与顺序无关性,二元函数中值定理与Taylor公式. % a8 ~7 Z9 Z- T4 C! U+ L
, f- F! i3 ~1 F9 E: m. O& n
2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数(组)求导方法、反函数组与坐标变换. 4 q+ t/ `! }" I# t- S
5 L! K( f# A8 z/ e/ @ 3.几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线). ( F8 z8 U }3 F, T. q
- y0 `, r; ~1 R) y 4.极值问题(必要条件与充分条件),条件极值与Lagrange乘数法. / ?! c# v; G" \7 Z$ o
& e. h4 O/ O1 m
五、一元函数积分学
6 r* w! h; D3 L; D6 g9 V D6 e4 l$ f, G: D% r( m
1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部积分法)、有理函数积分:型,型. 2 ^) s/ ~- @7 ]
a# ? }% S, e' P 2. 定积分及其几何意义、可积条件(必要条件、充要条件:)、可积函数类. ; v b+ Q6 X' c# z9 M3 Q3 D' c
& r* ^% _- [% d1 q/ L 3. 定积分的性质(关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理)、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.
2 N& |' j; d- E. p1 { + C& l2 t* e' x" F
4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法(比较原则、柯西判别法)、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.
! z9 V6 y, E* P6 Y) Z$ u
9 u/ m# o- S/ u: L0 k 5. 微元法、几何应用(平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积),其他应用. / i# L# E' t, W; ^$ f
; L' U* L4 n' F; R. Z
六、多元函数积分学
; W, `4 B; [! l9 @4 x
0 T9 s2 g0 t+ v n0 P 1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算(化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换).
% w4 V5 j8 p0 e i" B! {& ]$ S! J
2.三重积分、三重积分计算(化为累次积分、柱坐标、球坐标变换).
' ~) Y; i/ M* s8 A( T: A5 q ; f H4 t8 w8 ^' f, e
3.重积分的应用(体积、曲面面积、重心、转动惯量等).
4 L! t v9 I' C3 T + ?- f( F$ E5 ~4 g8 p* f
4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法,含参量广义积分的连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.
$ N1 V5 C5 h6 Z5 g6 _- \3 q 3 _2 e* {7 ^5 a t0 C
5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算. * |9 s" P8 p9 ~) `6 O2 M
6 M g1 e0 `# v* d 6.第二型曲线积分概念、性质、计算;Green公式,平面曲线积分与路径无关的条件. 7 _% s: N6 ?8 C9 [: e* G
8 I: X# Q, }7 j) i8 Y 7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算,奥高公式、Stoke公式,两类线积分、两类面积分之间的关系. ' S# A+ ?: D* s3 K2 a5 n3 x% \
, B+ ]$ u& K; p" [. [1 m 七、无穷级数
2 \: g+ q% n" i/ i: h, `
! R+ E& o8 O3 h7 @5 f8 N7 w" S 1. 数项级数
# @- S/ h$ [/ b, Y
% ?) Z7 z) G; E) W; ^" W2 k# N; T 级数及其敛散性,级数的和,Cauchy准则,收敛的必要条件,收敛级数基本性质;正项级数收敛的充分必要条件,比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式;交错级数的Leibniz判别法;一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.
; y n) C$ K& u& J/ |& z
2 f6 _( A7 K7 G% r 2. 函数项级数 / H8 p4 }6 v: X) W% g2 y
' D; Q' L2 H: s- d: `- \2 T8 b
函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法(M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法)、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.
# W0 u! Q- J) e. y( y$ w( C6 Z; _ 1 S4 R$ L) u; e: i$ A$ a+ b
3.幂级数
: Q: }7 A" C" x9 } / `* c5 ] ~ e
幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间,幂级数的一致收敛性,幂级数的逐项可积性、可微性及其应用,幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数. 5 M1 L. k( t% ^+ V# r- L
2 H8 J5 ~4 y# E' t: i5 } 4.Fourier级数 3 n) M% o7 K0 `; B4 y: Z c: c5 A
1 N/ A: [" A+ m
三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.
$ ?4 `" m# |& G5 O$ _+ m/ B : `/ I( @, t+ Y3 n* |* [
Ⅱ、高等代数部分 ( Z7 L$ `; b5 a5 k0 S
, u( |, y) E7 Y0 F 一、 多项式 % t( ^: T3 v( i% Q
' {- k4 d$ i% S3 R" A 1. 数域与一元多项式的概念 2 B+ }$ w8 }6 i1 {( E
t) @: g# {' M, j" { \' }
2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法 - c h& Y+ ]! m) q! x4 v6 ?
6 S1 @- S' j1 t 3. 互素、不可约多项式、重因式与重根. : f+ S& ]$ i% w1 R8 j5 u0 L8 Z
+ A2 h( u9 @$ s
4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质. . I3 B, b* U' q0 R5 a. N1 p* G. Y
# j! r- \* `' k8 D9 }, }8 r: Y v) M9 N 5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.
; q8 ?: P: ]$ J) ~, \* y7 {
0 u% B; c( @0 i1 O- @0 j: K+ Q 6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.
/ F% q: S @7 k7 T/ Q3 }9 k- Q * ` |7 S0 o: A7 q& O
7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理. ' |( }' Y0 E1 p/ i5 u
/ x5 a3 I7 d' U 二、 行列式 % b) D/ I& |. ^# `7 m# O. K/ f- q
" O- k- C1 N& S7 ]! a8 l0 Y
1. n级行列式的定义. # c$ N& c. X# s
1 F; Q; l4 k3 }6 \
2. n级行列式的性质.
& }- C( C1 p( n
* d# ^8 j' N4 P 3. 行列式的计算.
; i' G% f+ I- n( ]
9 m1 [- p: t: A$ K& w9 R) v3 I8 l 4. 行列式按一行(列)展开.
, A ~) ?7 d1 e9 f5 F 7 w& w+ l. Q5 e3 U9 C+ z
5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.
- r, ~' R9 Z& z8 b$ U
G0 M4 k3 p0 ]4 S1 a& n) Q2 ^, M 6. 克拉默(Cramer)法则.
; O6 H& W- Q3 ^5 { 3 v5 W' Y4 h" V) f/ [/ r; G
三、 线性方程组
4 K P4 d5 d" s% g% {( u& @' `
' |: R/ C, x% B' V% J 1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解. ; L6 p2 ~' u. E
* O3 p& D- _* \% e 2. n维向量的运算与向量组.
: z) f- U1 D: W) y6 I- t z4 T 2 |9 t& L5 ~: p5 }
3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.
1 |/ u: }0 s! i2 j$ H. X) b ; H3 B7 w7 W* p: q/ A+ |
4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.
6 i1 z) d% Y' V' c
$ H" \' t4 Z( p/ c 5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系. : o7 |9 U% r4 @
5 w7 [0 c' Z" ?6 I+ n5 \ E9 b 6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.
* y; ]# |* w5 P3 Y l! I
/ u+ j1 I8 L$ L5 e6 g& n 7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数
! f' H5 I: V3 _ W" O+ ?: f. b% p " `/ H3 r" m1 R3 a9 o
四、 矩阵 $ E; i: M0 T* h& I6 f* E1 z3 Z
! H R, Z: J) z5 S 1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律. , o4 u# |$ V' k5 ?8 ]
1 c2 O* I0 k" ]! [+ O# a
2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系. ) L: @4 Q+ D; f' r* F- b
) m9 J3 r+ i0 \ 3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件. % {+ ^' N$ c/ D: K( Q
- ?( g8 e# K1 _; e
4. 分块矩阵及其运算与性质. - }% Z) m3 I9 N9 E0 L a, r) j
$ J) E% Y% x( r* T ]+ U 5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形. * V) Y0 F4 W+ D% i! A0 L
% U3 m5 ~5 N; ]4 P% b 6. 分块初等矩阵、分块初等变换.
! @+ _* s0 Q7 z" v * D8 \$ q3 A( p* U
五、 双线性函数与二次型
# X Q8 b3 Y7 `# Z
6 L. J2 Q1 w2 P6 J 1. 双线性函数、对偶空间
+ E3 ?: @% [' i2 j: D , E$ N- a/ V- D2 b( o5 O
2. 二次型及其矩阵表示.
6 w4 F$ B; U. N! ` ( T: f V' ~1 f$ ^# o
3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.
! C( x" [' f$ x+ l7 l5 R8 ?9 P0 M
1 U+ I$ U( k) h* M9 R+ u5 [ 4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理. 2 {3 \" |/ e: N
' l2 c, M" i% A: L 5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵
. o: Y$ g# Y, {! P3 P6 T : Q+ D: R* ]3 k# m* Z/ z: [& C
六、 线性空间 ' i$ s8 l, i5 I; T" Y' w# h
) B! N, y* J$ r/ b
1. 线性空间的定义与简单性质.
% J* ~2 u( ^( Z7 Z
. A/ p6 h, t: Z' ^ 2. 维数,基与坐标. : k: C+ A: U# i" M: }
7 b7 ]9 m" f/ U$ \
3. 基变换与坐标变换. 8 H5 o: \ v" t! _
1 V" }7 `8 `: B5 A0 s
4. 线性子空间. : g; z- h2 m, l0 L7 s6 p2 Z j* [
. c- v, W) i+ C' J6 u& S; u2 D: @ 5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.
, |" I% j7 y. }- w2 {
, u4 J: @# a# T) I/ q 七、 线性变换 5 `3 U+ W/ c3 {8 c1 R9 H7 f
6 A. H' k3 P8 h: O \ 1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.
6 {2 r- z& z8 u3 E& `) G 7 x& T' @8 T6 m2 Z6 B
2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换. " K; a W. l- `: x& u. i
k( X% I5 v+ l2 B' @& Z: M7 k
3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理. 0 f/ W7 w0 }# N3 m, H
. a# p }: X* [: e 4. 线性变换的值域与核、不变子空间. / D" k, S+ s- S# Z) N( W& k* C3 y7 B
! W, z- x2 U6 K: B- q& W% u, h 八、若当标准形 3 [( D5 ]9 S# S. L
2 ]( P; I5 C# g 1.矩阵. & s( [7 Q- P& F8 O/ ]% }
% o2 ?8 Q! l! s5 \' c 2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.
0 L) n, W, e9 ^! i7 x, m! _; } ) ?9 F" Q8 j* @2 F+ b
3. 若当标准形.
7 A# o3 r6 h q6 q1 t0 h9 Y P
1 `) E5 e. |' }2 z 九、 欧氏空间
5 J5 s- c* ?) d& r5 A9 ?6 |2 z: i 6 ~8 }0 o4 S: F" n
1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.
3 y" t, H$ r: |( e
# `5 d9 {& \3 k( d 2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法. - y$ t5 L# q3 k+ y1 W. s
2 S k t; ~5 ^0 w
3. 欧氏空间的同构.
% S3 P, \& e3 R & @* s' e' G0 I5 \+ H
4. 正交变换、子空间的正交补.
4 i* c9 l" x! L1 a% ~3 F; L/ {9 y* N
) m7 `) f8 U9 y" u7 [" D8 F+ N 5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.
Z$ M% X; ~ A# k( l: f a u& w + S$ M/ z8 F' V2 F% A
6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形. : b* F1 c) C" @' U
, r7 m% q8 R. P 7. 酉空间. p7 y0 h, P3 S6 c! x
* y" m" A7 T+ H! | Ⅲ、解析几何部分
9 o( t) e# p7 r& M9 r
) E4 o4 a; n3 n 一、向量与坐标 * Z/ k& q9 v4 ~* t
! [3 g+ Q) E- \7 |9 j0 Q- Z# U
1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.
& k& u4 ?5 X( S" k5 u) D) i * A$ P$ w% F; o1 {
2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算. : m M0 c6 P& U R! {, e
+ D0 ~0 \' ]1 f; X/ r/ g
3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.
* U& Y* C; n. R1 Z ) ?! h. u% ~& `" V
4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用. 0 s; M/ H3 N0 d* `1 [
. H( C! x% }% q- |1 }! g; ` 5. 应用向量求解一些几何、三角问题. ' `1 c6 {, ?3 y' h7 S; D
6 G1 S" J A3 T9 t2 ^
二、轨迹与方程 * {7 N, V# K9 g# K! R" ]
9 G- S" f! {( G& y# _/ f4 v
1.曲面方程的定义:普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.
& Q2 n) Z7 d. _8 o/ |8 d ; W. s9 D; T: U' j! R) X5 u
2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系. z) j( [1 I3 }
}: R2 R: ~+ R2 ? 3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.
) S4 v1 S5 B+ f+ n 8 @" b5 \- L9 t! L) k' S+ Q8 t2 k
4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.
& }) o3 F' K/ ~4 A- O/ f' Y" V( P
1 m# |+ x% {9 j! @# [" D7 E2 | 三、平面与空间直线
/ C6 {% ]( N- u) W( _4 f3 u6 k ! b$ N. S# l2 f9 n. C: B1 m6 g% M
1.平面方程、直线方程的各种形式,方程中各有关字母的意义. 4 h2 ~3 V% {* q! S
8 Q% S s) V1 ~1 G, x 2.从决定平面和直线的几何条件出发,选用适当方法建立平面、直线方程. 2 t: ^" k6 n& I: C7 _9 m6 B5 \
# J8 @; t7 W* T4 \
3.根据平面和直线的方程,判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.
4 S; J; Y0 `% E: }
8 z( o9 D4 Q& @ 4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等;求两异面直线的公垂线方程. 7 k3 d4 B% @, I; D' S) d
m6 O9 x# W3 f# ?1 P; w' t5 z$ y$ C
四、二次曲面 * F- s/ {; R+ ?8 T2 j
- ]' V0 x8 v& S0 Z 1.柱面、锥面、旋转曲面的定义,求柱面、锥面、旋转曲面的方程.
$ w: @) c6 w2 R; S; q! P2 h; ~# e' t
' Y. E( M3 u4 ^" _ _0 w 2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质,根据不同条件建立二次曲面的标准方程. % z; s5 O& A! I! b
. v8 M8 M* a9 b! C/ M
3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.
$ w& u, ?" Z O$ e* I6 F/ O( f
! V9 [ [; Q: f4 z, I5 Y 4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程,求动直线和动曲线的轨迹问题.
8 x& V2 S' |, R9 Z! q; K- h! S 2 P! j/ O/ e4 H! {
五、二次曲线的一般理论 7 h H2 P2 c4 ?3 L, G+ T' M
, K0 I- Q' x* }. h
1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.
% `9 U& q1 `% e/ R
1 h$ H0 G) X; b0 ~ 2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点. ( r3 t$ u( U% _7 ]: E
) i1 [8 M# Y& H) B, S
3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径. 1 k' v# o7 Y S6 l# [# t* ?$ _
- J& X9 ~2 N3 d0 E9 R 4.二次曲线的主轴、主方向,特征方程、特征根. 4 C- I" C8 I; m: m
0 @) |6 e" M) _5 A
5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.
; m, c2 o% _: x4 v% u+ p
i& m( s j( z6 {2 T0 E+ e (二)中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下:
8 h- I' K8 e) Z 7 n o6 S: m9 j/ M. u# b
一、函数、极限、连续 ( f: ?. m' m8 H7 X
* j8 z" O. x$ [! @# s 1. 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.
& x, I0 j# G1 l+ i+ R( B8 B9 N$ {* P ( Q9 D4 ]) h, ^1 ^/ l
2. 函数的性质:有界性、单调性、周期性和奇偶性.
( H1 m& \7 v$ P: A+ y# \( H5 |
# s% x9 `% ?+ q( k* t8 f 3. 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.
# |' N) H( d4 l- f3 d! ^
6 Q6 ^! Q) p8 d& I* d z 4. 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 1 ^3 K/ z. v/ S" @/ P
' f0 ^- n7 x' |8 ?( ^1 [9 o. V) C( N8 v
5. 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.
, J$ c; f/ K( ~- [2 R4 Z }, l* J1 r3 v# h
6. 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.
7 N# j, v- d2 n1 u, Q" s/ Q 2 [: u6 {9 M! u) p
7. 函数的连续性(含左连续与右连续)、函数间断点的类型. 9 W1 ]1 u6 i6 B! |. D! I7 Y
5 a) i' X/ M6 O: z" y0 P& n- ~
8. 连续函数的性质和初等函数的连续性. ) a( k4 U& W" t* g! P0 S
' B" E$ k$ n, g! x- \0 Q
9. 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).
9 z& }) P& s% M " B! S3 L, M/ n$ _
二、一元函数微分学
& @8 W0 f6 M( u- Z& }+ c4 o' [1 ~ ' j6 T3 v+ f2 T" X- S! b9 S
1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. . E9 w3 }7 {) d4 J3 o. i+ Z
: X2 \8 {* x# S- Z) x# \( h
2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.
# W' q) O0 j/ c$ N3 w: L5 Y9 T ' A+ C X( Q# x9 d: J u9 }( w
3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.
/ q3 l2 I( q' z ( s5 @ E2 {, ?3 S' W
4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.
) g7 F0 b+ ?! Y. F3 \
& O$ _1 ?- L& d: N 5. 微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. / V6 r( C8 b9 }' x& G5 W
7 D" W& ^2 v( F& u 6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限. & k. `2 c) Y U. d6 [& i: |" ~1 _
2 l' K3 b7 l4 J' ~ 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.
0 U; F" b" @" q+ t$ `9 ]2 V
: i2 R. \$ X2 f! [4 B% I1 Q 8. 函数最大值和最小值及其简单应用.
0 O1 a3 H( [- \/ O _& a- f( q
4 R( F+ b7 l. [6 D( |- I 9. 弧微分、曲率、曲率半径.
# b6 T: k3 v7 X3 q + h; B0 T! N+ B/ x+ _* G3 x% W
三、一元函数积分学 ; J" T" }, b3 R4 G7 }: R
& e; A2 J0 \: |. |4 m, `$ ^
1. 原函数和不定积分的概念. - [0 m/ o' B, `
4 B. D e, l, u) w 2. 不定积分的基本性质、基本积分公式. 6 n9 O6 E9 i; y# `/ L' ?
1 Z5 V6 H$ ?5 R( @* f5 s
3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.
$ [( c, W+ _' {) b/ l5 f # a4 V. m; l5 e
4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. $ U* b7 Y( E8 `. J2 N( ~- G
2 S9 d2 e4 D0 l# S9 R ?+ m/ h& O v
5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.
3 ]) P7 I' e) R 3 f6 R! U/ q: Y1 u
6. 广义积分. # k4 [5 g3 x$ ]! N2 B( Z$ J
% ~, c8 U4 W# S5 n 7. 定积分的应用:平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值.
% w5 z! h& k' e6 J4 b$ X- c' j. Z 0 @5 W) D5 T; J% e, v
四.常微分方程 - A! w* c3 L3 d" M0 E
8 `8 w3 s- f+ b& M3 y1 X7 V 1. 常微分方程的基本概念:微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.
) R* O( o( U$ ^# V- O3 t ; Q+ `3 W {' x3 e! U
2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程. - r+ g9 K. A" |' R P1 y+ B
0 H4 ?& k# y# P5 } 3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程: .
4 h; x# ~, f ^+ l1 _" \ ( N$ p3 @5 h6 C1 [) G3 a
4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理. 9 P% V" K8 c5 f R! X
* W8 }' j. Q; [& v) E 5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.
1 j$ v1 g2 p/ v W5 f " `! ~3 O5 J3 f
6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程:自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积
( ~0 Y0 y1 R, ]$ X( b
4 ]" A7 s2 _$ X6 g+ e 7. 欧拉(Euler)方程.
3 W o5 L5 d* _9 _9 N, h 9 k: N1 X1 T9 Y( J: L* E/ h
8. 微分方程的简单应用 4 F% `; c7 }0 l7 G; V
~, I& ?/ Z, l( I; b, B9 r4 w5 K
五、向量代数和空间解析几何
9 r( y& O* o- O6 @1 y
# S$ b: c2 ^' G' u! h9 S7 D 1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积. 8 a4 G/ u& i7 @1 x) I+ Q7 ]
' G8 x. b6 g+ a3 `8 N
2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角. $ q% ~ c9 t/ V) h3 m7 P5 D
( s- P" F! U5 O7 O4 _ 3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.
. p5 ]) ~* Z2 T& U9 s6 W + ]4 V; S. j5 b8 _, p
4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程. 9 Y" Q, f( B f9 u* M
/ D8 d/ i: t- {5 E) O6 p 5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离. # z$ o$ N+ E6 g; N6 B! q* _4 `! u
/ N# H8 O' J4 m- Q/ X
6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.
& [9 A: V0 e9 C* b, f- S' J ) x0 ~0 i0 O% D# k6 g
7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.
- h4 _7 m# d* f" _6 Y
" L, |8 q% e: ?0 V, ]3 c! p 六、多元函数微分学 . b# c0 ]6 J# D5 @8 X
% Q% W2 A( Q0 I- _ 1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义. # u6 y5 g- q! E* b: Q! `. w& Z1 F* M0 @
" o+ G0 c: R& ^: t 2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质. % n- [, W3 Y5 x) v
% }2 z$ x4 i; e0 g7 v9 Q$ F# U
3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.
- r+ W% P2 D7 z6 }; _
" L9 B& @# W* a9 P 4. 多元复合函数、隐函数的求导法.
' ?" `9 l& f7 w
2 w( B" x0 Z7 U8 t [% b 5. 二阶偏导数、方向导数和梯度. . C& n' L- B/ A# m3 F; ^
3 j- `1 k9 K2 I. @. F; R 6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.
0 L) b) r; J z+ h 4 x4 M' {9 ?6 |! I- r8 ~$ M& V% U; B
7. 二元函数的二阶泰勒公式. 0 P- K1 O8 h( g& H* f. x
* M( n# f# V6 ^0 o9 T. W1 T8 j4 _ 8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用. / y: |/ G0 _4 J* n
/ [5 V1 B; B. N; w; \; C$ K6 Y 七、多元函数积分学 ) ? I" ^' U, Q6 l. d( J
! }- u: Q4 K! E) L
1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).
3 Y9 }2 p& {+ d0 V p+ y* w6 `- v0 k " ?& |6 d# U4 m9 p
2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系. : T7 c' U) @" H: S+ r2 @
) b8 C" p& l5 E8 c! Z 3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.
( G' a; k' A2 ~5 H 1 I e% T5 F2 K' b% g2 ]" h
4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.
% K" ~, }) B3 {6 E' o% K* R1 |. _
; c# I$ E) C9 r: a: n 5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算. % J9 t0 i: S( ^( e. `! F8 k( s$ B
3 A; B4 L8 l2 |3 M 6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等) / \& d C' Q% E4 I Q- t
. u" ^- \$ `; a( B
八、无穷级数
) M5 Q$ c! o9 m ' Z3 U/ R, Y- H" Z
1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.
1 K0 X4 F) h2 a & p. |6 x3 c3 H( J% T
2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.
5 L; G; q7 |8 s2 a% j( T : H' F* @, V% b- G2 W: G
3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.
6 ]; n) ^% V" h9 l
( k5 U- H. `) `$ P$ }2 f b 4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.
( M( {* O3 w) y* i
. Z( Y8 _+ g4 ?7 O3 ^, F3 M 5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)、收敛域与和函数. 1 o% b) f+ x5 _" d$ K# y, S
# B0 k* C4 ~ R. H
6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法. " b6 \; F2 q8 q S
9 O4 y* Q1 f4 ?$ c, b9 T 7. 初等函数的幂级数展开式. . \* N) I* v V9 Q+ r2 Z+ o" j
9 M- \/ ?8 x" P" u7 I 8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l,l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。" Y" V1 `. {3 F5 _
. O( Y+ G. l; U$ m" C$ i, B
大家加油啊!拿这个奖很容易的! G# `- s0 r+ q% W/ s
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