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全国大学生数学竞赛

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发表于 2011-1-21 01:59 |只看该作者 |正序浏览
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   2009年,中国大学生数学竞赛(通称为“全国大学生数学竞赛”)开始举办。该比赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才。/ @7 w* |  u5 k5 S
  竞赛用书  该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》,由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写,已经由清华大学出版社出版。
5 m& e/ F8 A- U) H. D2 E1 h% W竞赛大纲  中国大学生数学竞赛竞赛大纲
3 F! N: R5 N. |, g2 f9 C9 R9 n$ ^. h6 D
  (2009年首届全国大学生数学竞赛)
8 c) M! g; Y2 c7 e. l5 W6 f. |7 a: |$ r& N8 x2 Y# }4 P
  为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。 9 }( n. k( ^( c* M

& I: ^: e# p9 z# W1 S) V  一、竞赛的性质和参赛对象 3 I' e1 A% g9 q8 N4 [5 E
' a0 n, f1 C/ c1 D8 {$ x" C
  “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。   w( g7 f' Q( j9 T
# P% Z* o# P8 M+ f! y8 {+ e
  “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 6 W2 e  z) o* z0 `7 x' W

2 g8 M/ O& h- n  W  二、竞赛的内容
1 V5 l: i5 z8 z" y6 H2 ?+ V3 F6 }" N  E2 B! a! ]1 U1 e
  “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
2 h5 N. I; s, ?. u$ \4 h% U$ o# i( e" c) Q/ `( @) \0 U2 M4 x% e
  (一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下: # i1 c2 e& [4 H; }

$ P+ r" C3 G& J& L5 o  Ⅰ、数学分析部分 . y1 J7 B' i/ P$ Y0 e7 |5 a* Q( F
; `7 _! p+ }7 {- `1 f
  一、集合与函数 6 ~, [3 W; Q2 n3 n. R

4 v1 L) N, U6 ]4 u9 K' C  1. 实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 5 \- @5 k4 N( q. Z' H$ j
3 R& x3 E6 p4 e5 |9 l) A$ j* A
  2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在上的推广. 6 ^/ p; n; q3 O$ m( v

% A& ~6 g+ r; R( Q  3. 函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质.
+ Y% A$ C' \6 ~$ O% Z3 c6 ~, i/ R. J, C$ \% R# R
  二、极限与连续
1 U! z; Y; g) P
4 s7 B- j0 S% Y" A1 c& Q& q  1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质).
9 \! n$ B  R% H* ^& w0 T% a; F' N  c6 X  e* p4 H# c
  2. 数列收敛的条件(Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限及其应用.
' z. V6 t  ^: a
# C. v' k4 Z  g7 _  3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性),归结原则和Cauchy收敛准则,两个重要极限及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O与o的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系. 2 M8 X6 g: m% v

1 a- f$ ^, g) B! g- q$ i  s  4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性).
  a! F* n* N! i. R# Q. B( h" ^- g, ^- q& P* C& g
  三、一元函数微分学 + U/ R3 i; y# h- q7 X2 g0 ~6 Q8 }9 ~, v
' r' E2 h+ g3 c0 p
  1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.
6 t/ y) h9 _0 n+ w
# n, a; e5 T* h& T% b  T  2.微分学基本定理:Fermat定理,Rolle定理,Lagrange定理,Cauchy定理,Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).
' V, G5 c: P" c8 v2 j
  Z8 [# ]% s9 S& P+ {# H3 r  3.一元微分学的应用:函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达(L'Hospital)法则、近似计算.
5 N) w! @$ F& q5 P5 r7 O; U6 l3 D: E0 l6 F% Q% L
  四、多元函数微分学
# r5 m) a$ |9 b4 Z7 ?
" H  I% R9 E3 Q; D6 l  1. 偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式不变性,方向导数与梯度,高阶偏导数,混合偏导数与顺序无关性,二元函数中值定理与Taylor公式.
$ d, @& F/ U0 L# \* ?, f5 o& {" y( L/ x1 I
  2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数(组)求导方法、反函数组与坐标变换. % {% K% o+ N3 J2 e7 _, G

$ Q+ e5 N* W  M* b' b! s1 A9 k) }- p  3.几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线).
; C. }2 ~) k' T8 q9 t1 ~& I. c+ \! W) ^* q: q' ~- M% H# e
  4.极值问题(必要条件与充分条件),条件极值与Lagrange乘数法. ! ?2 L: i3 F# A1 A) I3 y- s. z. K

& |) n' U1 L, }& Z/ U  五、一元函数积分学 9 t2 J7 K1 ]: s! W9 z2 N

4 U6 A' D9 p" S; H" ?/ C* n  1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部积分法)、有理函数积分:型,型. ) e6 \9 c) N9 j$ F
. E: E5 n$ q# m3 r. G+ m2 {6 ?
  2. 定积分及其几何意义、可积条件(必要条件、充要条件:)、可积函数类.
" e3 e' V/ d5 F
4 w( z8 {3 Q% M  3. 定积分的性质(关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理)、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理. 5 W  e& j. x$ @9 g, c. [9 [
/ _2 J) b4 r! D. O; A& S
  4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法(比较原则、柯西判别法)、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.
% Y; s+ Y, G$ B; `0 Y
! I% Q# ~! x! M& ?, e1 {  5. 微元法、几何应用(平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积),其他应用.
* ]1 Z- e0 f0 x# y7 A
$ s2 Z# A% }# N5 ?$ h  六、多元函数积分学 - @9 X- K+ T$ {" n
2 b; O; d7 B1 n6 I: i- z
  1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算(化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换).
' N6 U! ^) }( d
# h8 q- R1 m6 u4 b8 h  2.三重积分、三重积分计算(化为累次积分、柱坐标、球坐标变换). 9 I  v: e* r( q
% k+ i, k* a4 L, `/ m
  3.重积分的应用(体积、曲面面积、重心、转动惯量等). ( W2 y  c: V/ N; y% O
" [& ?  l& Z' Y& t1 y# ~
  4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法,含参量广义积分的连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性. 6 W: e+ q& _) K( q& _" Z6 f
; K' P3 N7 a* R2 M; u
  5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.
% k2 B* N8 _+ {
1 A5 `2 S3 Z6 A1 Q( \" k" d1 M" V4 j  6.第二型曲线积分概念、性质、计算;Green公式,平面曲线积分与路径无关的条件. - \! C6 c8 ~! e4 _: d' w
- A- H1 h6 h5 L7 G
  7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算,奥高公式、Stoke公式,两类线积分、两类面积分之间的关系.   A3 ^, _0 B, V2 J( [- S
! Q8 p, T8 S5 ~# f
  七、无穷级数
0 K+ E" X  X; b4 k" r
9 y% `7 ^4 H1 k) m0 }' {1 O$ m5 u  1. 数项级数 1 u- L5 p' h; U4 X0 U1 I, R

% F# f0 y1 z( I  级数及其敛散性,级数的和,Cauchy准则,收敛的必要条件,收敛级数基本性质;正项级数收敛的充分必要条件,比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式;交错级数的Leibniz判别法;一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.
8 I( R, p7 g2 y1 R
" j& v" K4 P# Q  2. 函数项级数 1 y! p) {' c3 q/ a: D

5 I$ C: J) _$ S  函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法(M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法)、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.
7 r* ]! K: H/ ?) I- O  |4 r( S0 X0 K& z: ?3 q: B
  3.幂级数
  Z- ~( C7 K+ ~! T# K+ B% a, V5 O5 K9 h9 K
  幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间,幂级数的一致收敛性,幂级数的逐项可积性、可微性及其应用,幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数. 9 g9 W* W4 F; x1 {& p

, Q5 L* f5 J. {' p0 s  o  q( v* {  4.Fourier级数 4 i1 S! ]. Z) ~; ~& Y* Y
! Z6 S' }, b" o" Z+ d4 }
  三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理. 9 h( u# e6 B) }0 ?) M
6 y  X9 q4 l% ?2 u) Y4 M" v# }
  Ⅱ、高等代数部分 2 {! R4 f# s& I4 J# w4 n
' U" e; Y9 T" A6 n+ i. |5 c0 s
  一、 多项式 4 }9 e# ^# s& m

( c% [: [# a7 o' O* T0 @  1. 数域与一元多项式的概念
0 m2 K7 ^( V' v
) x' O- ?' h' d7 O" Z2 Z3 D  2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法
/ ~( o& B; @1 Y9 W# @, c& |/ o, i7 p( a7 }' M
  3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.
4 U; ?7 R8 q$ C% J* `" d& u- U
3 D/ R4 C; Q- K  4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.
0 Z4 j& G0 `3 Y3 ~6 L: Q# @; C+ ^# K2 w) V3 d
  5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解. 7 c8 c0 h+ x; {8 ^# m

3 Y. _& [8 q/ s* ^, Y8 Y  6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根. + d, K( k3 P7 k6 u" R

# a" B' S. d- Z# G6 i* q  7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理. 9 ~. Y# d# W3 P9 e, @7 W
( v3 H# u" C8 L! s8 C( N1 S4 o
  二、 行列式
+ |7 w( W4 I0 s1 ~' U6 u. n' m+ `7 i' l
  1. n级行列式的定义.
. M* \6 Q$ B4 z$ v; ?. P8 u3 M. D% k$ w
  2. n级行列式的性质. 6 n  B7 d, Z/ G3 b  J/ i

4 O% z- G# h' M  Y+ y# b# F  3. 行列式的计算. . b6 U# K5 ]6 i, k" h
! |% p: m$ R, {
  4. 行列式按一行(列)展开.
& C3 L5 M9 I: h2 O6 u5 d, P' @3 ?2 d6 X% W) ~6 j5 w8 X2 Z
  5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理. 6 w# G0 {! o. L0 E

; A0 @( |% p8 _  6. 克拉默(Cramer)法则. " k+ Z& }) v; ~# X) o: E4 h

" w8 G1 G% g1 [  三、 线性方程组 6 ~* C# d  f* R& m) X

; K1 d1 ]) E# \: Y/ W" _* ?& N$ |; _  1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.
! j. j' h& E- P9 V( H+ z& i
# M* n& {4 b8 D, t2 j  2. n维向量的运算与向量组. & `7 Q# G  {. A
2 X- @# ?7 _( @+ d  s6 p
  3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价. - q5 A0 ?2 m" x" m1 D; i/ [5 F

2 A) l* H( T2 C9 r) F" F  H  4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.   J7 I  w5 s0 P9 V  U6 u. J9 J

( b4 w) V& a: k" }- K, b) {# _  5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系. / o+ c7 \) {9 y% Y0 _8 w, O

% s/ @% u$ i1 I# n  6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构. & V6 R8 P7 `2 m, M; E2 L# N( |
9 k* d' _8 c. i- Q* q& Z
  7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数
2 v* l: ^3 j1 n" l& [
: e. [. n6 p  {. s  四、 矩阵
; X. H( K1 J1 }. ?. K+ n8 u0 d+ c; T3 [: ^  c1 d
  1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律. / j: M8 N$ A, }  t" t

; U5 E! x2 N, O1 r  2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系. 7 {( y3 e5 k9 ^7 P, V; u- ^) E

. W; f. J& Y7 Q3 X% Z  3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.
! `3 h8 X; `; D% Z% q4 D6 `4 E' k* Z! }) e1 }  _. ?. j
  4. 分块矩阵及其运算与性质.
( U5 X- N& a( M/ i8 G1 Q. m, `3 X9 [1 D/ Z# J1 B' e
  5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.
& z! Y; n, c& x3 F9 C. R4 d3 ?# [8 ]! a
  6. 分块初等矩阵、分块初等变换.
) P) A* E  y$ v$ P9 c' i, a$ T% T  {/ V) P
  五、 双线性函数与二次型
  w, c9 `- R/ d' v6 E6 a3 m/ v! ~8 J! C. G
  1. 双线性函数、对偶空间 ' K# H' s1 s" w( m) P  A+ z
6 I; E; Q( A% `  G0 E- d& J
  2. 二次型及其矩阵表示. ! E' _" H+ [8 q7 m

& H5 V' ]/ J) f  P. \' F% @5 M" _  Q: n  3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法. 7 H2 N7 |; j/ v( }/ Y& N5 D" r( b. d

3 Z4 E# {5 `0 L, I8 ~! l  4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.
3 ?. Z+ ]7 p/ J/ M+ y- y2 v/ o1 b& w( W4 o
  5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵
  ?& R* ~5 ?7 l2 Z
! `+ s3 B5 h& F: }, ~* P  六、 线性空间 ! J/ @  l8 J( V

) x1 l# A7 O$ O2 t# s  1. 线性空间的定义与简单性质. $ ^+ ~! z( c+ b/ N

4 o( H; j) J7 k  g3 o  2. 维数,基与坐标. * I& B/ ]0 R0 W) ?6 {; F
0 T6 {9 Z6 J  H- Q) v
  3. 基变换与坐标变换. 6 V2 |& z7 c0 q; Y1 j/ u7 u
- P5 F6 l8 Y' P$ L7 q
  4. 线性子空间.
# |0 {! u* `/ d; X7 r8 w8 A+ m! J( w( |8 g8 _
  5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和. $ l6 F. i0 m: w1 J: L9 s

, Y: A  m2 S5 B9 d3 r" U  七、 线性变换
0 |; M: k4 q1 o) j# U
2 G. E) }) f6 n: c* w5 Y, o  1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.
1 t1 K, T0 m+ w0 v0 D1 d2 N3 q0 H( k1 Q. h# U
  2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换. 1 W7 R- M; M- F: g

1 ~) e4 D& p$ ~5 ~  3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理. ) @- l7 f2 d- t9 E7 r5 i1 M

5 w+ i( f+ ^0 z' O7 E5 i% ?, e! Q  4. 线性变换的值域与核、不变子空间.
+ i$ A$ ^5 l/ u  D4 f7 s5 j- m. _( F4 D) P1 X; k4 G0 `/ p/ W$ I, A
  八、若当标准形
5 r' T7 a! D4 n4 l% ~% v+ `1 S9 Q) R4 |. }! g
  1.矩阵.
; |( n( n( P$ ?5 g
3 w: {8 \& j+ D7 l+ i; M, I  2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.
! u0 j8 k) `" Z( M3 ~
8 i& O- M7 U1 `  3. 若当标准形.
' b- q+ f( E+ S, ]* M
& d1 a; I2 W5 J$ b3 G  b  九、 欧氏空间
, Z  z/ @) L3 x) U! X, x
5 c( H3 ]$ C1 m  1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵. 9 k6 i/ m" N& c
  M# j! z1 ~% K% L* K2 i1 O
  2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.
% }  G' j0 L1 T! }& ^1 W, B
2 A; }8 O1 P4 o: N6 H3 _  3. 欧氏空间的同构. ; U$ ^/ p( v# F. E
# S8 j$ c4 Y% ~( J5 _
  4. 正交变换、子空间的正交补.
" U! v( a, u# N( M" {$ M5 o+ r9 `( l8 I7 ]1 J) ~" Y, I& ?
  5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.
4 L2 N: O! J3 \' l9 [
# _6 c" U( w+ K, b+ h: N2 j- I  s  6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形. * c* D8 N3 I5 `6 R

" o- L+ T$ P% @: z  7. 酉空间.
+ I( ]( E7 F- s, y3 P7 W6 U% |2 D5 N6 y4 |. Y
  Ⅲ、解析几何部分
5 R7 h3 C7 l- j: Y* B3 [  V$ v% T! z! l4 s+ e' f+ h' f
  一、向量与坐标 ; N3 e+ b* I. y2 e8 s+ ]8 R

( F2 l; M2 D+ ?( S1 |  1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算. 5 w: \- q' `) b$ r1 c
" h+ Q* O3 Q; l* m
  2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算. * _2 h+ r, P4 K8 w+ \; z
6 J$ w) t8 b; g
  3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.
; X0 J$ F& I( j  m! ]: m
) F' x9 n) b# [" D2 r; m& ]  4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用. 9 c+ P1 y9 N) {3 z5 K

! |8 J0 N) P6 [! i  }; T  5. 应用向量求解一些几何、三角问题.
+ h9 l& l: e- q# j% \
; s! A3 N9 k( w' M( Q  n  二、轨迹与方程
' ^; v+ ^$ C6 n: M, P
  b! y) _7 p7 r; v2 ^+ ~% w  1.曲面方程的定义:普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系. . Q" z& F+ D3 r& b
) u! f3 y! H& X3 ^
  2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.
" X5 K1 Y& q# ?6 g% u/ V
6 T: |' y  \- s3 Q  C9 W* s  w* q, B  3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.
: a: ~$ H  V9 p: n" X. P
# @4 t! }/ B  r7 @/ _3 W  4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程. $ y/ U& o: S4 y  v! z
8 {4 `7 m. N7 o7 v% l3 [
  三、平面与空间直线
* x9 V* b( y4 l( E. Z, i/ P$ ^* Y2 p( W; }0 P$ ^* s% j
  1.平面方程、直线方程的各种形式,方程中各有关字母的意义. 2 z4 o  k$ p' b4 h2 z9 |
( m- A' l! B7 M' O- G% E
  2.从决定平面和直线的几何条件出发,选用适当方法建立平面、直线方程.
% Z) D6 `* |" G
: T$ ]6 ^8 [  O5 H  3.根据平面和直线的方程,判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.
: X6 T: s' b. {. Y* s' n7 h" z! I' o: o/ u& J5 Y/ l" m1 N( G% `
  4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等;求两异面直线的公垂线方程.
5 G* R8 `/ M% K: ~
  v7 k% _8 H1 v2 S  四、二次曲面
% i% T) y+ g1 K# v  O
5 O% w  o$ ~8 M+ U, s  1.柱面、锥面、旋转曲面的定义,求柱面、锥面、旋转曲面的方程.
) {4 c5 L. g6 S4 e! ]
) |1 k9 a! ]2 Q4 Y1 j" o  2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质,根据不同条件建立二次曲面的标准方程.
2 ?! U/ ^; u! a! B# e. ?/ |
' l$ w% b0 i2 ~  3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法. 5 K& {% X/ N( i7 Y

# C. z3 ^, Z$ }! e: W% K+ v) |  4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程,求动直线和动曲线的轨迹问题. 7 {; o% S4 M  f  ^2 Q

) y# s; [- ^3 C% e5 Y1 U9 F  五、二次曲线的一般理论 " {- S( H2 {1 S! P  G
* g* _( i& l$ `) x( B" F/ G  V& {
  1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线. 8 i9 X% i- d( K; S3 ], Q" q

, d; p& V8 A. ^! \7 h1 E  2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.   U, @! U9 y( |+ a! q; p
- U4 ]& h. ~. y. [2 |% X- `/ w
  3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径. 8 p% O, y# [  }0 i6 h* a6 @

8 j5 }0 V8 b, |" R; a  4.二次曲线的主轴、主方向,特征方程、特征根. 8 O) U8 Z' `3 B4 u- \

/ z; A* t2 ]* ]3 \) U- p) m  5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图. % Q, b8 o. k. c# p. Q' F7 g$ P& d. q
* [5 h5 t" S+ N7 Q- p( h9 u
  (二)中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下: 2 B/ }' ]& e% d* Q/ x' }6 `

. q3 i1 V$ |7 j1 O2 N  一、函数、极限、连续
  [+ `- u, c$ v! C* F5 x/ g/ z1 f- `: s# W- O1 x
  1. 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 7 Z0 o1 t# Y  N" M2 B4 j9 v: K& X

2 x& q3 B0 G! v, b" I: z  2. 函数的性质:有界性、单调性、周期性和奇偶性.
5 ~3 Y. k$ x$ m. X1 y2 d( Z9 b
5 B3 a4 f, |( o5 h- b: A  3. 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.
6 g* x0 x0 e1 c9 x0 H6 u
/ g" ~& q( X8 C; z  4. 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.
: ^; b1 p  b% E1 f! _5 h! w* E  ~' Z1 Y! N' Z/ G& y, A* x4 w0 ^. N
  5. 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.
+ l/ i! y* U" J( R! z
8 D/ p- e5 [3 @) y$ Y  6. 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. % |# `$ R4 K) Z  }6 n, d7 N! Y

) C0 N( R- @% M- V7 k: d4 v: ^1 W$ i  h% E  7. 函数的连续性(含左连续与右连续)、函数间断点的类型.
# Q) t2 K1 V) y' @8 {6 z( h! {' l- v0 r$ b! b
  8. 连续函数的性质和初等函数的连续性.
4 k7 q" F  _) c. F/ c
8 [* n/ }9 \/ U' n+ [  9. 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).
- J( l/ n. O+ r/ q3 P4 m: Z- k( m, D. a% S
  二、一元函数微分学 7 v3 }+ f, K0 u% v. F/ s

: _' `& R% k: O& y7 Z" H6 ?% h  1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 4 Y8 l! ?$ h! p

: s4 L" q* M6 }4 p6 L- d6 v- z  2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.
- \0 \. m3 r  }4 w2 I! a: R+ i* E8 m: L# c) S
  3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.
) v1 a" A1 |$ m% p0 ]9 f8 `2 Z  \! n. a3 m4 i- z
  4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数. , Z. f" f7 G, E6 s

( n8 Q2 U; C! l4 |+ n' K  5. 微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.
5 |1 s5 {+ `3 u# R
1 u0 o; |" k2 R5 {, M  6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.
( {* l* Z' C- M* {- L
, p2 e# I) V% {  7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.
* F  r- \" m. R. O& s' Y; s9 n' G- U# e% X6 i4 A) V
  8. 函数最大值和最小值及其简单应用.
. }- Y' h3 E" |  Q3 q+ A/ P( n% u" {
  9. 弧微分、曲率、曲率半径.
" s' w3 J1 s) f' ]: H
2 b, K& r/ F6 Z9 [  三、一元函数积分学
* R8 B- Z- z8 ~0 R/ S& p3 N* Q5 r7 i' L9 Z8 R$ i8 R" d
  1. 原函数和不定积分的概念.
; i% j! {9 @7 {: G! B
& B5 j* K6 ]- w, H: r  2. 不定积分的基本性质、基本积分公式. % D  @( X4 g3 r9 n5 [" f
* C  u; [: [) R7 t4 r
  3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.
( b$ z. n& ^  j
2 w( |, S  @" p9 f6 w  G; f/ D  4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 3 g) I: c8 S8 y4 ~$ |

- s7 x" @# V# G; \0 N  5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.
# s1 X, C: S+ x* t' X- d2 [# d( V; p8 o  E, d# y0 ^) L) H
  6. 广义积分. 6 x7 M1 {+ @1 O( J! v

0 G. O9 C1 Y3 K  7. 定积分的应用:平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值. 1 z9 c  n; b& t) {9 H/ P

9 U9 F  \4 S, W# s, ]4 ^- F2 N7 ?* {  四.常微分方程 " i5 K$ j6 n) e3 O# l( E6 P( G
; V- n7 b0 M' c* w
  1. 常微分方程的基本概念:微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.
$ r, d+ X, O. W6 X) l, k* ?' o) W& D6 m+ T
  2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.
) J  j3 t3 P; J$ E) s) c
7 ]* x2 m1 W( Y( P9 r% S. W9 Z  3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程: .
! e1 R, o4 a' [$ W: {1 N
7 K% k  h. |4 C; N6 u2 N  4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.
3 _! d  R# n5 x: J6 v  z/ a- M+ b! z
  5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.
( w/ p/ v; C. n) K
* j6 X* r* ?* G0 |  M7 W  6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程:自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积
( I6 f2 {( M! `( w
' y3 T; M- ], `4 Y8 Z; [8 q+ f( G  7. 欧拉(Euler)方程.
$ O) s( {* ]  {6 c4 y% D! g6 k: p3 x& M6 x/ X7 |- y
  8. 微分方程的简单应用
6 L: S; V0 o% s$ R5 r4 F5 m, q- ?* s5 _* w: n- k$ m# T
  五、向量代数和空间解析几何 ( [  ~) S* K0 c' G, Z% n
, s( c; J4 q4 D/ O& u/ G; R+ ^
  1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积. ! G! Z! y: W7 [+ D+ v. B; S
: b; r# Z1 F7 z
  2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.
" J* }9 v; g/ ^+ F
( a3 U. O# ?9 u3 `- {* b  3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦. ( V+ \4 @+ H; F  e
" O% q& p& T5 o* n6 }
  4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.
8 c6 T5 N% O+ x) D9 O: D
! h8 X! `! S/ F& ?& j" ?& B( Z  \  5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.
# ~0 D9 r% \& T* Y. b- W* V
6 i4 Y3 g3 @# _% K  6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.
: b/ z3 r3 J+ ]  P- S# z& [& w
# m2 I9 R9 ~. Y4 k  7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.
* i7 |0 u1 o1 ]
3 h) ?) @' t% D. h6 w0 L. v  六、多元函数微分学
/ W# B/ I$ B( L8 [- I
) E0 Q4 M! W( u  1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义. / `. U6 m0 N& R; V7 l  G4 Q& y

0 Y1 z. I- b. k3 y0 g* K  2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.
6 U$ U; o5 S) h5 d7 `4 E  M
, f4 ~3 v2 U# X" q! Q9 M+ R9 C0 s  3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件. ( }$ I) X% A; W& F5 ^5 ^0 e
$ [- ~6 v  s# d
  4. 多元复合函数、隐函数的求导法.
. E( r; Q/ F/ S$ ~) w$ B. U; y% g
; [0 c0 ]9 W, I- a$ s2 x( {  5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.
# L* P' ^0 A. I) J0 I5 S
; Z* A- r; K: X; u& E- O  6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.
1 f2 j5 h" e/ _5 R' P; _) {( e, J  b- t0 q
  7. 二元函数的二阶泰勒公式. 1 G* L' T" _! E0 s/ |' J

8 J: o2 |2 X% K- x$ ^2 w5 R1 g  8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用. * q0 N  z, n9 k! s& ?8 u

- F7 A" V' y" a& q# Z' C8 `2 p$ `  七、多元函数积分学 
& v6 |' w$ N# n( A* K
3 I  g  C- V; O6 S! H/ D4 F  1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标). : A) R6 @# w9 S  E
" m( x9 }+ ]: y
  2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.
1 y( E3 Q. G( k- X8 Y: i
5 ?& }. C  X, h% Z4 q/ b  3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数. 2 j* @4 O, R' O" C1 i

# H  k6 t" z2 a% j7 W' J  4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系. 4 C( i8 q+ p' ]4 R6 h" ?* s+ B" u0 _+ F. N

$ L- {. O# H2 Y, B/ s; q  5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算. 7 }4 ^# H+ Z. o

( o4 N3 R) o) y* }1 M& F8 E  6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等) # _* t- ?$ e- M  y/ w: ]' `
/ g' x  {( z/ i
  八、无穷级数 2 o$ o& N1 z% X; h  B# H

2 z- @  s, h3 |  1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.
. N+ B, x  l- s5 I! j! D
1 W5 K/ y( |8 ]7 E, q1 s% |7 P3 s  2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.
( d7 O$ c7 K" E: D2 x2 z# b
. B5 M& Q+ r' e  3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.
2 w# Y+ C* F, s# G% X0 M: r7 b( \( i# b- v# O$ F% m3 D2 C0 F
  4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.
6 v1 x  C3 j: ~# |+ i1 d' \' G* T  T0 Y4 i; i8 F  S
  5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)、收敛域与和函数.
  q, I, w  S2 d0 J5 O; O# V2 X' o+ K/ W* ?+ z6 c
  6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法. . }5 @2 v2 \- s: G7 A
1 i* }) _# Y$ X* W, ~4 o1 S9 m$ W( J
  7. 初等函数的幂级数展开式. ! [5 P2 E7 t: O' v- I' i  u

& ]8 }+ ]' P( o- i9 H- P+ R  8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l,l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
$ e9 D% B1 y0 C0 ?0 \5 l% ?5 i+ B3 p& r6 r/ p
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