全国大学生数学竞赛

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   2009年，中国大学生数学竞赛（通称为“全国大学生数学竞赛”）开始举办。该比赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。
4 L4 Z$ S; N2 \; o* n& V  竞赛用书　　该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。
竞赛大纲　　中国大学生数学竞赛竞赛大纲
9 d7 v$ U/ V9 j4 o" ~) w3 c
, }% S6 h, q) N, Q* h4 B　　(2009年首届全国大学生数学竞赛)

  M( i# \# @5 @9 R4 d" _2 a　　为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。

　　一、竞赛的性质和参赛对象

　　“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
, M( ]3 ^- \% k3 M% H. i4 j3 r
　　“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

7 p9 C9 O1 F3 p. S# U　　二、竞赛的内容
/ K4 h& W- z7 T7 A
' r* B% `  l0 i# D1 G　　“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
+ ^( ^6 t' U7 c2 L+ q& o$ ?
　　（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：
+ [1 ^4 k% Q1 \+ l: I
4 J+ h6 |2 `# r6 A+ `　　Ⅰ、数学分析部分

　　一、集合与函数
/ u* ]0 A2 v. r& G+ s" l2 k% j
　　1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.
4 s% b) v) J5 @! I1 V; M
4 ?1 e4 \" S  i" r) [8 k; j　　2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.

　　3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.
3 x4 C6 U9 ^) I6 g4 Z; }9 G2 [
' y2 u/ P) q0 D$ {( V% j　　二、极限与连续

& Y/ Q3 P6 w5 e* J$ V　　1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.

, V: N' M% U" ?! O" A3 }　　2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.
! d* X0 B2 j) P. {, k# Y
/ K7 L/ A; c, S4 h) [6 m　　3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.
# Y" \4 {4 [/ m, a
! ?! Z, w6 P. |9 |* q　　4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.

　　三、一元函数微分学

7 _" S1 Z* n) `; b$ |1 p. W　　1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.

　　2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).
0 s# i) O# I% L$ n
+ n( g; @9 D2 e) c3 f& G5 A7 i: S4 c　　3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.
3 u* G+ I/ O4 Z" u) g# w; I  ]
* v# i! j- \3 F' r) O3 i1 [　　四、多元函数微分学
6 O1 w3 Q2 _+ m. H' f
* }$ T- c2 `- E& a/ y& }4 K, J( a　　1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.

　　2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.

. _* _$ x3 X) U　　3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.
7 n0 H/ H5 e. m2 G' t- i( @
　　4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.
9 n7 y5 a8 W6 L: _0 E- w
　　五、一元函数积分学
' f  i2 `. h+ P
- j* @1 l/ O* i; q! z　　1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.

　　2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.
- n! K# i; a% M1 h
　　3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.

3 a  e4 G7 k; ^4 I$ W8 V# ^　　4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.

4 b. I5 I5 R  q　　5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.

" Z$ i0 {3 ]( O, S* C: i- J9 |　　六、多元函数积分学
2 d1 ~0 [# {1 X5 [$ [! S$ ~
" [  D) o" ?' I* |; r5 a　　1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.

　　2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.
: ~" w+ P( n% M6 y% n3 H
+ {+ f0 x4 ?- P9 ]　　3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.

　　4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.

　　5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.

8 @+ M8 y3 l9 o1 R　　6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.
/ ^" l9 A' O8 D4 T
　　7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.
& L, l; B* @* d2 |0 X/ |
: N8 d3 M9 i$ H　　七、无穷级数
5 J6 f% e( {# Q$ w3 n! m( x
, R: w" T5 Y+ J' i) C　　1. 数项级数
2 U3 M- E/ i0 o% E- d0 p
　　级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.
; G& K+ s1 b  c! M1 D8 `! _1 p
) P  w/ g+ M4 k　　2. 函数项级数

, k$ r& n6 B% c1 j+ i　　函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.
+ T; z  |& Z. m, |: h+ V
4 @* y2 F0 s' H) r4 n! H　　3.幂级数

) R/ C+ Z. l, ?# }8 A$ ^) D　　幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.
: z0 ^: L, A% v! P2 @
% t( V' X, A$ V: T$ c　　4.Fourier级数
0 N6 G+ [" K# }
　　三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.

　　Ⅱ、高等代数部分
8 E& e' E" i! a' ^! z+ }
* _2 i# ?: G$ s' p" J　　一、 多项式

　　1. 数域与一元多项式的概念

% e7 W* E( O0 C( G: ]  l　　2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法

( G; H& {3 e! l- |　　3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.

2 G$ f4 @0 k  I; d　　4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.
) L3 m3 O8 Y6 q& H  y  E; F1 L
　　5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.
  Q8 L  f* W8 u, t2 k  r$ x
- M# G/ a% l; q　　6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.
! O; ]# [+ R; Q. A/ H& B! ~
: D6 K" F/ d, T$ W　　7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.

8 O8 @/ f7 {! q: Q- A7 I2 B. _0 o　　二、 行列式

, W, k* i) O9 \! i　　1. n级行列式的定义.
, K, j% R# B/ h8 I9 q- E; P
$ L) Q! k; k: k/ n+ `# _5 {　　2. n级行列式的性质.

) Q  _$ Z3 I9 C+ D1 d! p/ u　　3. 行列式的计算.
3 s/ K) L* ^  x( w! @
; D; F- X3 [. h" B, _( @2 V. E4 m　　4. 行列式按一行（列）展开.
/ i: ]1 V7 \) n
　　5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.

3 `0 c& X+ m3 Q" |　　6. 克拉默(Cramer)法则.

　　三、 线性方程组
. A; P) [0 ^, e4 t$ s
　　1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.
' ]6 X5 n+ |% I! a* X7 w
　　2. n维向量的运算与向量组.
$ o1 M2 e; T' c) Y
5 F3 b. J: ?9 t' \4 [& N5 `% z! K　　3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.

7 j+ `+ c: a: _1 d& k( c, A; c　　4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.
5 b, {8 |0 |+ q5 U! d
　　5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.
8 D" z: f" _" Y' C) v( n1 ^$ k
4 l( B: {4 ~4 R　　6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.

% z8 S5 n, |' i1 u! z) ?) y　　7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数
0 Y. c8 A' `( R% d+ o0 |4 }* q
" ~- h# N* V# g% T　　四、　矩阵

5 I+ B# T, b7 B0 L　　1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.

8 a. f; P4 x# X  ]9 E7 E　　2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.
% X4 D; N' @6 ^  Y
: t7 z5 m0 Z! N( F　　3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.
+ J9 i8 e& U4 P- z  G
　　4. 分块矩阵及其运算与性质.
1 @6 |' G& N& i6 N  W4 V
　　5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.

　　6. 分块初等矩阵、分块初等变换.
, y! {9 _! W: g' s( D. X' S
　　五、 双线性函数与二次型
9 u5 o7 \/ ?7 G8 K7 a
　　1. 双线性函数、对偶空间
9 c1 C4 S' u3 i# B
; y& P5 [8 i; o　　2. 二次型及其矩阵表示.
, Q5 g+ f6 _: }' F. R2 }
' E' p1 y# l! d- Y　　3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.
$ Q0 _+ |7 L$ K2 N3 N3 s% a
　　4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.
! y5 C. w+ z! S4 ^7 V/ f. {7 Y
) f3 J, S  ^# k　　5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵
8 R) F9 p/ I0 R, C
* ~  l' r5 ^  P! }5 {. C4 w　　六、 线性空间

7 g5 e  F( k  }0 K& j3 }　　1. 线性空间的定义与简单性质.

! @; q% m" {" ?7 U. Y' v" G　　2. 维数，基与坐标.
! E6 R2 P2 X* ?: A5 |; d6 Z
, d2 O: S8 `" M2 m" m　　3. 基变换与坐标变换.
3 l* n6 H4 F8 U6 c3 M
. p) I$ {5 e1 }0 r7 t- a  p! U　　4. 线性子空间.

4 g: f3 c' u$ r0 @, |　　5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.
: ]6 ]  \, R$ c$ Q. G2 I
4 L. z8 C: E- d　　七、 线性变换
- [- {4 E3 C: d' K% [/ j$ D
　　1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.
- Z, a+ P+ j- t& _! v5 N9 \2 d
　　2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.

/ S6 g" n8 q3 b* x) E* L　　3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.

　　4. 线性变换的值域与核、不变子空间.

　　八、若当标准形

8 R- I5 `- j4 F　　1.矩阵.

　　2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.

: _- M5 H$ f) w3 h; ]% m5 j  S1 g, C+ O　　3. 若当标准形.

- |: \8 H, A: e6 c. e　　九、 欧氏空间
6 ]/ N# m/ w2 V
/ f7 e4 K4 @( K# ~3 p6 a　　1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.
* p& p3 H3 L! K7 w' M0 G
. T1 Z; I" c% y5 i) P　　2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.

3 s4 t9 |' ~2 V　　3. 欧氏空间的同构.
9 ~3 _" d0 O; A& D7 z
　　4. 正交变换、子空间的正交补.

　　5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.

　　6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.
# S, n9 h* X2 E, B% U) ?
" `' }0 v4 o  x" {# e* Z　　7. 酉空间.

　　Ⅲ、解析几何部分

; z# i1 [! Q6 j8 D( w! t% J　　一、向量与坐标
$ p0 o% F3 t  R) y
2 m8 X% c4 Q* N% g& I6 F1 L　　1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.

　　2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.
% ?, Q/ s* Q9 A: M
* O' f4 q7 j, A　　3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.
- r3 z( _+ z& N% p) b' ^
3 r3 B3 W0 T, x: c- ^- V. M% `3 F　　4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.

　　5. 应用向量求解一些几何、三角问题.

　　二、轨迹与方程
, s% i* _" [$ R% M: D  D6 B; O
　　1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.

6 V  q; w# I- ^" e　　2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.

　　3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.

/ b4 [) {5 [3 u" {1 |　　4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.

' f" q- X6 L. j# G1 p9 o　　三、平面与空间直线
7 a9 {" d* x( j3 r+ y8 M: N0 @
. W" _: F% l+ [. ]$ J　　1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.
' |3 @& R3 O2 z# T
2 \* ?: N. n( P* r$ C% F　　2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.
* m8 r1 L7 C$ ^3 G$ _5 }$ B
% q7 K) o" _- @& b2 T% }　　3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.
- c; x7 ]1 Y* ]1 g
( `7 ?( i$ S% A+ I3 u; ?0 D% [( n1 u　　4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.

. [; |" ?2 E$ N5 A% {; X! {" D　　四、二次曲面

. k/ }( _3 |: B" O　　1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.
& }6 J5 x- Y$ b: n( B
; G6 w1 |0 A+ n　　2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.

7 w8 h" R3 A" h! g, i1 g4 p/ V" {　　3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.

% M2 s) \$ V- t1 d　　4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.
6 b5 i' Y; O( r9 B9 P! o
" G/ E  I4 b# c& P& j' Z- D　　五、二次曲线的一般理论

　　1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.
3 s1 B1 z7 m6 b% ?5 D: Q: E
　　2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.
3 _+ F4 J8 E. I
) x* H" g. }, f, s　　3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.

　　4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.

9 ^3 r/ q( \7 m. M% y* R　　5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.
$ O6 w# J% a: W' I' D
# I0 ]4 p4 v- z* ]& B　　（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：

" F5 A6 C9 y5 R　　一、函数、极限、连续
+ m4 P* l) Z8 ~+ _! W: \% n
　　1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.
1 ?+ `1 z& V! w0 i  W2 F
' ~+ E" ?( r' k　　2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.
  `6 v8 F* ?) _
1 Z5 d) u' U5 F9 Y2 B1 `　　3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.
8 G8 D/ U1 [# H% s0 I  z
" R& @! v# Z8 M! a　　4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.

　　5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.

- A! E! K! \) y) C- z* o+ t　　6． 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.
0 Q' N1 r: L" X4 }- H' }
　　7． 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.

　　8． 连续函数的性质和初等函数的连续性.
: z# h7 n/ J& f! d; J
　　9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).

　　二、一元函数微分学

5 l2 R4 L5 C3 |- A+ z2 R　　1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.

　　2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.

- ]% [/ ^+ W0 Q1 Z4 g: \+ p  b3 M" \1 J　　3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.

- i+ w1 D; _7 I3 R& ~" r* b/ d　　4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.

7 [. W1 S9 a1 t* r+ t　　5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.
" q4 ?& _$ D) Y& ?5 C
# B: U, }8 J, M0 E$ w　　6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.

　　7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.

　　8. 函数最大值和最小值及其简单应用.
8 c1 f% Y$ c8 m+ S- w
　　9. 弧微分、曲率、曲率半径.

9 c1 \2 J% a) B　　三、一元函数积分学

* J: W" j3 {: D　　1. 原函数和不定积分的概念.

& ~' q1 O( L) Q; {' g　　2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.
% W' M3 Q2 r& T. @9 ?
　　3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.
/ k# I! V* S" K/ E
( M, }) N3 }; ], V+ C$ @　　4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.

' C. u% E; M2 J　　5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.

　　6. 广义积分.
# f6 |1 g$ i  j8 [, x
　　7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．
6 U- |  H$ k3 L
* E4 I" V1 O, O  ?　　四.常微分方程

5 }1 C! C' h4 L! h% P# h. `　　1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.
0 J( ]' f1 s! s$ p; V% _% J
　　2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.
" j0 ?* @8 Q, v. [
　　3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： .

$ m, `0 y6 u: D& n　　4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.

　　5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.
. S' x) e# o0 Q% I# k
, F7 }: h$ {/ F. v7 d. W　　6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积
, w& n/ R3 e2 @: B! R
　　7. 欧拉(Euler)方程.

( U6 ^4 w' Z) s1 U　　8. 微分方程的简单应用
3 H4 u9 }  L! C3 c! E
' ]/ ?" ^; G8 _. \: }5 i0 k0 m　　五、向量代数和空间解析几何
8 e9 \& [. W' u4 ]
: u  u1 I& y% D0 g, i1 y　　1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.

' v. [8 T8 G/ u　　2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.
3 O/ S4 U4 Q% W" e0 S, u! z0 F
　　3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.
5 i6 t' o+ f: Q* n& j
　　4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.
0 e( ^; T5 \! p9 h6 B
　　5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.
" h7 w- G9 K7 B
4 F( C* R) U9 r  P　　6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.
: a, n4 Y3 }! D, r7 x" _
4 b+ v* M; y- C8 e　　7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.

　　六、多元函数微分学
9 s8 \1 G2 ^) Z- s0 U
: J% G- U. `* }5 `/ W9 g! \9 L3 S: J　　1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.

( ]5 k* T  C5 O# f3 C　　2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.

　　3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.

( t( q5 _4 f/ w, |2 I/ ^+ g6 X　　4. 多元复合函数、隐函数的求导法.

7 E$ g) U# r9 H/ r5 G　　5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.
6 C* ]- d7 U0 g$ e' i, j
1 n1 f. s- ~- ~$ M5 \　　6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.
1 Q% }# O' r! r9 i/ W
" v# |( b1 j' {* i' y# \　　7. 二元函数的二阶泰勒公式.
( m) |+ J- j+ y( v0 d
　　8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.
/ ?" |; l  c: E4 ?- b9 c1 V
　　七、多元函数积分学　

8 R0 C0 B5 |( g, z6 B　　1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).

% F) M) i! Z: ]& C6 c) W2 c# c0 h　　2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.
! _/ w. S( V2 x2 R6 ^& d
　　3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.
& ?' c9 D4 X# z. g6 r* c
! T3 G: K) s$ a( B7 g+ x　　4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.
! j2 E2 G1 a  C- A7 P/ N5 C
　　5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.
) F' k+ Y0 `1 d3 |' H* O5 y
　　6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)

( L2 H3 U4 x0 M8 [" a7 C　　八、无穷级数
+ G- n7 E3 a9 C5 N* F9 J9 V
& ]  y0 B- [$ m( S" v# F7 d& c　　1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.
3 h0 P( d# a% V) S8 Z, ^9 w& J/ r" K
. i7 W7 h6 E; s4 P0 A8 u9 `　　2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.

* D. _, s( V8 D( x8 q　　3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.

0 q: y$ n/ B; k　　4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.
& [" z! U3 ~8 r. ^
, u+ _' K0 y: k, ?8 d+ H' ?　　5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.
. T# o2 Q: ]* u6 X) T  ~7 s2 _
; A4 q9 ?: R, S& E+ ]8 r& Y　　6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.

　　7. 初等函数的幂级数展开式.

　　8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。

4 V$ x9 y( ?! u' [3 I/ l  m       大家加油啊！拿这个奖很容易的！

yeppy

数学竞赛

yeppy

据说挺难。。。。

wy315700

其实非数学系的预赛还都是很简单的

北极熊将军

好！！！

0124huitailang

怎么什么都考啊，我们有好多都没学过啊！！！！！！！！！

0124huitailang

0124huitailang

0124huitailang

LLLYSL

这不是百度的 么