由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理

青枫林霰

支持啊，大胆的想

schnee

必须顶啊！！！

唐伯虎

永远支持中国数学建模

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

感觉有点问题呢...........
6 ?( l& b6 m! S6 W( X3 I7 ]

wujwu

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没事了，这里可以用latex看呵呵

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
- V* F4 ^+ X% i" a+ x0 j2 _, t8 S' k  b                        苏小光
9 R8 D/ U" n: I5 m. V4 A( B                      2011年2月20日
6 L+ y1 q# K' [  P* y     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
                  8x^3-6x-1=0
% [) {* b+ {. d没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
: q/ d: _8 J# u8 K( ~9 H6 P5 }# u, p  ^    二)  预备定理
& E# I  c0 A& B$ N    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
                 l=NR\pi /180 .
" A  W; J" x1 P4 R* X                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
/ e) H  s' \  q   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
            
则用直尺和圆规可得
6 l% t& H) g7 m: \( ?  G       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
4 C' S5 Y! `( o  d) P  W! V$ F5 k    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
4 w( P* B1 J4 e) o1 T在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
            
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
. d6 |; r% l5 ?4 ?根据定理1,有
0 i( T4 T! r8 \    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
在AO上取点E,使
OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
5 j# ^- u: D5 n6 u( \; x8 B根据(4)式知K、F共点,所以
, q1 m! A7 h. Q4 n' m2 P& j& F        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
' [+ A4 B+ K8 e- D& s$ {        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
9 Z. P+ A+ m" C) R3 T  s即
: _) c2 f; W* E2 L0 a% `           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
3 T% X* i7 _  Y, J' w    本文的理论基础是
: ^0 j' G/ E% L' ?0 b            \pi = l /2R
3 a- E- A6 g0 Z6 U若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.