由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
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数学1+1

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                   圆周率 的联想
- m6 e4 C) C# e' k" n9 u                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
' [- E9 r, d  t4 ?5 k                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
. W8 L- G/ x. o) Q     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
  D5 Y2 f* F+ v' U/ f* z& J                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
* ^( |/ w8 |4 `1 m    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
: ]3 l/ t# L3 F: e1 U$ A                 
6 w; |& F7 S1 v. j   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
7 s) b0 V- I6 O. U8 L   三) 问题的终结
   定理3 若
            
0 K* F' j0 g# t) \' E; d则用直尺和圆规可得
; ]8 L& i5 Y$ R. `7 p9 r. M" o1 G( `            .          (1)        
    证明  
3 a6 y5 Z& J: v, r: N0 f, W在∠AOB一边AO上,取
            
* i' G  ?9 G& z1 E以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
根据定理1,有
* I, R# y3 _  i) y' _) O                    (2)
在AO上取点E,使
# |6 M8 C" a8 }( T  ]9 J) N% Q            (3)
9 w$ q" c7 v0 q2 T6 v  K: H以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
8 v6 F2 M$ q1 M! m6 ~* m8 }根据定理1,(2)式,(3)式有
% p& p) w5 o% b5 n! Q) I& u' F             (4)
/ K* E# D3 Q& |8 ]所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
* k/ ?3 z8 M$ V5 }# P2 s根据(4)式知K
. A% Y1 d6 l) B、F共点,所以
# T1 C1 X1 v0 J/ N; X4 o2 D3 r        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
5 R- c! S  n+ d1 y% ^2 j$ g* R5 w( y        .
- d) e8 k9 L4 l. \1 V4 z即
8 h3 [4 w0 w4 V9 i       .       (6)
1 |: p1 B) ]/ U) T$ i) L4 V由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
/ c" m/ q+ ^1 j$ \         
, |1 I. e0 e+ X( A若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
  I  O2 F. |4 F, q6 j5 {                        苏小光
                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
                  8x^3-6x-1=0
. I; _7 l7 p% S5 f没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
# B" p5 r/ S; I* n( o" m    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
- P% H, s* K+ W5 J1 C) q                 l=NR\pi /180 .
                 
8 ~$ I$ Q$ Y6 @4 d   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
6 }: f! e0 B  O* m2 Z% L1 V. G   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
8 y7 {; @. T+ h* U: P, e            
; J8 ]( J' J0 G8 q8 d则用直尺和圆规可得
+ T+ X; b( Q- n5 T# Z2 x       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
) ?- I% O5 y- c8 ]. O7 y    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
% f2 j6 N5 m; E* A, C1 V3 N9 g" ?在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
            
- G- f9 g4 n  p' T$ U; Z5 w以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
/ g0 j- ?' F' L8 C( }  r根据定理1,有
3 x8 m( K9 Y! d( j$ b5 X" h    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
  \' I+ Z3 h% w* n! k: w* W) o在AO上取点E,使
OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
0 D; d8 w* v* r5 c6 Z0 ^根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
3 Q9 h4 c; o1 b8 ~" F! }" F所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
/ P2 P! D# f5 C( b        CD=EG=GH=HK,
" J, g) ]3 Z* v' l* D! h根据(4)式知K、F共点,所以
. F. _( q& e+ P/ M& W$ }! Y        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
! f1 h  ~* u- }, n5 O即
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
4 M3 u# H6 Z/ _由(6)式知(1)式正确.证毕.
, d  @3 l$ W2 H. ^6 G    本文的理论基础是
* _) \7 |  H9 @& G7 [/ V9 J            \pi = l /2R
; ^- y0 b& ?- x2 e+ `% ?9 ~6 ~若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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' V7 |) Q- B% [( W8 a! h$ p  y) _
* l8 X$ `; b0 t" l3 M0 V没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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