由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理

青枫林霰

支持啊，大胆的想

schnee

必须顶啊！！！

唐伯虎

永远支持中国数学建模

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

wujwu

回复 wujwu 的帖子
  G3 T/ O7 G: i5 |6 N/ }  Z
没事了，这里可以用latex看呵呵

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
. A9 e9 i  ^' P                         尺规三等分任意角的逻辑原理
& z0 P; D* h' P( v                        苏小光
                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
; o9 a: r, X# v1 q- \( r     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
) W. V( A4 c% N) |4 L6 l) }5 U                  8x^3-6x-1=0
6 e# S& D5 b0 Y# W0 P没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
! k( ~/ n2 b8 Y( i) R( L9 B5 Y    二)  预备定理
# I: L1 z$ c% [) {. i    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
                 l=NR\pi /180 .
                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
2 \; E' d, {* q7 O0 y5 z   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
( M0 }( Y# ?. a0 F            
7 y% v3 U* n" ^* Z则用直尺和圆规可得
       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
0 A) |" c% R- r7 j/ |% c$ j    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
0 T* Q$ k( l/ k. B            
- L9 o7 t! D0 {9 z以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
7 C& Y9 w0 t# I& [' s3 g9 [在AO上取点E,使
+ h2 v) X/ o$ c' C# M0 u0 \ OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
! G1 X8 z# u# j1 @2 _( ?) w2 x根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
8 H" Z  [( V6 Z; T5 |        CD=EG=GH=HK,
1 K3 W; M' F5 D根据(4)式知K、F共点,所以
! u" e6 s; o/ y1 p" [: j        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
4 ?! Y3 w1 N7 x3 B& x' }5 v        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
& a; ^4 V$ \& A7 e/ y    本文的理论基础是
            \pi = l /2R
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.