尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
' ~! g7 H# p5 H' J' Q. y                             苏小光
                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
1 t5 }. c2 G% Z1 A; P4 c0 n7 l    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
! Q% _5 ~& A5 k( B            ∠BAG=1/3 ∠BAC
5 Q5 q) q' w0 R" q    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
; u6 \1 n: V# _; Z& a' |' T' ~           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
          r=NAB/360,
7 ~; \* m, A+ C( A0 g7 E8 e   在AB的延长线上取点D,使
$ a) d5 P, w8 c9 `& ]6 A         r=BD,
' t7 R! x% C' z( X# l- M( O. F  C7 |) m1 a   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
/ S5 }! e/ ?5 d4 I, x, M" l3 S证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
' z6 v1 W% `3 a( G根据公式1 有
) Z6 [- Q6 o1 D1 P           l_{1}=(60AB\pi )/180
4 h0 Y" \2 }' M( o. [    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
% w3 f9 D1 m5 [) L1 T, z          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
) V" q8 a# W- Q. L! x7 E2 L5 u) N4 ?/ G         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
. O. h- k" `7 y2 `$ i5 O    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
   (附图)

【徒步登月】

运用

运用代数方法，进而解决【尺规作图】问题

- j9 w. y1 {+ C1 w
其最大地效益就是【隔靴挠痒】————【不着边际】！！！！！！！
1 ~- S& _' o& p. z
其最佳地结果就是【胡闹胡扯】————【离题万里】！！！！！！！

数学1+1

规尺作图:圆周上点D的轨迹，作OP垂直BC且交BC于点O，BO=OC=OP,以OP为直径作圆，点D为圆上一动点，以BC为直径作半圆，显然，以OP为直径的圆周长等于以BC为直径的圆周长的一半，所以点D的轨迹能够尺规作图。读者可以参阅几何研究相关书籍，在<<初等几何研究>>上能够找到关于圆的轨迹作图研究。

schnee

必须顶啊！！！

数学1+1

$ G- u, y+ o, e7 w% O3 L# D. l  d11楼南国破晓:
       为了实现“圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,”体现圆规与直尺的本能,如下作图，便实现了这种旋转.   
       作⊙A，在⊙A上任取点B，点C，当∠BAC≤90°，作∠BAC的平分线AD交⊙A于点D，连接BD，DC。分别作∠BAD，∠DAC的平分线交⊙A于点E，点F，连接EF交AD于点H，以H为圆心，EH为半径作⊙H，交AD的延长线于点J，以点J为圆心，JD为半径作⊙J，⊙H与⊙J分别交于点K，点L，连接AK交⊙A于M，连接AL⊙A于点N，则
( h# `5 j( C0 y1 g/ G' [3 u      ∠BAM＝∠MAN＝∠NAC。
& s% H, w$ s- Y* R- D' y5 s   
     当∠BAC＞90°时，先三等分它的补角。

南国破晓

lz想法是好的，可惜“圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,”这个本事圆规可没有啊

数学1+1

答8楼yinbaoli
            关于怎样作出 BD=r   
        由一楼有
$ q! g  B  n/ {              r／AB=N／360
        显然有
2 @/ G( M( @' V' C              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
        易证
) a4 P  [) k6 R% F/ x4 {" r& j. E        △ACE∽△ABD，
       所以
3 b6 [0 H9 B$ o       EC／AC＝BD／AB，
     即
       BD＝(a／b)AB.
  ?; E$ ^5 Y7 v+ ~. W* i/ U: _     令
" P& G+ I" j2 g& H% G       BD=r
3 P& k" q) ^* K7 Y  t, Y     即为所取.
3 e- l  o0 E3 y5 f4 G# p/ ^

xxgzftj

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
% u# w( e* l) [; X( z尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
" a% K- t6 k9 N  X9 [: I我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解