尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
0 W; n/ x. k' z3 ]                             苏小光
+ `8 ^, r6 U- U' L0 _                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
# c8 U1 s0 o' ^3 e& J    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
& I; w# t( N. O0 \' e/ H           l_{1}=(NR\pi )/180 .
+ o6 s; I; m' r4 @4 z3 _' {    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
7 E# y- e" r+ G; w1 t5 O4 m3 J           l_{2}=2r\pi .
+ X8 \) D" j2 n5 N6 M    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
- w* a- [6 e& Q/ ]            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
* F7 q* g9 N, O根据公式1 有
& D, N9 _' o7 M, T. c3 R" x           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
  `+ \. P3 l  o          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
+ }7 C' V3 _6 G   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
+ s' L& V# Y$ f) X2 |8 }9 m0 m           ∠BAG=1/3 ∠BAC
5 e# K$ H: y+ a* S  l. p$ G证毕.
# F: L5 y: W) H) b4 Q( J! C# s    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
% x# ^2 Y% ^. P4 s2 [* {/ v解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
2 Y$ {; g3 u1 H3 P" |          2r\pi=(60AB\pi )/180
6 b! W" b& K# H4 }     所以圆半径
         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
* u+ L% M* d/ K4 y4 ]9 p   (附图)

【徒步登月】

运用

运用代数方法，进而解决【尺规作图】问题

6 |$ b6 m* l8 F, T  d3 k' P
6 D2 R7 m* K5 Z7 c8 f其最大地效益就是【隔靴挠痒】————【不着边际】！！！！！！！
( M" ~, a/ e0 V+ _
- x( J( M, o+ ^7 p# C/ h; ]% i8 a" p其最佳地结果就是【胡闹胡扯】————【离题万里】！！！！！！！
: g( m- }2 _" }: z1 h0 j2 v+ w

数学1+1

规尺作图:圆周上点D的轨迹，作OP垂直BC且交BC于点O，BO=OC=OP,以OP为直径作圆，点D为圆上一动点，以BC为直径作半圆，显然，以OP为直径的圆周长等于以BC为直径的圆周长的一半，所以点D的轨迹能够尺规作图。读者可以参阅几何研究相关书籍，在<<初等几何研究>>上能够找到关于圆的轨迹作图研究。

schnee

必须顶啊！！！

数学1+1

11楼南国破晓:
& y+ ]# _# B: N' d( S9 `       为了实现“圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,”体现圆规与直尺的本能,如下作图，便实现了这种旋转.   
5 G4 v- [: T  ?( E       作⊙A，在⊙A上任取点B，点C，当∠BAC≤90°，作∠BAC的平分线AD交⊙A于点D，连接BD，DC。分别作∠BAD，∠DAC的平分线交⊙A于点E，点F，连接EF交AD于点H，以H为圆心，EH为半径作⊙H，交AD的延长线于点J，以点J为圆心，JD为半径作⊙J，⊙H与⊙J分别交于点K，点L，连接AK交⊙A于M，连接AL⊙A于点N，则
      ∠BAM＝∠MAN＝∠NAC。
1 v0 p6 u/ v( z+ {5 \. a   
& n' }- q2 i( a* k' P$ C     当∠BAC＞90°时，先三等分它的补角。

南国破晓

lz想法是好的，可惜“圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,”这个本事圆规可没有啊

数学1+1

答8楼yinbaoli
8 q. g+ V( c& r! p7 S; p% h  {            关于怎样作出 BD=r   
        由一楼有
1 r( j3 ^% ~# D& Q  B: o              r／AB=N／360
        显然有
. q. W7 g6 f' w1 ^& o  u              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
' s$ G. a1 [/ z5 P# f: q0 N. T         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
9 D4 _9 h) n, m; s        易证
" c7 g/ c$ P$ X' N' S: {        △ACE∽△ABD，
) o* \$ Q, Z( N  }       所以
$ @; E% O& i" g       EC／AC＝BD／AB，
1 i7 {. R+ x" J  w" i     即
7 r$ D: X5 V" _, J: ~       BD＝(a／b)AB.
$ L  v( @5 i+ L9 r5 L9 N/ |% A     令
. o/ W) b0 j7 ]       BD=r
" W/ R" x3 o" q2 _2 d     即为所取.

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yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
# M: \7 F6 j8 P1 K! M3 o尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
( I2 d' p# {! J' ?' F; @: q另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
. T6 ?% d' O* s& R$ `$ G+ t我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解