尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
" a( P0 @' Z" K" d$ Z                             苏小光
+ e) Y" ?! A8 D                          2011年2月22日
" {* G4 M" q6 t/ ^4 E+ ?0 F; s% c     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
/ L, Z" x0 o) y. ^; M" V           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
, G7 v& D+ ?/ K' k    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
* @; l( {* G# E5 f- n           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
/ J3 @# l1 ?* }' {/ t          r=NAB/360,
% ~  {& \2 q( _1 E: X   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
2 Z" G* c2 q! p2 A; @, A+ I   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
! h3 E: c0 z2 Z+ Q, [9 y) m9 d证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
) U0 M9 Y% H: X2 g解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
3 P- z; N0 v# S/ u6 U9 @           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
          2r\pi=(60AB\pi )/180
2 f1 V6 b6 C$ r     所以圆半径
4 h$ ]( P# w5 d         r=AB/6,
) j7 Z7 K  B1 O7 A8 h    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
   (附图)

【徒步登月】

运用

运用代数方法，进而解决【尺规作图】问题

1 m' |0 A& D7 `+ m# X8 ^其最大地效益就是【隔靴挠痒】————【不着边际】！！！！！！！
$ P4 l9 X4 w8 u. H: S/ P# M
其最佳地结果就是【胡闹胡扯】————【离题万里】！！！！！！！
- D1 o: y2 z7 H( g

数学1+1

规尺作图:圆周上点D的轨迹，作OP垂直BC且交BC于点O，BO=OC=OP,以OP为直径作圆，点D为圆上一动点，以BC为直径作半圆，显然，以OP为直径的圆周长等于以BC为直径的圆周长的一半，所以点D的轨迹能够尺规作图。读者可以参阅几何研究相关书籍，在<<初等几何研究>>上能够找到关于圆的轨迹作图研究。

schnee

必须顶啊！！！

数学1+1

% ]6 \4 c: X1 l. L
11楼南国破晓:
$ }) V3 n1 |5 K       为了实现“圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,”体现圆规与直尺的本能,如下作图，便实现了这种旋转.   
/ R/ l& ^3 Q0 N7 C% E       作⊙A，在⊙A上任取点B，点C，当∠BAC≤90°，作∠BAC的平分线AD交⊙A于点D，连接BD，DC。分别作∠BAD，∠DAC的平分线交⊙A于点E，点F，连接EF交AD于点H，以H为圆心，EH为半径作⊙H，交AD的延长线于点J，以点J为圆心，JD为半径作⊙J，⊙H与⊙J分别交于点K，点L，连接AK交⊙A于M，连接AL⊙A于点N，则
/ v$ o( T. S- v; V8 p      ∠BAM＝∠MAN＝∠NAC。
   
     当∠BAC＞90°时，先三等分它的补角。

南国破晓

lz想法是好的，可惜“圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,”这个本事圆规可没有啊

数学1+1

答8楼yinbaoli
3 n0 T7 |+ K9 W1 T! R' v            关于怎样作出 BD=r   
0 D8 G" i2 Y, e8 \' V; V3 j" W        由一楼有
* U, M6 |5 Z) ^3 K              r／AB=N／360
        显然有
              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
% e, ?. w: ^6 ~3 n. L" ?; k         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
- X# U6 R4 A7 v7 m2 \5 ^        易证
- z3 j: B! u% S  a2 e2 e        △ACE∽△ABD，
( r4 i) i! d0 R2 k       所以
9 \7 H) |6 S1 J9 v# n8 M- a9 V       EC／AC＝BD／AB，
     即
       BD＝(a／b)AB.
     令
       BD=r
7 w9 |  b! O% X4 u: X9 P7 _8 H/ ^' u     即为所取.

xxgzftj

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
% z1 z7 y* d* o6 `& P另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
$ T+ T" }2 ^( a( n* V. ]5 a我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解