哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
* C9 h  o8 M" N1 B    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
! V. d% X1 D; E7 S- P已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
& n- S& _3 |) B它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
/ b; L" }2 f) m0 c已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
1 k1 E, }/ a! Z# \; S* E# f5 q以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
2 M8 d0 k8 ^/ ?8 ~' ]3 M+ q$ m即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
, X- \' K# \7 a3 {0 w, X, k由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
( D3 G1 u+ U% D! W- S7 y, ~/ w* h由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
- P% ?: R8 L* y$ s, i2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
/ J( B6 ?, a4 B( p# V2 f" d设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
% U% S& Z3 J$ m. r根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
4 }! R# i! ?5 `/ aPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
$ j8 Q" J( J. S4 v' \; e6 q其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
. _$ j& S( G7 \! T, R- ?5 V这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
: G1 [5 i' u: A2 ?) P例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
8 u* r! d, v7 w% R7 x- m2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
9 B' N+ K- ^6 O  r3 ]$ @/ N9 r3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
3 Q1 R" r5 \( P; e直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
+ H% c2 n0 H! V代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
0 m. Q, k# i- W# j# N. ^& M在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
8 S6 k# Z+ D' D9 |* N) A' k又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
; K( Q3 j! Z! s& g" U即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
1 j% l$ S0 u0 m* ]" B" `+ [（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
5 u( ~. y! @# Q# ]& b1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
& x8 q# @/ e, E/ z2 E若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
( ^  E& ^! M( R/ o3 ]8 r2 v2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
9 @: D. m$ t: t" E' N) |- {3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
" g! P, b/ d5 t! U! |5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
* Q& E  n- n5 N* L3 O3 _! zn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
1 o* d0 f3 E; B0 L* e& e  k. P- E2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
4 j" P7 u# f* a$ ]* oPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
* l8 N9 m/ G9 W: x8 I! t% w" K" ~又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
. @& S: I8 H! J4 B" U则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
7 `# Q" X3 y: J( TM=11111111111111111+3=11111111111111114
+ M, x. v4 A& g4 a根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
, e% X9 E) ^3 d6 z2 q2 ]已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
; M) L7 ^; R) [( c' j) o" T6 NPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
6 {- K! f7 Q3 S% A% R; E若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
" E7 _5 M1 E. ~9 h; Z若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
% U4 U* U6 Q* e7 N0 f" gPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
) D- T3 l6 F2 V7 t8 F代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
) A" I! h- E7 M9 D; Q) x4 N或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
2 @% N/ R0 B' `% H- w0 ~, C由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
. U& z. `5 Y3 e% G) u# g- f, l7 D5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
$ x0 }; z/ x& g# h" v代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
6 D8 A4 ]  v) \, a或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
4 L% P* a" U- W, h* ^即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
2 r  l& W! w3 ]6 B) e- h代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
/ R. v- K7 u7 Z' m设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
0 D. o* l" B; B' ^. H若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
& m* H; G# l( t! e4 W& R" i+ ?得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
4 U! y( [+ e) o5 V' i即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
2 |+ r# j* Y" v) e9 N. ?$ Bn为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
5 K# H* j  H. I# s2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
! v" Z8 H& ]. S  S, v2 l将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
% d+ @6 e4 y2 \) J, Z) h  p设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
" ^- R/ r3 a4 o3 E（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
% b6 k3 d+ \; R1 W3 R7 DPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
) g! `/ p$ V8 y* S# W2 t或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
+ F# v6 S' p: S8 K  E: P                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
% p7 F/ H% {; }得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
$ f, O( g% z* R- V  i$ M     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
- t  y5 ~/ C: T9 j" |  G8 a     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
- |# S  \* m" ^( b     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
8 M1 R$ _1 y" s% l* y    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
' V. m8 _8 C* i% n( O# c8 _    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
1 p$ P- p! k) i$ L" D1 r) }. |    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
& C- ]) F2 x( [. W    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
/ l0 G3 O+ n# n( ]+ ?/ D9 b      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
! D" S" \& k& V2 |/ v 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
) ]6 H6 ~8 |+ q1 p% ?6 p五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
9 P9 Y. s! E% B, Y" J                                             =0+3+2+3=3+5
$ j& Z7 s& {- s8 `* X- s                                             =0+3+4+3=3+7
) e2 B& V7 u6 o1 ]7 J3 S7 Y                                             =0+3+8+3=3+11
" h4 C6 p) V0 W; B. i. G                                             =0+3+10+3=3+13
+ Z) J8 R- x& Q, a. h1 @                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
% U' E' I* O7 A# c                                             =0+3+20+3=3+23
3 i, u: y4 O" E2 z& f: q第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
- r3 g2 w% S' Y9 N* ~Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
* o$ d7 W. M' I. `      =2+3+16+3=5+19
7 c8 f8 Y0 k; X8 ~) q0 M2 _3 |- ]      =2+3+20+3=5+23
5 }7 M) l: P, p第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
4 B0 u0 C6 X1 R+ ], f4 _1 C! t            =4+3+44+3=7+47
5 ?" C5 x4 W; ~) Y/ U* [            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
. ]* K2 A% V: z. m它们的偶数公由数分别为24，31对。
; v0 N" j4 m: k: m" ~/ t; ~5 u6 G2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
& V6 J2 e0 _$ e# B; b1 W                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
6 u! y5 l  x# [5 e* ^2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
3 y- O$ |" j  k3 J2 t! A) W2，质数表示式的证明
4 n2 Q4 C8 |9 \1 u9 P(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
; ?! F+ D! _; W8 n5 }得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
& C4 M- e) C1 W$ M( y      Pn’=2n-2n’+3
6 S1 G2 m9 x% q6 F又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
/ O; ?3 e$ x- o5 k0 O7 g  c# iPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
, V" q1 u& H! l( f" O2n=4n’+2n’’’ ……（3）
3 Q$ t/ Y2 I, d  y上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
( e8 y5 Q6 H5 P2 g/ n1 ?  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
3 E) R% _8 W! C4 [9 G/ Q  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
7 Q; C$ \+ h' o: T# h. ?/ z' K* Q  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
$ K3 {4 L5 q  C) `0 T  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
- a- V. g( ~# |' u) w- w7 B: }  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
9 e4 Q  r, S) j: H( K; K（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
7 [8 J" z3 M0 g: x& f- o2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
" _& D" A. R  C9 @$ A2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
( l  c3 P+ i7 t( ^设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
8 G5 f3 ~9 k9 P5 G: Q; X确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
" b- I. q  q' ?1 i5 I* ?已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
  q/ e/ P/ b4 E0 j又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
9 i1 T6 Y1 U$ v$ d# n7 G   
8 _, e6 L" d. W8 V5 H  u4 ?2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
8 P' ~% G7 \: r% |% e6 S得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
, B8 r  ?4 U6 J/ @, V$ CPn=2n’+3
2 B5 G) z4 @% ]( \, mPn’=2n’+3+2n’’’
7 P! L. W5 L! U* j 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
% g/ k) e' O7 ^8 I# {5 qPn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
5 Q- w7 G$ c; l' H$ Y2 m  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
4 x  t- s* X; N  ^, T: n则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
4 X  Q  p2 V  q4 V% d$ ~2 }2 p即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
- _0 p6 e! s" o1 v" J" ]. `  |   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
4 g( {4 e8 L. c) {# U     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
' q2 ?1 y! K& f      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
+ U5 r+ Q0 V  e( M. @7 Z      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
+ s& b) g4 a- A7 s2 [      16       16       0         8        8       11       11          22
) y) {  I) K! p3 h     18        16      2         8       10        11        13         20
/ z- c3 g: \; Z0 d/ f6 E( e/ D: d     20        20      0         10      10        13        13         26
( I$ `  J' x' D: o8 a  C     92        32      60        16      76        19        79         98
% ^( k! p) U; @     92        56      36        28      64        31        67         98
- a2 o' h9 R9 P) o* B6 @/ c     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
5 {6 v1 Q% x; Z. u% K4 r' D 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
, t( ~5 T! o7 P' ?6 |8 H2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
. n5 s7 ]6 k+ F0 x  K六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
, \) s. b' [6 ]. [(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
/ L  m% V( }( c* R2 t# o③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
$ t! l9 \2 I4 w( i- \0 b4 p ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
9 @. s6 m# t# x) _: A' N. e; h8 B% ? ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
8 l- P( D2 {+ D( n% r# w0 j( F公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
+ Q9 ]" t3 g; g4 t# h公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
7 b8 q# {4 v8 E% m如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
# T2 `& |1 O# Z* c, E, h这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
$ E2 _+ p$ h4 P$ J4 r又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
: ?' q# k, ]! {: n' Y6 R: n０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
9 Y- j* n1 Y0 _' L! {3 U: ]因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
; R) o1 q" E9 h, V" s1 B$ D 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
' i! T' D& v7 G% ]  k   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
3 q4 B* |8 e6 ~) u! \" i注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
" B2 [6 r7 e. ?' `( e$ }Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
" J' @2 N. r( O  H' i( W由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
! W( T9 ?5 l  ^则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
( I$ `( n8 |. f即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
pn        3        3        5        5        59        61

Pn’        3        5        5        7        67        67
8 B' R, {2 `% I+ o9 L$ z8 X2n’        0        2        0        2        8        6
7 z3 R4 n& g! H3 s: B* bn’         0        1        0        1        4        3
; n0 r9 k$ E) JM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
1 V* E1 K9 |4 e6 E( z. h* Y3 z由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
6 y* k2 I- W1 M' o3 _: Q& p) Hn’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
. J& a5 p* T5 {) T8 Q9 O例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
5 L% I9 i+ V( t# t" y                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
) X, f# q. K% G0 M' @' z: i% R# ]9 X5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
% ^& m# m5 \: V4 A/ \4 |61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
/ B* j4 y/ ~$ i) ?  q若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
8 L5 Z0 N" h5 N1 ?9 x2 EM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
3 `; c' w2 H% N4 X7 _ =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
3 K- Q0 {- d" F =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
4 ?$ D3 U* Y/ H- P再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
        2011-8-6
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