哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
: e; X" i, o5 {8 t" z+ e已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
5 A) ]7 f% D9 N( ?将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
. M3 @: x1 v! K8 {0 g  }已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
2 K6 U4 n6 m! F5 r. r- @则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
* t- ]) E7 _7 U( n; K) R由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
; I2 W) Y9 _+ Y  v（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
- D1 j8 I* ~* i1 J1 F  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
' A5 G, L5 A  c" N& a: r/ B2 K由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
. y8 o8 M# Y6 w( y3 G8 Q均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
  u! l$ m% \& C- E1 s# p设2n"=0、2、4、6、8……∞。
6 k* n* h* q: j9 ]! |6 h4 |! I即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
8 X* r& w1 l. S" J- `用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
  j5 d' M$ s: A                    
1 g. U/ K; v1 Q% h9 L* d) \, W% o其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
$ w; g) `4 I% H6 X; F2 R; U2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
$ K' s- o% D# p2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
* d) G3 C' S8 k( _+ Y3 V. V3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
+ T1 W0 P  Y) \  ~8 p直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
+ {( |% F# i7 n7 W1 P2 i代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
% @7 n" Y% z1 e3 h. \6 K或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
! _: t* c  _+ _, q3 I- n（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
2 U! C% W" _# @2 @: t( C' x二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
! }% s6 y' G5 z# Q若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
7 A6 H( @$ j4 R5 z
得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
& K0 h% V# z) {  ?同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
6 m# t% `6 G) h在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
5 N* B- A+ X7 u+ M（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
/ y  @3 l9 p& z1 ?0 m3 N即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
8 x9 @) h2 [% W4 {- @例  
4 T, c! X" N+ }; @) E6 en        0        1         2        3        4        5        6        60        61
# {, o7 E6 m$ H( j) i7 Y2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
/ g  h8 Q# ^6 n2 I' }/ V2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
6 y4 U+ o* V7 M# s, ?" `2 d1 BPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
# i+ A$ H1 S% G  @Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
, s& [2 |; l# i8 }1 y" x% Q; F) |1 qPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
! w& ]* D- Z  R7 m( c0 d5 r# u因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
: m, Z+ j0 d3 g( g) W% @. r则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
7 p0 F, B) `, w0 V! R& ~  d(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
5 S; O1 l7 s" B- y根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
: h6 t. l+ J' q% e0 T# b  L然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
/ @! r' }8 L3 R  A4 z5 @  o9 H8 |已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
! r$ M) y* L* t
       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
- |0 O  `/ E; b# s* b1 n% G三，也可以这样证明
6 C: _0 |+ K1 c; @1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
3 U' X: `2 k6 i: J  z& S* @' Y若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
% k) N5 O3 V8 ~Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
6 O$ t& m- R+ n( P. b代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
: V5 J  ]% m9 J4 W或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
( {& l/ A! _9 Z  }5 j3 [由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
3 b( l0 k& t/ p5 p! l" ~( `当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
& p" G+ F6 c; @: o0 m3 k. g5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
- \- _: b4 S) W- R9 m% z* u* L代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
+ n/ r' y2 b: r' j6 t* S- `, T或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
; {% e" C; x& u5 a1 I( b- X/ _即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
* D* h+ @9 Y% q, g9 c$ w" E在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
1 z; w8 R9 }% @4 Y0 o3 P  o代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
" ]6 N* b; d+ E. C# d1 B; A2 k7 u; `n为偶数2n=0,4,8,12……
8 ?9 a! `) k! W( D4 }, W# j2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
6 _* |2 j- `3 w& V! I2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
9 j' q9 B2 X# g% [将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
6 ?9 r$ d% }$ c) cPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
( s) s5 m2 u* ^0 g' z' H设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
( z, ], A: t/ Y! g四，奇质数定理三的证明
* D4 O6 R8 e$ d( V（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
  U& |* W! o$ F) z: e$ }# ?或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
9 A7 @1 p, B" R: G% a) Y. I* s/ A     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
3 A  c0 Q6 \$ l6 P6 D     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
9 n; v- Z% ~- x/ ~$ z7 h    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
- E! v% ^/ c$ Z+ x    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
/ x1 g& H3 X$ Q& s4 Q" ]      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
3 E/ K7 S* {' K（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
# u9 T2 ^7 s" r2 Z! p8 t2 E2 V即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
; q& R7 Z1 S8 p& r; R# Y由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
7 ?! ]1 A- k0 E" \% L第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
" w9 ^8 X3 [: [' @2 G; S                                             =0+3+8+3=3+11
" t. g4 V7 g" b+ G$ K8 G+ Z5 K" }                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
+ e: ?1 U, W4 E7 V# A                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
, R- z, N4 }3 v5 n第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
. O6 d% G% b+ t/ P% b即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
+ U9 O1 c  p0 Z* M      =2+3+10+3=5+13
/ ^5 v1 q; A& q- A      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
& w$ o2 n3 m: i( p* X第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
5 K% n( B# g# e& {            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
! i! J/ l2 S% e# B; c0 V0 l又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
' U2 [* P3 ~3 T2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
5 l3 Q+ d0 g+ d/ j4 [0 m* y4 Y2 N综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
$ A2 K" i% |* l8 n, w" i2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
' W: S7 a# r$ Y% @" s                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
! M, l# F/ _4 x4 P即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
# F: H( S! [( |- V$ x设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
. _( Q  e/ w8 C# ]% t5 h" B      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
" O/ J  I  A/ v7 b: ]2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
: a9 @. k) L( @* C, w; D2 Z$ _  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
3 w) \- D3 q, N  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
5 K! b# T, m* J# ~1 F  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
8 B8 ^' b/ N! G( `0 f* l1 X（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
# M) m$ K3 K/ Z2n=4n’+2n’’’ ……（3）
2 H& A0 j  C, Y/ n0 }; d- b①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
4 U: Y4 C9 u& o6 U2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
! }2 M0 W; `$ I②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
8 P3 j% X( G4 d6 W' \4 @确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
) g% @* B) E9 g' R③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
% g. g) I/ B9 I* j  f6 Y已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
7 {$ O( x+ }6 J1 B- r7 K! \   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
0 }! I5 q& g* G9 k: {! `; O# v得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
- o& z/ a  ?' K- E* K$ ^* gPn=2n’+3
7 A1 h, I( t# m( l: @' U, K+ ?Pn’=2n’+3+2n’’’
; y  Z1 r5 m# P5 M5 ~' p; J 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
4 F9 r" v7 e, V  {已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
( F2 i! b/ Z! u3 h0 B3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
# ]. }0 n6 D7 X8 Z   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
) K) H# N# G9 Y9 u, f! \- x      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
6 s; W3 B* G7 J# m- O. g+ z" j      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
; y- O+ o6 f5 ?9 @! s; o7 `     20        20      0         10      10        13        13         26
" d4 ]: ~# B8 o1 N* W     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
8 l: D* u" S3 |$ Y8 \     122       56      66        28      94        31        97         128        
+ f8 N. c( s( Z     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
: b  _' C* ^: S: @& m( Z1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
9 h! o; ~$ v% [# A(3)，它们的分布是不规则的
5 }, ]3 X7 X5 D: O2 o由上述三个特征得到三个定理（见注2）
# i, k+ i2 _8 i8 `/ E, Q即奇质数之间的共同规律
* f% p' m- k. k2，以上证明涉及到五个问题
. [+ s' R& u7 G' Y% R ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
: \. J4 N1 h% t8 z. Z( _' Z ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
; _& S. ^; a. R, [  ~/ s4 C③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
- J* g; t1 t$ w8 Y% e ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
$ c; @  k* i4 c' N2 _( C  ~! J因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
0 g2 K1 I- P  M/ p/ R) i6 A公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
3 F0 P, L$ J% m) v3 \* y这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
+ x% r6 @9 G7 h3 x4 N: s8 A０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
: V. k9 B) t; C& e4 u注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
8 t0 D- u: `! f8 g下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
, _" m: |$ i6 I8 K1 b8 M, T则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
, s. F8 K% g) Y7 ?' E5 T! l, a即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
( E) X2 x5 x) B2 _( J由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
! ~+ W1 u' x% S: Z6 D5 ^即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
1 E1 `( ^+ o7 @$ O5 \0 Y) [得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
pn        3        3        5        5        59        61

Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
/ Y( |3 l% K# |$ K3 qn’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
9 Q' I1 x+ A% V0 V! q2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
, c0 X# j4 n# y6 C2 e8 Q9 }Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
: L" Q5 A& D. ^8 [/ v+ dM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
, b2 _/ X; L$ _" I. D* W- hn’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
# X. J( I5 C6 p/ BPn’        3        5        5        7        67        67

5 c: l9 j/ ?' r$ g0 f! J: B注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
  i* Z& e3 q5 c2 E/ o! q% U例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
+ h" H" I* R6 P) j2 U# |, K                                          3+3=1+2+1+2=4+2
% F. @+ U4 K1 O                                          3+5=1+2+3+2=4+4
7 Q5 ?) f4 s' ~2 |                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
9 V5 m- t9 f- {/ i/ Z7 i61+67=59+2+65+2=4+124
. _: h" s/ v1 `& n0 R4 A) ?5 {4 i…………………………
( s  b* h' I: P& C5 y+ Y5 H在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
2 T# e/ {0 N' H" I$ a; V当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
. ]! i7 x) }& R/ }( S! B% h; Y1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
6 m% S8 {- i" p若n为奇数时  2n’=2n’’=n
; Z+ L( L6 v- v7 M4 Y, ?若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
! v" J$ {8 w( B0 D: `4 e1 _  t =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
( T! Q" u3 v2 G! Y9 M, T* o再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
3 \7 g  d' Y" c9 W7 O即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
        2011-8-6
  ]$ c" {- r* @/ o通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
# z! }+ b4 G- K3 H7 B0 a6 u% ]邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府


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