哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
4 }. Q& z* e4 P. |* a: ~& h它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
8 ^7 }0 c. F  A6 c6 U将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
$ S$ u5 A+ I& |( e" ?; G  ^0 U8 k已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
/ y+ \& t: I; ]+ w& B以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
8 a5 ^( n; b# R% z将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
; h) w  o* M" i# `5 \0 g即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
- {6 `8 b4 n) N  z- v  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
. w  Z# Q! Q. ~9 k, [$ G由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
0 A& c) u8 O; Q5 ?均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
8 @& f& N9 C( B8 n" \) ?2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
4 X" s# I9 k9 h9 w" ^, x) C根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
+ q0 y6 k, l# e/ P& E" }用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
+ _0 E, z4 {, ^1 X- Y+ SPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
, Y4 O/ z; z& R例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
9 ~  H* D, T' b( C$ u0 B9 h2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
+ A+ D7 g) w+ _; k7 P7 H) w3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
; w/ ?( h/ N5 _. t2 I直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
9 \4 B7 l# N: Z' N) B7 A即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
. k% _8 c# r- v9 G/ {; l8 j+ O在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
1 y0 q, r' M5 |% I2 v$ i从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
& q$ Y* Y+ A( b由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
( q( U3 }7 ^! C' w' Z" O5 Y2 R4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
  I9 Q8 g! O' p# d4 H2 M若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
; ?! M4 c, q+ G* @( M, @
得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
' L0 [6 L- g7 K; k1 u& O4 A( e同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
% y7 V  B  `/ l# p即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
8 H; G3 `' x) X6 D+ v设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
3 s3 t. ^6 e8 R; F5 }即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
8 |  X5 T# N+ Y# k& f3 |n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
! Q3 t6 r) l8 _' A2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
+ ]/ T0 ?- E, U2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
; }% r1 g$ K& y  m8 x, qPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
) j$ E6 X1 K+ ~9 U: y
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
$ Q, C/ N8 C- I9 T- L8 K: Q, Q又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
/ j! w7 W) C; s8 G. {& X8 Y则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
! C6 r2 o4 ^  L* L2 a8 J! l. l(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
6 E  @  K8 }- l! E, k2 iM=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
% a: c% p% [6 @! T: ]然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
5 ^8 z+ n& t+ A, F  m7 pPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

8 X% j; \/ g. f1 J) a7 s# ~$ Z5 ]       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
; n0 F$ U) d9 J8 f: J三，也可以这样证明
0 i7 ~: s; I  @( O1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
8 l1 Y$ e6 d& K. I设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
1 r% D) c6 E1 B: ~若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
: E. ]5 f7 V$ R7 I代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
( h; a8 L# J1 v( c; T6 F2 z( [' [当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
; _2 M. N% @, L8 K2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
8 R* e$ w6 Y/ E. L' b# A即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
9 M( |  j/ a) [! y* o  M在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
) m' h+ Q* [: ^; J. z3 {代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
) D: O! Y' k5 H0 Q, I设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
5 F' h+ N6 S3 O/ r6 I% W若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
- l$ ^; q7 z* p- y( J; @$ h同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
5 M3 |9 G" e: w- w* b% l7 h+ B8 |即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
$ v6 ?( i1 J* t! b- H7 \n为奇数  2n=2,6,10,14……
. q. c6 _$ j* Y) u" b6 ~/ S3 V2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
& Q' s; \( d, {9 `Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
" _' l. P5 c" j' I) E& P- _ 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
( w$ ~6 @3 s% T7 G6 t& x2 e& @四，奇质数定理三的证明
/ A7 q7 G' C- ^" N（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
: w9 p/ z5 ~2 ?5 B8 O/ X+ X& r又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
, s: T( d/ w: H0 Z9 QPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
+ E* c" s% y! h  L' w9 S# r由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
% Q9 T7 L4 h8 `5 o% {4 j) ~（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
* Y1 t; ^. a9 j3 ]9 N; u# P1 ]                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
( m* ~" T+ {' x2 F8 p     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
( g# P+ M$ n/ Q: Q     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
+ k  `+ |# P/ D# w3 r    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
3 l# o% |( H/ h% a（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
9 L" G: p. Z$ h, R' t( K: }' T2 r 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
$ Y! |" K. j6 ]2 l  E. G3 I" l4 _即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
# |+ N# X% Q6 X* x2 D. ^存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
: q4 F# S* K7 t' b1 U" {! W' Q五、质数表示式的证明
! ~" h9 ?/ h3 D$ q* _. H1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
2 P- q# d5 q/ o% m1 l; }在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
# c( y  Z' }* m! J6 j第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
8 Y' x- ^, ^  H9 S" w" q                                             =0+3+4+3=3+7
" N" F0 K% d# {+ i" t. h  i8 x                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
9 \/ Q- b; V# M0 Q  l                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
- |5 d( O' T& j& o第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
+ o% l# B8 b: q1 \即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
* x' n& D& Z- hPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
5 Q; c2 j4 u9 b8 i8 W$ A      =2+3+16+3=5+19
0 J2 {2 t, B! J. L5 M$ O      =2+3+20+3=5+23
) T3 F) N- p$ u' n第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
% X% e9 ?7 l9 L5 x# ]2 @/ h            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
9 V" X2 T( \) ~* h- O3 E0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
' [  T* @* f/ g7 S. L2 f0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
! J0 p& Q* B; L; R. u: H: q, I/ n它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
* t+ ^8 V! j' y' @                                           = 34+3+58+3=37+61
. C! H* B, w, I3 V% T( U% z2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
. H9 o) S7 ^" C                                   =58+3+64+3=61+67
/ R( C( Z* z' D- G1 u$ q5 ~5 M; a综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
% ~' m7 `8 n& I9 j(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
1 l% `0 y, h+ ]6 \8 L$ L得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
5 Y9 Q7 I2 |  F5 Y' o: j. c$ K      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
5 n5 B2 f  k- y1 r, ^* p+ d$ n1 }Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
  O+ w4 I( {. L2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
; r6 ]5 M. B; _* H3 P4 O2 B# H  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
4 _2 s* e+ s- @1 s6 l  l- i  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
# _5 k1 c; u) s' M+ C+ t& _: {  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
! d- X; P; m3 d（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
9 y' r. x- P7 s( m' ^" _2n=4n’+2n’’’ ……（3）
: w5 {% {  T% E9 w! Y①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
3 X( X6 q# B7 ~) v. Y, n确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
4 K- u/ d7 e% |9 }1 E8 F% s9 N即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
4 O: Q# z  K% n# @0 k6 ]7 l   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
5 ?, u) s) D* W( B得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
2 L9 w- D) c0 x: y2 n1 [* R; S 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
, `! m2 V: L! R! o即Pn=2n’+3成立
$ @% j5 \% }8 d% gPn’=2n’+3+2n’’’
# L. ?5 k' F" z% v" \  =Pn+2n’’’
4 X+ c  K) P' a& w8 a  =Pn+0，2，4，6……
- c; t3 E1 D4 @/ S6 i4 o; E已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
& y5 [3 K1 `: \  y已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
9 Y* B0 q1 v- ?7 w' z2 k* `  @/ r2 i     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
# P4 |# \, s) ?7 }( P. G      4        4        0         2        2       5        5           10
# i1 M! m& `- u      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
+ A$ C' q% ]: f4 ]' t# Y      16       16       0         8        8       11       11          22
% m' V5 J/ G& Y$ E6 E( a     18        16      2         8       10        11        13         20
* _; u! h5 b3 V! b1 T% g4 s8 b     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
9 S: p; j( X, ~  b* V7 A     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
$ r! E2 R" i$ }! }- n% e     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
/ J- k4 A$ |, y7 V; L     122       116      6        58      64        61        67         128
' L  e( i- p/ {6 r 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
( e# c' e# f+ \+ P' B4 K2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
; v& m1 U, [: R) N/ `5 |' D六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
2 K: Z3 j! v9 X& Y- [1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
9 ?) I  Z) ~& I6 H由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
* o1 P2 {/ J- k6 M" @- z% \2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
% t1 B+ ?0 d4 j9 ?/ ^ ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
8 W8 o9 G/ D6 b/ z③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
% ]: j2 i5 ?5 {" I' ?. D ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
9 t5 e9 \3 B5 M7 j8 _8 u鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
- g( M$ B0 U' v注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
9 c9 r3 S. N3 _6 _- ~因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
: {, X* N! C, n* j如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
3 F3 v: ^/ K+ [5 @０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
3 ?! U! ]; z+ a% u+ J- w5 p因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
! A  q8 _  \( B, e* N注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
$ I# y3 i4 @' q+ M已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
$ X5 j* p' q: @5 I/ X: z即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
4 K2 O% I" i; Y/ w4 ^由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
- m* {( G+ o, B0 L6 a, `pn        3        3        5        5        59        61
2 h$ O. c8 E4 C( T$ Q  d( y! L- u
Pn’        3        5        5        7        67        67
, {% H6 H3 U) }1 Q2n’        0        2        0        2        8        6
+ U7 P0 _3 E3 V  P1 S# u+ K8 yn’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
5 a* W/ G* \8 U5 X# H2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
- h& z6 }& n9 m. Y+ J$ s$ [即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
3 r. z% H  l& iPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
5 M: |. g: O  \+ k" k" H- o) xM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
7 A5 R% o# D4 D2 `( U  Z+ C2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
! A9 _6 g, v! X0 c5 I6 o( p4 c; |n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
% ~. y* ?4 r1 O" N1 q; k/ E7 ZPn’        3        5        5        7        67        67
# a% [) P( D3 Q' e' m
注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
3 s% S& s% R; u, m% q, z式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
7 m! d, y/ T1 {$ p  Z& ?2 K例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
( [7 N) a. [* @9 M* G' I. {                                          3+3=1+2+1+2=4+2
' }3 x' y# i1 Y2 N2 x0 L                                          3+5=1+2+3+2=4+4
$ _' a4 W) q0 W5 G/ ~                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
; Q7 g* B- S0 J. ^7+7=5+2+5+2=4+10
7 W6 `. x9 L4 U. d- N, o59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
5 Q5 G3 D* b% i5 f7 q5 L* Y…………………………
% V8 W2 m5 R7 k6 q& f/ ]在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
& R0 L# X* p! N. |1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
% S: c% ]) K0 {4 V' S若n为奇数时  2n’=2n’’=n
6 n9 t2 |' k4 _1 V, J5 i若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
. e0 v: |+ _. i" j$ L5 K4 @M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
) P5 i6 j/ N/ U( V3 A; x4 I2 C% u再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
& v: i) b" z0 [  b笔者   蔡正祥
        2011-8-6
" v, [8 }7 z% g- J) P, J0 ]通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
" S& t& x/ |. }/ j& p7 S' t$ ?$ z籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府

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