哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
3 o% F0 B: ^4 z/ Z7 @: B: Z# z# }    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
4 _9 C7 B9 I& ]% F0 D0 A' P将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
" d8 v) s; Q8 x5 l* f- @已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
6 I+ Z! o5 o) t; i9 l则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
2 j  n8 L$ y/ M& T即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
& G' V7 V, {) r同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
! J2 \+ ?2 u6 d  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
/ K$ B; w7 F# i# H$ A; T% f均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
7 f* h  n- V. W+ d- V2 |2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
: C* [9 ]. l6 e! t设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
: [7 X* {6 N$ [) [1 o7 I2 HPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
" Q& O+ B' F7 M! T% t; w1 X6 B; w其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
) s/ f% M, ]% Z" X+ s' K5 \这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
5 p- ?8 R# q8 t" @3 A9 v1 @+ y2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
5 m- i+ J- L) a' L  t2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
& |( P) B$ x9 |4 ~# V3 b3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
; T% u- C4 x* b2 r5 ^直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
- K$ |0 _& w! X- [( M2 l& J在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
9 j( l& a8 r* {' w又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
! m' a  m' w1 H6 Q% N$ K代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
5 }3 j3 p+ A6 E) X/ @- k即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
5 {) b& k, S( a% m. X4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
  C+ e3 L! |9 f$ J) u6 l（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
7 I& ~  k+ w! i* y二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
- k- Z& ^$ \2 V' L4 C9 A$ t% d' [1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

7 C* }% P% P. N: `3 Y9 @得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
& K+ y$ ]. V8 B& q( L& {) V$ O若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
' |& X, h9 O; B在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
1 `, h- s4 W5 c; W  W2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
6 Y3 P* b! Q2 Y! W$ G7 P" i即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
; e9 w( i( l: A) f# U; _4 o即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
1 P* U+ m9 X2 g/ h0 N) s例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
/ Q( n- r! H7 Y# v% W- hPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
7 Q. ~. _: o  v" a" ~Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
7 X" _2 E& j1 H$ zPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
  y) o8 L/ M& @+ d( e& O8 D/ f$ g
6 H* @1 C( u3 z9 |由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
5 e. {2 R  \3 T4 B) X则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
& a+ E* ]; _9 s, s5 U& L* I( y(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
' Z3 {$ ~6 h; }% m根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
( C6 g3 }. Z; n4 w8 O& t已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
7 I% S7 n) z2 X  bPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
) Y  c& N6 C" E三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
3 B. m  u  q) x若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
- v$ b% B& s$ S* D4 _% ~1 `若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
( n/ u9 T" s9 p# w( C2 \1 d, c代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
" g6 f1 N, c6 K  w或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
% v* w+ \2 h* e0 `# tPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
- R% ^# U: g; U; O或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
' V; P3 N1 k0 `; `6 n" l# ~9 D由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
! {$ ?* h/ x) B9 o# H, F2 ^当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
$ S1 |  G: C  _5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
6 E" U/ ]9 |5 A$ j8 j- |) O或Pn*+Pn*+1=6+2n
. u: r2 ~2 ?5 w2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
8 ]& z7 W( [2 E( `0 p即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
) h; ]$ M( K0 a6 m8 f9 t' o代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
, k  ?" x! m( F4 S  U设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
- a6 w. c* @  _& b0 Y若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
- U6 Q$ U+ ]0 ~$ H即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
, Q$ [' S' g# `( {: l0 K* vn为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
" E1 @8 n7 h3 O9 k9 {- y 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
( d/ _; D  O- c' O四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
( V6 E) u! q- a- V2 w& r) B或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
0 P6 ]: A2 o7 K- D9 F+ m                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
8 B: D  T5 z5 R% |4 o* z3 k. r+ K得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
1 W% S! F) w, {5 g6 a     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
% Y3 \7 [% Y+ U. s2 F/ [1 n7 Y% x    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
& S# l' d0 Y$ `1 V      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
5 ]% h0 r- B+ Z) C: u0 O% \2 H（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
& b' n" g2 e, Y# e  j" X2 Q3 ^即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
( z: l' L4 O: ]9 c) J$ U; ?存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
: f# K9 S1 H0 x- h. {6 x由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
9 B0 J$ |' }; i' B% M& C/ J- n5 |五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
1 n' p8 w, ]8 j  {" W% j0 @4 w4 [7 D( B第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
) a0 b+ @! ]/ p, E1 m                                             =0+3+2+3=3+5
0 f% k. N; R# ]) H# b; Z+ }                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
2 ~4 a5 ^  P) U$ R                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
4 K9 [; z' Z+ n+ `- R& w' X; U. z+ i即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
/ x* c- U. D) T; w) MPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
' y, H# ~, L, U1 ~8 |& M$ C* `      =2+3+16+3=5+19
1 [6 r1 C0 {& U5 a1 u6 a6 s      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
; ^& G! |9 ~* p+ n/ f            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
' z9 r6 s" M* l9 Z! Z. i7 Z+ x它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
! `1 O" K9 I# i) v, Z                                           = 34+3+58+3=37+61
4 D6 T, G7 r  ]. h2 v0 N2 h! X7 h; J2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
' O- g8 ?9 }; y7 ^/ n                                   =28+3+94+3=31+97
( Y1 z9 f( V' [                                   =58+3+64+3=61+67
4 r6 }8 ?8 b; i/ z4 J* \综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
) Q2 |# M! K, K7 P& {/ o2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
7 L4 z; w1 a: \' B5 a                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
( S5 _7 v" I3 q. b/ v                                                   =n+3
+ U% W5 E5 c: T                                                   =3,4,5……
$ J0 F5 y8 R( C% u  ^/ _, g9 T即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
& D7 j) S6 Z" f得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
1 [5 S2 x2 P% P! @又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
% E1 s& ^0 I0 I" \2 G: \Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
( {# M2 L5 i" Z- D5 @3 _2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
. z8 X1 Y6 [2 G8 y  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  K" K1 }; x# N8 R+ t9 y- H  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
- {" p3 p( H* P# M! k8 p; L9 ]（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
9 }8 b( c% w1 A: d% n2 q% h3 uPn’=2n-2n’+3……（2）
. A, ?" P; L' ~0 e8 P, z2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
/ @: i" [& G0 I( e+ m! W* I2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
2 U2 Z/ ~& j1 r, ^3 n确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
+ F' r9 t4 |! X3 ~% l6 Q又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
2 }' G, F4 ^9 L   
) s, y& s9 `+ n. o. i5 x2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
2 e' A& Y8 D, Z* P  ^# u得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
: i1 Y$ t9 q' q3 s+ L* zPn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
8 I+ E" M; x9 H, ?- D0 d  ?即Pn=2n’+3成立
& |2 }9 ?$ \/ ~Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
' u8 S6 O3 L, y& g" H5 T9 Q已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
! X  h" P- {1 ^' U& b. v即Pn’=2n’’+3 也成立
) x4 R* f3 ^% T0 j, V3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
  A- _4 {/ t+ y: O2 Q设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
( U( k1 C: e0 \( L. {     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
% a' Y2 F3 o- u% u/ \; F7 C      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
: K/ j$ [2 R5 G( g      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
3 J4 C! d# O. n& _  X6 A. Z      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
1 I5 E5 ~/ S# v6 O$ ?& h     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
; W; B5 Y6 P0 b8 l     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
; j8 J) `) T2 L) r7 u/ m- w" b     122       32      90        16      106       19        109        128
7 V% M. L0 l( W6 q9 g8 B: F- D1 T     122       56      66        28      94        31        97         128        
& \, J( m+ e- x3 _& Y) k3 f: n; G     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
( D+ [, W8 C2 m- X2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
! u* M0 w' h" g( s' K六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
0 v3 }2 G& @) Q' ^: l8 _$ T: k5 u(3)，它们的分布是不规则的
, A- B" p/ F/ q, T& l7 V由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
% ?! O2 I' i3 D2，以上证明涉及到五个问题
5 C9 v8 g' k5 f' P. I! M ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
, [5 M1 o5 T- R, C3 ` ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
5 M" P6 c+ v4 a  E1 u" S鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
/ z+ R+ @# b7 X' ]' r注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
+ ~# E1 o* D; Z- E$ ]! \! x公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
0 `2 \* V6 D, g  N公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
$ D$ {8 e9 v/ m/ e9 c4 g   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
8 n. D$ N$ i6 _; J3 [# v2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
8 R" h% t! N. y# I  K下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
. x* `: ~' F% `3 W, w则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
' ?# K; B& `1 N. q: Z由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
8 q3 a! k) P( J$ b+ z" i则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
& {4 d3 `6 G: K& I即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
) u* T/ B& L9 t# ^' e: s例
pn        3        3        5        5        59        61

Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
. }4 f5 ?9 D- U" {% X0 }0 |n’         0        1        0        1        4        3
; M3 a9 q; p' j1 Z) v: ^  CM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
( q* T  c0 C* u  c) T由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
) v+ j: S& P0 K- H& g. }即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
5 B  z: n$ h$ u: B0 UPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
1 e3 `% F. ~$ I# H: h* W9 ~, ^M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
& b. P% G9 M; o; _1 gPn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
+ A$ I! D4 I; K/ D, O4 k式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
5 W: o" f. o/ Y例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
) K3 s* V8 I* i1 I5 \                                          3+5=1+2+3+2=4+4
5 F1 U. I3 Z' x3 x0 Z/ o                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5 O) P+ ~. F) ~5+7=3+2+5+2=4+8
; O; G; s! g6 T  h- W% z% Y7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
  O9 g6 b: m8 z61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
5 s. L+ p! q! `# y5 S在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
* O& w+ D1 k3 ~6 L若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
* U4 Z1 O$ v+ V1 x0 _/ V6 kM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
4 b6 g- U0 g3 L- W0 i =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
5 u* J4 v! b" N, J2 Z! a再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
! u( ~% Z4 @/ W( o笔者   蔡正祥
1 Z7 p2 K* V5 N5 o        2011-8-6
+ K; a* O& @' L" ^2 p& I通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
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学会适应

真的很不错的！
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wangxun2010

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