哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
6 b; w- q3 y+ X3 _+ x+ Y) N    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
* k. B+ D+ f% _已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
7 g# C( Q  C* u# r! u它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
" h( B8 L8 M1 T4 |5 j将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
$ g) I& h- W* R8 j已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
: x" O1 K9 [2 R2 K2 M/ {以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
" C: `) b' l+ P! h& m+ {/ U% z  l则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
. @9 s6 ?. j  s将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
8 P9 |# Y. a$ O0 `3 |+ D% M% V即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
" d/ B4 W% Y3 ]8 Z+ s# F4 l. D同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
, |# Z* S' J/ e: p2 u! u 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
' L+ k1 j3 w1 Z' m3 @. ~6 H- S  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
1 }: e% G& j* n4 S( D4 j2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
5 l1 h' u6 K, d' N. \/ A, a) n& a, b设2n"=0、2、4、6、8……∞。
/ ^( b/ F7 \! q即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
4 o0 ]5 p- v" ^& E( M根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
! k6 i8 c' w( Z- R% s& G+ p4 i; I$ lPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
5 z3 D( D% }; K即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
1 [7 {; m: C1 Z, W' m例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
9 C/ q% _( ?4 H, G* {: ?7 H; v$ [2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
; V' r6 v  U' A2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
* k7 i$ C3 e. ^# b$ m) ]+ B# x直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
. v- ]1 {1 {  ~. G  Z0 J; S+ C即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
! p! \2 B, B9 L0 O0 A$ r' b7 ^又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
2 c- j/ A" E5 q/ i代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
  T2 s6 g% u0 N: z- L# w即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
1 z; @+ A8 `+ D从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
/ H8 Q- }* K6 k2 B9 ?  N* A1 C  U4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
, o7 s4 q: |- F0 O, n, ]" Z- }4 J（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
; d6 M5 M. X3 Z  ]- @二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

0 ~* t; n/ H- B) I得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
- p# f! I: C! Q% f/ U3 h1 R同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
: S8 {: v4 M: a; H（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
+ b  l. J8 O0 d, T- x. Z) P% o2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
$ W8 U3 Y* x; W. D3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
" i$ |6 T. C/ @9 g( T. e1 H7 n% s" H设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
7 c2 s, U8 {. B+ h6 V, E; ]例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
+ t6 \2 k- U/ \  |  O# V2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
* x: t" r3 h% u0 t! I2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
, R3 W/ J! P$ [9 L4 I; D2 ^Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
* |1 C8 @  n5 g9 QPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
: I; O& z$ d2 s0 V: F; GPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

- q# ^6 q- B0 Y. x8 \" Q由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
9 t# v$ r4 H% i% D1 w3 ~则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
( s, N# ?/ |, q$ ~+ y1 u5 v根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
; P8 C( V! h: f3 ^然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
/ K# ~" D; U3 f) G# Q- i已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
# d4 F4 v7 h2 f2 g9 I5 L
. R2 a  M2 _# q$ s0 a! `       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
* }8 N7 {. G# R. c% v; e* H7 i1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
! O3 B0 X' {/ `( K! B9 n" W设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
( S2 ~4 Y- j$ d; c% [% }9 s6 \  F（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
0 @0 D8 M# L, K* O+ d1 N- ]代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
% j/ [( [/ y. h* x  L或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
/ K/ _7 E7 m3 h9 m6 A由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
! i$ ^! z) Z, u" L# o; D$ F  p当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5 Q+ o% B' b7 r) y" q5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
, N- F) e; [8 ^* t, T6 Z+ T代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
9 z& U2 m, n; h! k或Pn*+Pn*+1=6+2n
' u9 s. D/ ^6 E2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
; l3 n; |2 T8 v- U7 v- [- V若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
4 Y% \3 g) Y( g得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
: j& y. P( _' [! {& q( }1 I若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
& o" @1 h& n2 j- D同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
, I4 V5 y% a/ y; C% r/ {0 t6 o  y) j即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
# K) n7 @; p/ ~& D# W; d6 bn为偶数2n=0,4,8,12……
' Y9 ]5 I* O, p. e0 ?  y2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
( T1 u' |( K4 b! D2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
' A# G! _. W7 g2 c  l. Z% F将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
) R9 j: D  c8 U8 M2 s, a% n5 b1 S设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
. T1 R& A9 G! W+ s4 i$ c: |9 J（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
% e* ?1 ^" M8 k  b又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
$ X' v" L' r6 d4 V% F1 f& Q; OPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
+ w. w! @" S8 C1 V- b$ v5 l由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
( i( J4 _0 m8 }（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
: @$ e7 |0 z7 g, D                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
# P6 ~% A, o# d8 S     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
, T- x3 R% b: n+ }; v7 Z3 h% q$ z     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
) R) F( T' a  w1 z- l& X    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
. w# M" n3 {  y( a: B    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
) E, p  [4 ^1 O1 y: _    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
# d' k% b% J1 j& t6 w; l' P    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
. m9 f! l: V: o$ y8 I    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
! Y% X7 P* A  V9 {- U      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
# [  s9 M( m; M" E- K) U0 D（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
: [$ |& @) Y+ h& {" e3 B: w5 N: {即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
' [; ?7 J: C1 X# H: w7 i! M由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
5 w& @0 B% p, G  G" H五、质数表示式的证明
' W* m- z' x2 S; i6 Y5 p1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
- U5 r) o; a$ _) u6 V第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
4 p3 O, @4 K& z8 [% l2 x3 B& Q                                             =0+3+4+3=3+7
1 j6 j; {6 m% Y: M- |                                             =0+3+8+3=3+11
$ }$ b7 V8 `: @5 ?+ v- g6 F                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
! F6 K  e( v' {8 T                                             =0+3+16+3=3+19
1 I. T# }& x4 T8 m" c) F                                             =0+3+20+3=3+23
/ K& ^, Q6 P7 x2 `4 X' D3 r1 {' _第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
+ w6 z6 I- {; P' h* F      =2+3+10+3=5+13
2 `/ Q  ~  n0 x5 l' r# _( p      =2+3+16+3=5+19
6 G9 E, Z4 g; a+ n  l- C/ K      =2+3+20+3=5+23
$ I, l& R) R, ]) u& l4 H3 y第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
  s; _+ h$ ^2 H1 S0 ]            =4+3+44+3=7+47
6 K5 Z2 Z9 m4 x5 [( v6 C; v2 o            =4+3+50+3=7+53
5 w6 b7 f7 h" r7 n6 p8 K( x3 A又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
  b+ R+ V5 e+ g/ y' u, K                                   =58+3+64+3=61+67
# N- ^8 W2 e% o) a4 Q综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
- e, \* [* j  Z4 d                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
$ z8 u+ P0 n* P+ L得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
- d3 C: u% X0 O, ^Pn=2n’+3   ……（1）
5 K$ H+ n. X- p5 N$ JPn’=2n-2n’+3……（2）
. y# q2 y5 X# J, ?" `7 t2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
5 F- Z& a6 g; n+ p2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
2 L! h' z: ~# o* X4 P  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
% P, P9 c; m" W8 Y  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
' D5 N' c; L2 D& b  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
+ ]) @0 r; @1 h& D+ Y% O) {8 H* ZPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
) J+ k2 R9 g0 }* d, ^8 y+ }②解方程的步骤
( C9 M/ M1 G8 O- @) n. f0 i设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
/ I) T: A3 o% J/ r* R( m7 F7 h确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
" {1 K7 j; R. W3 I③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
! r& E& C' D( L& J$ O. b2 t已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
0 c3 s8 P; n/ D   
: ?+ n3 e; ?4 _$ x- T2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
% D$ O/ i8 f' X1 P6 ]4 ?Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
7 D8 S: Z' [) ?" A  =Pn+2n’’’
, `% Y$ E# H& P1 r6 v; w  =Pn+0，2，4，6……
& B$ `/ p6 s) k4 z. x! V# S已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
2 c4 @( J; [/ G$ h  B- T' ]2 n- q则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
& \4 C+ W4 w& F0 P) N: S3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
- r: U& _0 h: Q$ u: u7 t* m      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
2 e; q+ c* e3 m. a- X# l      16       16       0         8        8       11       11          22
0 i: _, H* Z  D     18        16      2         8       10        11        13         20
' C; f0 ~; H8 d, Q# @. ?     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
7 l# K' A& }2 C6 w- C% a     122       56      66        28      94        31        97         128        
! O7 k  r' k. _0 e' ?. ?! j0 e     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
) U, k! p: V5 p% Z+ m: B* Y1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
! T# ?1 s2 m& v4 f+ u6 C' e(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
3 j7 x$ i; l- q+ Q(3)，它们的分布是不规则的
9 {, V+ e: B; ~由上述三个特征得到三个定理（见注2）
$ k, r: l& H( O9 u8 ~即奇质数之间的共同规律
) D. g, Q+ i8 V/ U, u2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
$ r+ Q( F! h' w8 N( s% q  J ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
! `/ ^" R& y$ ~* l2 |3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
+ b( t1 W2 j/ R; t- d3 h' R注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
2 {: e, r, M- @- q6 r因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
$ u$ S' V6 c# U4 S公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
; x0 N$ n5 h! g7 L: _( ~, N如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
* d& Y% |! O; [' e( d$ J! f: e又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
7 z$ s1 x: w- z1 J因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
" F4 c( P# k' r* F/ m8 T 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
/ w$ `! d" u7 Z. p* z2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
$ t2 C$ M" Q9 I3 {6 @$ e5 Q注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
3 p( N3 b$ `; T( G+ q0 g下面来证明定理一：
7 i0 X3 @# i, R) G) S' P已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
5 o0 x  Q( G4 F7 F6 X则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
. l% v0 w$ l% e! [Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
) _9 |' s3 {' x4 {即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
# ?) l) L# H: b- r由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
. e  _& x+ R' r& E由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
: l% O& ?& H' Y% k" r6 A- A# ^例
pn        3        3        5        5        59        61
6 D+ a; ?5 D7 h2 o' W) q
Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
( J+ r- c! {  U# g( n/ [- X由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
% x! E( Y( ?$ f2 |+ wPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
2 x- m8 m+ h! I) Z6 g5 |$ dPn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67
$ y2 `6 o: q; x# r$ A
+ j  R1 m1 z& u# `2 _+ Q注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
; T9 p6 g0 v$ G9 N3 N( r若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
1 y/ I  X& E0 C: D# c4 k例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
* {* x# V* K- Y) i: n5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
# N2 G1 f% R9 s; `2 g59+67=57+2+65+2=4+122
' P4 ]/ }0 I. n6 n1 n! u61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
3 I! M! k) z( D' K当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
( a/ ?' R0 }8 ~6 m$ A1 P, y4 ~1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
2 y" v  e! m3 k( W' E若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
; W* W/ A$ L* ]9 H) u =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
- y$ l5 z, D( A3 {% G, U =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
6 P6 m, M# C, f9 X) H再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
8 e$ S! M8 V% w: n) S" s, k" {即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
, T# `2 ~8 x3 o8 U2 M. ~笔者   蔡正祥
, e# g0 J3 E9 M$ ]9 y        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
5 U7 w: g5 C# G) b: P3 ~3 l# L* z6 H# q邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
# H* W3 a# `; {9 P籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
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学会适应

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wangxun2010

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蓝色琉璃

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