高考生源预测

775128646

预测2013年山东省高考生源状况
1 E3 h3 A0 s5 C4 i1 N9 D% ~0 o摘要
        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
) r$ a; ]4 r" B* i2 Q& p, q        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
% t- j- c+ @9 k4 z  m       
       
% U) u% s( l2 Q% F! p8 f       
5 J3 Y2 g- j% P- r, E% G5 @$ J# N       
5 L, @5 P  V; l7 I) Z5 r+ Q! @       
2 [7 V: s9 A6 q0 b2 `5 O       

       
       
4 x3 Q" A; y- U0 C, c, I        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
5 j  n8 k3 k# [2 a$ i! I       
       
       

问题重述
    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
# h+ _, G7 g7 S问题分析
/ Y' T  m8 k0 {, g/ k, r  e        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
" l3 ~( X1 s7 G$ U( h        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
, w4 O8 U5 ?) u- Z, k! E& N; J+ X模型的假设
表二所给数据为普通高中的数据。
% q; n! a3 ~+ ~4 ^高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
定义及符号说明
：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
6 o# K( c+ I' l4 `" @( Q& N- z：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
：某一年高校招生人数；
：某一年中学招生人数；
：某一年的中学毕业人数。
模型的建立及求解
+ r( ?9 \8 _, J! u5.1 模型Ⅰ的建立及求解
    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
5.1.1 模型Ⅰ的建立
" K) B/ b7 j* e  X8 ]        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
$ g4 u# s# Y+ n% l, \. b        （图1）
6 u+ |7 O2 |1 U         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
& r" h4 Y5 r( Y, `5 R1 V+ C        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
        （图2）
( W( C; X& q* s" H        对该数据进行二次多项式拟合：
        （图3）
5.1.2 模型Ⅰ的求解
2 V% O! t3 n) q' w        拟合所得函数为：
        ；
" v' l0 M. B2 t( J+ y6 n# \( l( }9 n. e        带入，得到：。
5.2 模型Ⅱ的建立及求解
' s; \! T) w& L& J* Q2 \0 ?    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
5.2.1 模型Ⅱ的建立
! a: k" b+ G! M9 r- J+ P提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
6 S/ u2 {, f8 R3 p0 h/ g某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
( a' C) c/ O/ k2 s（图5）
模型Ⅱ的求解
4 c5 L/ h4 e4 E对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
) N# E2 l5 k! q& d9 ]* W2 [对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
$ i; p0 v- w5 v% Y, V7 F将带入上式，得到：。
* J9 ?3 U1 B# }1 M% H& `1 i5.3 模型Ⅲ的建立及求解
' y/ |7 {% g$ j( I$ ]" T" {  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
5.3.1 模型Ⅲ的建立
  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
- C  Q4 @, r- A/ K（图6）
5 K% R. ^9 t* L3 K某年份的中学招生人数如下图所示：
8 U! x4 D  u$ j' z% s9 W& w（图4）
   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
  o8 m7 c! l# ]7 ~+ [' K1 g" R   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5.3.2 模型Ⅲ的求解
7 q6 ?, J6 \# D1 Z: o' [对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
& u/ v7 G  z0 v) d对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
8 b  _/ N# ?5 ~5 B        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
& W) X0 I8 d# l& D利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
( j+ ?" q1 r1 w" K7 u" G        将，带入得。
模型的评价与比较
        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
3 J* n! I2 C; E        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
0 O0 Z) r4 v( t* h4 q        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
% s8 P! |. H; r3 f4 h2 T        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
4 H) d( F. C1 _" c4 m参考文献
" d+ \2 }& C/ M. c& z姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
  k# \4 L, L) V  f6 c# ~附录
4 i. @- e& g# @: X+ \7 ?7 B7 D8.1 模型Ⅰ程序
x=1994:2009;
! c" ?( |* _' a8 ]3 \  Gy=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
A=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
A*[2013^2 2013 1]'
9 S6 L( Y3 F# v8 K# `8 bans =103.0261
7 f4 \" `  q8 ^; e2 E& i) U
8.2 模型Ⅱ程序
t1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
7 Q/ o( d) k9 r' v& m  Dplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)
0 A, N* G5 \! X" J" K
% x1 F1 [* }3 Hx1=[85.31 2.4862 125.17;
96.87 3.2745 119.41;
+ y' T0 w4 x) V1 O$ i' w* r105.22 3.0211 112.21;
116.95 3.2972 115.88;
9 V  e; s7 G% {1 y; _120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
' a! Y6 [+ G! |# R4 V( c$ f6 o115.14 3.5023 125.52;
115.3 3.6067 125.17;
115.58 5.7878 123.3;
+ G" C! V; ^  j9 c3 l: n- K9 Q115.88  5.7918  125.6;
116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
+ J6 ]/ R: v" N! n0 X$ ~) a6 c122.97 5.6544 139.14;
$ {+ y  W) E5 m4 @  t141.95 5.6950 154.67;
159.91 6.2994 167.06;
164.88 8.2410 169.69;
' x0 z+ m9 d, n. ]( x3 [167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
205.62 21.8719 222.2;
2 [6 z2 T1 [6 a1 ^" A+ q8 i  b+ N" E222.82 27.3894 234.18;
* O9 s- v6 M: p4 Z213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
196.7 44.5034 192.94;
191.02 45.3479 192.32;
  N1 {0 D- u  n# z8 h172.88 51.4176 179.71;
& B: v2 ~0 v0 D+ U* r& A" z158.65 50.1082 164.6;
];
% ]: W" c' g/ j, o0 i, cx=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)
& ?1 x; p; Y, o5 L/ z6 c
8.3 模型Ⅲ程序
* H! p  i5 w6 |% {' i& u4 S5 C5 Et1=1999:2009;
x1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,1)
  K% A( K1 [1 L+ u3 [2 }8 T. t' u
* x- M2 C/ I9 H/ W' Jt1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
1 q( I  F1 s3 [) ~; mplot(t1,x1,'*')
. R- R! e& w# _( ea=polyfit(t1,x1,2)

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