高考生源预测

775128646

预测2013年山东省高考生源状况
/ ~5 e; x* D) L, E  t摘要
        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
$ B' L; r5 k8 [        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
/ T% ]# l2 v8 T6 u! h3 t        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
       
       
       
+ F4 r) n$ o' _& r& ]       
       
       
* F* Z  k( L  S( `2 m4 o* r
       
       
        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
       
# D/ g- }/ M$ V+ k" u       
       

; G* E' G( m7 V9 @( E/ A问题重述
. d0 X% k( g" r9 J6 H7 T    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
问题分析
- B, T" l1 T/ M6 Q3 {: c  V' c        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
" l- y( U- F1 m模型的假设
7 l9 x2 ]0 m! n, g& @8 R表二所给数据为普通高中的数据。
5 f( I% w0 O% E, H高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
定义及符号说明
) |  T% i, Q; c/ T8 \：模型Ⅰ的时间变量；
. K5 v3 l0 t0 ?. G# j：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
8 I( C3 d5 V. B% @：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
* p# C7 q+ _& _：某一年高校招生人数；
+ Z/ K6 S, e6 P9 U' k. K( d：某一年中学招生人数；
- s7 Z- p! a- [; [/ m：某一年的中学毕业人数。
模型的建立及求解
5.1 模型Ⅰ的建立及求解
& q! B) C* W  R  ^/ z: b& R* [+ [    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
5.1.1 模型Ⅰ的建立
( t' V* W1 K. w3 e        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
        （图1）
0 _/ t: T2 w* c$ H# Z' a3 ~) w         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
1 _! ^$ ]# b* ]        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
        （图2）
9 |- J# @& A1 x& F' u        对该数据进行二次多项式拟合：
        （图3）
5.1.2 模型Ⅰ的求解
        拟合所得函数为：
; Y3 e' {- M1 b9 _& A6 b        ；
) m& g8 o/ V& N( a# a' z        带入，得到：。
- i* d4 r) ?! w# Z& ^# h5.2 模型Ⅱ的建立及求解
    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
5.2.1 模型Ⅱ的建立
# b5 @- _  z* T+ a# F提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
6 G! G0 [. l# l某年份的中学招生人数如下图所示：
2 I* ]0 E5 {$ R（图4）
建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
5 Z1 C& M' o$ K$ o（图5）
模型Ⅱ的求解
$ x  a5 S: c1 H! E对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
$ x% o% w" E& T8 O. E" ~6 N对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
- g( n* W9 |- Z2 V, N. j将带入上式，得到：。
5.3 模型Ⅲ的建立及求解
  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
5.3.1 模型Ⅲ的建立
  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
6 C8 `; S8 q7 F- z8 W( x8 c8 Q7 q（图6）
" E/ M/ J& l( n. b& V某年份的中学招生人数如下图所示：
; n  a% ]* `# N. a/ t（图4）
   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
$ Q4 c  b& S$ u. W% D, R   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
! U( r" Q0 d. b4 j6 `; `% q4 G5.3.2 模型Ⅲ的求解
1 E% X  |; k- I3 `对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
% X2 V/ B- Z& a+ i对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
0 K7 a, |- C* E  a: `( h        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
0 o  V5 x, O6 X+ X& S利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
/ R# D: n- k4 c% _' r        将，带入得。
, T, {5 \+ b/ }8 W' q, Q) j' E模型的评价与比较
7 \0 M7 \7 B1 e' B        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
! @: e( _! S$ ?0 V1 `        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
0 Y& M) ~. \* V- S        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
; w& U% U! Z. A+ a' o        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
6 H! g& @- H4 i. u        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
# }: ~+ A/ l  x: J5 _! h5 X参考文献
, Z/ l8 B3 w3 Z" j* l/ O' R9 D姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
: ^# y; _  Q8 f/ A附录
8.1 模型Ⅰ程序
. _6 S) ?% u/ q: ^* F- D" I/ }x=1994:2009;
y=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
A=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
A*[2013^2 2013 1]'
ans =103.0261

8.2 模型Ⅱ程序
t1=1991:2006;
: X& n, g, k- r! u, gx1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)

x1=[85.31 2.4862 125.17;
96.87 3.2745 119.41;
2 l. f8 g/ @6 G; }/ |# H105.22 3.0211 112.21;
* @" y8 \7 C+ D' _" q& ~! d116.95 3.2972 115.88;
4 k6 C+ ~& G/ H# R' |5 e120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
115.14 3.5023 125.52;
115.3 3.6067 125.17;
  I9 J4 P5 a/ |8 X" C115.58 5.7878 123.3;
. R1 [! S6 _6 p! }8 U/ W) W6 N115.88  5.7918  125.6;
3 X9 @+ l$ C; K1 o; z116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
122.97 5.6544 139.14;
141.95 5.6950 154.67;
3 }4 F7 n. @1 P159.91 6.2994 167.06;
+ {7 e! j# {2 K* [4 u164.88 8.2410 169.69;
167.96 12.4817 178.19;
" _5 b: f: E+ Z& e1 l% ~3 l188.59 18.3553 201.28;
205.62 21.8719 222.2;
+ A  }+ K4 f, h6 B/ M) P# m, h3 N222.82 27.3894 234.18;
2 h! {( s$ d' S! z2 S% a0 i213.8 32.7452 220.94;
2 j- V$ S6 H3 y, [; D/ w6 n3 p207.29 40.0573 201.65;
196.7 44.5034 192.94;
191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
6 l+ {5 W' m' |9 o! @158.65 50.1082 164.6;
];
. L% R" M3 S3 U. X+ d' f; [x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)
# Q. N& s4 I0 d  J% o( _7 Q) `9 N
# y. Q) i/ P7 N) F* k1 l; U' g' M8.3 模型Ⅲ程序
t1=1999:2009;
x1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
; B+ [2 L5 R' b  ]6 hplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,1)

t1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
: }& Z8 G# Q1 Ia=polyfit(t1,x1,2)
# f+ E7 O( g9 D

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