高考生源预测

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预测2013年山东省高考生源状况
4 b( u+ ~# p8 @摘要
* R6 k$ K$ m( k6 [$ ]        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
+ x; k5 m4 g# X; M        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
       
       
' }! ]% u9 V5 O7 W       
' J" S  u( T/ @" j, U, s2 ~       
! b" c2 R7 ^4 Y; Q# _. k       
- C1 u% S9 H8 j$ |" Q# P       
. I" P) r( A9 g6 N6 s/ e: P3 x& X
: [; r3 O; ~# n       
' ]( S; A" t' C- n0 I: k" g       
        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
       
       
/ ?! @' Z5 k- k       

问题重述
    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
5 P3 ], `! G; m+ ~; T问题分析
2 ]4 }* ]8 s$ d! M- N. Z        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
! M5 u* f9 A$ t/ ?9 Z! z) U表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
; w- S" Y9 q4 H6 \定义及符号说明
! Q" K7 l3 C+ `：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
5 t6 i$ z2 f& r/ R：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
：某一年高校招生人数；
1 C# ]: Y0 F% N6 z8 d8 B9 \9 l. \：某一年中学招生人数；
：某一年的中学毕业人数。
模型的建立及求解
1 r  N$ ?) ]  G. O, a0 s5.1 模型Ⅰ的建立及求解
    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
5.1.1 模型Ⅰ的建立
        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
        （图1）
         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
* J9 @" C" y; [0 ~0 h; b* S0 Z, p        （图2）
        对该数据进行二次多项式拟合：
        （图3）
& f5 t  u9 A. T; q5.1.2 模型Ⅰ的求解
8 i5 z1 G' Z7 e        拟合所得函数为：
        ；
        带入，得到：。
& _3 J9 N$ d: ?* H+ G5.2 模型Ⅱ的建立及求解
. R& K' o" t/ [# T( B8 T  B    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
+ I& z# ?9 `8 o/ B5.2.1 模型Ⅱ的建立
, |: u4 `+ v9 u9 P* Q  a* u提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
& h  ]* W' Z/ G" S0 Z7 J某年份的中学招生人数如下图所示：
7 t$ P. r( Z9 t" ^4 d（图4）
建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
6 K6 B! j6 b  Y3 f（图5）
模型Ⅱ的求解
. N9 ^# \; E1 O6 m; ]5 U. i8 D6 s对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
" {: s2 c- S, Q1 X对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
将带入上式，得到：。
5.3 模型Ⅲ的建立及求解
  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
; \* N+ Q3 |+ e+ D* p5.3.1 模型Ⅲ的建立
* n% l5 P3 _+ Q# N5 G  U$ u  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
（图6）
  X( ~: O/ d0 s1 d  ^# |某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
$ s. S+ x5 l; Y5.3.2 模型Ⅲ的求解
对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
2 H" y1 |$ x3 _! W, M. D        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
/ B: V, e! M2 @+ z* h# h3 g& @        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
2 _- _& Y7 m" m7 _" _; Z0 w        将，带入得。
' M; v6 G2 v3 Z* C模型的评价与比较
2 g6 H9 n! k9 D6 O        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
) Q8 K# B  G5 k% n( j' j2 {        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
. w% x( {+ z" ?5 b& x' D4 D参考文献
2 B- k# U. K- n姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
附录
* w9 @* ~$ P' ]( w2 C* R" o) w" i1 _8.1 模型Ⅰ程序
x=1994:2009;
& z! C# C3 o  k# Z0 g: t4 m" Ay=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
% X- [* c8 R( Z2 t7 [A=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
A*[2013^2 2013 1]'
1 h) F7 T2 |) E2 [4 p  u: Dans =103.0261

8.2 模型Ⅱ程序
0 p$ F& R& j! s; k* _  p, lt1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
9 e* V; o: t8 p' z6 w% Mplot(t1,x1,'*')
: I' L/ d- p0 ba=polyfit(t1,x1,2)
/ g% {& G; Y# r" @5 ~: t
) x5 O' d0 @( Yx1=[85.31 2.4862 125.17;
2 U; U! W7 G$ E) L/ m( \96.87 3.2745 119.41;
0 C% `! `, L! \- f105.22 3.0211 112.21;
116.95 3.2972 115.88;
2 @1 F+ ^  n6 F+ }2 n$ y) g120.41 3.5714 123.8;
: t2 [9 ]$ ]- n2 R4 W118.61 3.4308 125.02;
115.14 3.5023 125.52;
115.3 3.6067 125.17;
) j! r9 L! _0 x2 A115.58 5.7878 123.3;
" d: v4 ^1 U2 J) h0 t115.88  5.7918  125.6;
116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
2 K1 U/ \0 M1 U$ G122.97 5.6544 139.14;
6 ]9 f9 h9 W. I141.95 5.6950 154.67;
159.91 6.2994 167.06;
" v( S% K5 M: [8 W% g9 e& `164.88 8.2410 169.69;
4 O6 @5 X* o( Q9 E6 N" g# F) s167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
205.62 21.8719 222.2;
222.82 27.3894 234.18;
- k7 H* d6 Q/ e! P2 [213.8 32.7452 220.94;
' K0 T0 ]- e6 V$ [207.29 40.0573 201.65;
196.7 44.5034 192.94;
8 U% l0 I9 y% o' L4 N, t7 d* \* b* Y191.02 45.3479 192.32;
5 I' S- Q" |' a# W  Z  q172.88 51.4176 179.71;
( B( D1 V) E  J; ~$ c158.65 50.1082 164.6;
];
+ R9 ^2 v* v" b& V, M$ gx=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)
' ?: s# I/ ?" e
8.3 模型Ⅲ程序
t1=1999:2009;
x1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,1)

t1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
/ X8 s& W: Q8 e1 R4 e. `  i( e" |plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)

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