哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
+ X( @+ P5 l0 G$ i  ?1 G    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
+ n! P6 v, t8 N! }它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
. r% d* h8 A8 b9 e& V  g0 L: X将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
7 F# m- Y( [. H! a7 P2 m以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
$ l/ }0 E% G  A将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
' `/ o1 L: n- h7 t1 s即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
) Z5 ~, A& p0 l+ G  G5 Q4 Y7 o2 J由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
5 M# F0 U- W. j$ k- q* _0 j即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
# k# M- b  w$ j$ w2 k由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
1 S/ J* p2 I. h; u; X1 r- h- @  v  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
$ }* E3 }5 j9 P1 @4 a4 h: T; t均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
' C. d/ a+ r: @& w; _( X2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
- X! o3 S# T) o, ]" |' {8 q设2n"=0、2、4、6、8……∞。
: P' D3 I& O' k( I8 g' C6 G7 ]) Z即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
1 i  y7 U" V3 [# o0 ~3 F4 L  q根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
# J& O( {! Y- i, N/ ]用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
" t/ H3 z# _, \Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
! R1 S# S9 M& z3 O2 D* v8 z9 ]                    
% Z! B5 E5 J% d, t其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
) b- U: u3 {# r; p这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
7 \$ c0 X3 q4 S6 Z3 N例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
0 j3 o) ~& c- t4 |3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
5 s/ W' L* W" H* E6 ?/ B直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
" M( n& Q7 ^; ^4 D& Y+ G即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
. _7 \+ s$ Q1 \/ B) r+ {在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
+ K# B3 W6 r: K# e* L$ F. a0 W代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
, f1 U5 F8 r9 G/ a9 W% d即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
- G7 q% L5 n5 `# O1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
4 f/ k; M# D! V4 k( U& i若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
2 |. V5 C$ I3 Y2 p若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
9 Y2 V! `: J: X' B在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
" i- `5 `4 i7 C% ^. c6 }即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
/ `# e/ r: d0 {9 N- O2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
; w7 V7 z6 \1 k4 K2 E2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
' h2 K# o% u7 k# f. |/ f2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
% x0 V& M! ?* Q( W* M& v8 EM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
2 d, ?* {) T8 Q) ~6 |5 WPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
, K; c2 T8 U% L& s+ U
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
& ?/ k  J2 c: J' Q- l因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
5 R' {% e7 X1 A0 }! ~7 ^M=11111111111111111+3=11111111111111114
6 d8 \* T" e2 l: [; P根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
7 H1 E: ~0 z- r- r1 p然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
4 T; e: G+ b, G5 p8 C6 c已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
1 j; i: i0 P: u8 H$ U- zPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
6 I7 N5 Y' m* Y6 b2 Y2 t9 Y# I5 b2 gPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
" K. d! U% ?2 ^4 H
  T3 ^2 u( U' F# N       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
/ ]# x* y6 r- O三，也可以这样证明
$ z, m0 \$ \) X: u8 j3 K1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
: e: k( t4 D/ ^; d  b设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
( R9 }' c% Q8 O8 A3 l# s若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
- s/ z1 w! L" ?) F（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
$ A0 P6 e2 n( _  |5 x或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
% c/ G2 I) T) C8 Z* DPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
' u4 u# a5 U  ]* p$ r' i: h9 d7 z代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
1 y/ F! |& m7 z- Y" s" X" s" K或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
% r. n: f3 T. c" s& p* H8 F2 w由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
4 ?" v7 g6 i5 H% @& s% o/ x" y当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
- c' y$ X$ j' s设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
2 {7 h/ ]- r5 w5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
$ o/ @& L; b: k1 J4 r+ {8 b# d! O- a或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
' O& z" G! F- g$ ^在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
: P9 m& O2 l" u4 |, z/ Y1 S设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
$ P* H8 m' ]) z3 t8 N# U% p" O$ ^, b若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
9 ?. ]- x) D7 S$ ^+ l若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
) y6 K. Y, h# Z$ d: N" P* K& g4 o同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
$ `6 d& a- g9 W) o: j  Jn为偶数2n=0,4,8,12……
( G$ C- g' z% v( K% y2 i% f1 Y2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
* A: }1 b6 p! P$ {0 S! q2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
" f% X; y5 ]- O4 L, ?2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
( o( D) B' e& I- \( k9 p% y将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
# k8 W6 p6 V  ?  @, P3 g四，奇质数定理三的证明
* u# ?" }6 ?. B3 r（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
3 D5 c# m( K% v5 z, s6 I; KPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
' w! z# c% J( U% l* x) x                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
% V. U' Q8 B% \  F得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
0 {" ?. o) y; M! P     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
8 g$ ^: w* S6 p# V     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
& z- G6 |" w- {/ T) E! {4 f7 `! Q    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
- y: P% s; d$ M2 U3 T3 q. {    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
* J% m/ ?/ F1 ^6 `( ~3 _      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
& Z- m9 b9 R1 `2 v存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
6 e+ E( a# U3 M" x9 G0 a$ I: E由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
  V- @. j$ j8 e7 e% O8 P1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
5 I+ x1 j4 ]3 `2 \在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
. R6 Z& a3 U6 ]( U+ Z2 r6 ?( r) ^                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
" o* R" i7 j+ E; |2 C4 I# r                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
' {# ~0 t: g9 ?6 O                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
) o1 H! J7 v: K/ M0 g: Q第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
; s0 A- \5 G9 k这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
8 l- y% k& s& f' n. qPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
/ e  Y0 l4 F0 r8 B( T. S, L      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
$ Q7 f3 L3 [+ k, Z4 X  o      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
$ Y' i; q5 d1 I2 x2 i            =4+3+28+3=7+31
# g6 d. Y; M0 o4 o6 X            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
% H' z$ }6 E: ?3 t8 W/ g4 e! e0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
, _3 z0 u1 b) H它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
2 R2 v- t$ ?0 N# b7 f0 d                                           = 34+3+58+3=37+61
" g- d6 X6 ^2 K& J2 T2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
+ A) }2 \% X6 d( z4 c                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
- [6 O$ k3 E' z) P1 [8 u# T. W                                                   =n+3
) l5 g  B# Y3 ]                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
& q9 v& b8 D+ J# G+ `) G2，质数表示式的证明
4 S1 |. q# C6 N/ S) S" h7 Q  F9 g7 Z(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
3 s. \& e1 m: w设N=2    2n’=2n  代入上式
; a' H7 n+ Y. c得Pn=2n’+3  
* Z$ j4 N: d* s$ Y      Pn’=2n+6-(2n’+3)
* s6 z# ?; D$ y7 w! ~& K( @, V      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
1 f7 J. |; x7 c  `3 ]# Y: z3 I2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
  O, O; v& ?- OPn’=2n-2n’+3……（2）
; ]5 y3 F: E9 g, p3 F: q2n=4n’+2n’’’ ……（3）
- r1 p, ?0 w* B+ u# m上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  L2 ]: ~1 x/ U+ |8 s1 @$ r- J  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
3 g% y# t! D- [. R8 o（2）方程组
, {1 P, Z; J, o! ePn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
+ }# Q9 q# c# s2n=4n’+2n’’’ ……（3）
5 T! r  T1 S& q7 p  l, k6 Z! o①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
8 _# l5 C# T0 A4 m; f" `②解方程的步骤
" d: k: p  }, u% P, I# @3 i; F设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
& ]  {% D! Q# w3 h  K2 R! q确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
! o3 x1 w8 G/ w2 Q! F③证明方程组成立
# @+ E9 ]3 E$ z" c: L: p! p即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
# U5 l9 s* i. x已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
8 e  z! \6 P6 \又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
: o; K! y- k3 f* T) B- g   
0 i3 p* ~8 T: V+ |: \2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
' Y$ b# v# q, Q  P# h+ P) YPn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
" H4 H( K+ @" t 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
& _# ]& y+ l9 \/ iPn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
/ ^5 k3 Q1 |- }4 G/ N则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
' |' X% h  O7 V/ ]5 s$ |) ^/ \即Pn’=2n’’+3 也成立
$ ~" G1 D1 m& H0 O; h由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
6 T$ Z: X/ ~* w, d3 W! x" X由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数

3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
$ a2 ~% H9 w8 F5 N3 M  b设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
6 ^! D! o. _9 M2 V3 g   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
' U7 e6 e; f1 I& |% m4 E      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
$ t* w% {  N8 j$ h( ]0 _     92        32      60        16      76        19        79         98
, Q7 ]+ Z0 ~9 y, v8 v+ A' _( `7 k     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
" e7 }6 _0 t( C2 t2 f     122       56      66        28      94        31        97         128        
" ]- o, K5 ?6 X4 a8 X     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
3 `; y$ E5 S; d0 ^1 G: s2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
; C# O/ H3 a+ f- c) w6 H六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
6 @( y3 @* m( b2 o" s" i+ e8 w1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
4 w' U/ L+ z1 N/ r(3)，它们的分布是不规则的
, \+ J# k4 o- g) X由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
; y' N* o/ @/ t% ]; y2 Y2，以上证明涉及到五个问题
+ s* L' R+ c! }) V ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
+ T4 v% Y, i& E: W, K ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
( P& e5 I- X5 x7 x0 c- q% O# w ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
& U8 P& e! f3 P3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
* S4 Y! f. f$ K& H6 g鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
9 h$ e! D* y% h2 D3 t注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
% y2 i6 B' d  F: o因为因素与理由意思相近或相似
: i: U+ z" E# d5 S) ~8 }公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
+ M  v3 f* {. W! I4 x% a如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
* i0 O  D& Q1 N/ e( a( m又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
$ \& l  u$ `3 y: G' z０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
3 l( }2 f/ l, ^因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
. I6 ^# B! @6 N$ w 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
* k9 p, M  t6 z9 C& X, ?2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
) }. C3 @" k- ]! ~7 B则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
% n1 [# ~# \+ X得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
+ B# b1 y. P4 z# ]/ r% z' h例
6 ]- {2 A. H9 D7 Z/ npn        3        3        5        5        59        61
7 s$ \6 S7 }$ V' E
Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
5 ^6 b9 g" m9 x& q/ eM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
# }' w: y' m4 ?! t2n’        0        2        0        2        8        6
, ?6 L: \1 I2 t+ b+ z1 sn’        0        1        0        1        4        3
1 B' F' O$ U7 a( b' aPn        3        3        5        5        59        61
. ^$ B4 L% q* a) f' r# G5 TPn’        3        5        5        7        67        67
7 @9 Z  a0 k; ?$ f
) x4 L4 o) h  j  l1 E注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
& U. |" K7 n# l6 _* s若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
- x) S! x0 G+ j0 V例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
0 ?, E6 C6 G0 K& @                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
6 h) Y0 r9 l; A9 r; g/ q, w5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
9 x7 c2 W! D: M8 {59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
, g/ [6 b* A) T; m) ]…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
' P% z  J4 M2 I) Z- {2 b若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
4 n% J" r- s, Z再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
, E8 v/ `2 q8 C, _9 M7 N% ^; I. A笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
  [& p1 B$ X7 @) Z: U籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府


, ^5 R7 J6 x. y# ]! Q

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
2n’’ 保证2n’+3为奇质数
  x7 _* C) }/ Y: l9 M即Pn=2n’+3
1 j8 F8 Z7 m! ?6 ^  L! h是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
- G, z( y; p, u$ M* I6 U; R即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
, m6 Q3 w& M" h- l+ w# m2 }2n’’
4 W$ g' h5 G7 p  |; p) v使2n’+3=Pn
3 k, e$ W3 z! c2 Q* l成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
1 h' Y! [4 X' {; P" P0 Q7 |又因为Pn’=Pn+2n’’’
即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
+ b: V/ U% n% S% U0 c* H% ~/ w已知Pn=2n’+3
7 \4 \4 n  c2 L8 m- h  N' WPn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
2 D* R8 J% l% f9 V得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
6 t/ V" }1 g$ l2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
! l* F8 J; R7 D; x9 T) H* l" k又已知 2n=2n’+2n’’
2 \+ a. h) w+ @代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
由上证得Pn=2n’+3
Pn’=2n’’+3
又已知2n=2n’+2n’’
1 j. o9 z7 \, [" t即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
* P% [# m1 |1 Q# B- M5 d# O* V  `

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成熟了再发帖

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

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