哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
9 `/ j/ G% D, l- g" {. g4 ]    一、质数表示式
% Z) q* s+ n6 d1 ?' N  `9 t1、质数表示式的由来
4 y" T" e2 x0 C1 }已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
: c% I5 l7 r- a  w" ^9 k: e2 I. `它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
. M3 i+ s7 a0 z则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
, N4 b8 B7 S; ], v将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
) X* n9 d% Y6 n. e' J/ a即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
3 I" o( a3 t& z4 o, j5 D& F' G同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
: }0 j# }6 e- c* C1 V（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
, I5 T, f7 o% A( s2 a* w2 c 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
5 I" d. r, R- O( N% j1 ?  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
. F# p4 e& m* A$ r由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
; p+ T* f( R+ |; m0 a/ @2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
0 N) t5 c& D. o  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
* e4 \- P6 x9 r! J! j用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
" c* ?! n; U5 x其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
/ u9 b% I, P. e0 M# j! w) d8 \" p这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
0 U& o5 y5 ^7 p2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
! l: p$ ^3 B. C: a. u5 M* B2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
, ?6 @3 `6 m/ g6 \, x3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
8 t, [7 m8 V5 V) m直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
0 d' p* G- V1 z即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
% v  m! A( F8 }在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
) Y8 K9 Q/ g8 E6 f6 @代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
7 L$ i6 p+ M: ?+ c+ s, z+ P在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
8 ~  k) l- t0 Q又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
5 g* R7 N8 G6 Q) X代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
; q7 X; r3 h7 u- B$ S即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
2 b% u3 ^6 L# [) U# H) v* d) J& h或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
) V# v- a, k; A" A! H（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
$ E( V' B8 ?) u4 T二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
( m  x7 ~4 \9 G若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
' Y: ^$ q5 W6 H( e! B" Q' l若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
% M6 B0 @1 u; X) ]' a3 I7 _n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
( I- o3 C( k0 b$ ]4 {( R' r2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
/ ~5 q, Y! |/ y' }M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
: l- [7 N  e' q( _- y4 M2 {5 n* JPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
1 _5 f5 Q4 C5 C7 @3 GPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
- q/ m6 _# L! Q( c
+ ^& g5 H' z* X- j; c" {由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
; s7 j5 r: F* w. b因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
7 r# E1 Y! J" X! b) J. a(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
4 s3 l" z+ |8 R: f  l8 ~根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
  _# x! R9 D: E5 d% v  iPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

$ b1 G/ L; s; ^# r- a       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
" x4 w. p9 u* B5 q" p1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
3 `! b4 @! M3 c: ?# J+ k设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
9 A! N* P0 d% p- I( ^1 Y( V: b# ]) @若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
% o1 y  m$ d: W7 T1 P5 W. M) e0 g2 g) y) m若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
6 m/ b# f* I2 ^5 Z* \（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
3 e- O5 D; Y2 r" J; ]# d或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
8 m/ C& h( g7 C# ?* ~, _, z当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
$ j- W8 b4 U) k: F8 b9 r' B代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
+ m6 l" j3 b$ J# c; I5 E在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
$ u9 r7 x( y& L) n) e代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
. W7 ~7 k, _" ?5 U4 {设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
* Y1 E" V8 @' [( K# j% X  q) q若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
9 m+ W( g- K$ E/ g若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
! D5 G4 }" {6 ?) n5 M即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
9 l2 Y; R. ]8 I$ c) Pn为偶数2n=0,4,8,12……
6 d2 s1 b' E9 }% P5 }: f2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
5 `# O9 j7 j2 U6 m1 h! I. Z7 Sn为奇数  2n=2,6,10,14……
& r  x; ?' f$ I& ^- Z4 O' H4 r3 e2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
) a$ B- |. l! _+ G# }4 M# i; Y5 m将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
* g8 Z* q/ }' ~" I$ s9 l! u设  Pn=2  或        Pn=3
. a1 \' C+ l7 m# |( r 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
. P7 X0 s8 a* {# \四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
$ f1 O! N' x8 W又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
( z: Q/ h6 G6 j; R; i: Q- H2 ~Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
3 b, f( k9 u) ]  @* v( WPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
# Q# N, m2 Y2 o, A! z或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
% J% h! {- |( D7 y7 y. q. n（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
4 n! r0 @8 F* b, B3 \8 ^* X得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
. z4 r# _& X! h$ R4 X" D     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
% d  W4 U! }5 j4 z7 q, a' p, t     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
7 x, h+ Z: b/ ~7 r" f     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
; i: Y% t: [" ~0 {. A* D0 s    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
- V1 P/ I9 [, A9 t    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
2 X  d& D1 G* A1 t' c2 }    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
: ^) h: b" a0 \8 A5 n5 _. C+ ?Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
# b" V9 W$ t0 m# L      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
4 H1 s! r  r* L存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
: B. ]3 h6 v' L, ~由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
. L) |; R  |; x; W五、质数表示式的证明
& d0 E$ r/ p, P2 P3 k1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
9 X0 u4 e! H3 x% n: W在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
% j) [# _; Q/ T1 O( W8 D! n第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
! F% w7 A& {% m" M3 L4 Y) e                                             =0+3+4+3=3+7
; V1 N% x9 ?. o# U2 x6 j                                             =0+3+8+3=3+11
; j, L5 U7 K% G& s( q% T; V                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
; }; d- D4 H! D' `6 s) R                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
, b' j" v7 M* P5 O3 |" a这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
3 f0 {8 w' m# ~/ l# U# P0 @      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
, y0 x/ ?* N) h3 w2 @; }2 z第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
9 b; I+ a! K3 h  q            =4+3+28+3=7+31
+ s+ T2 q0 @: d/ [            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
9 a6 j- o2 J- |7 a5 X& g' g/ y0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
) d) i  E2 d9 m7 g  E                                           =28+3+64+3=31+67
/ a; y! H6 C+ G/ q* _  {! j; H                                           = 34+3+58+3=37+61
) @7 @: R; x  B% v2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
4 W6 d9 u9 K  E# b; P6 h3 i                                   =28+3+94+3=31+97
0 ]- c3 r. a" g  g3 }                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
  m4 @1 P5 S3 h(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
3 n4 h. |9 p1 F% t设N=2    2n’=2n  代入上式
! x( A: D* x# k% R得Pn=2n’+3  
. x( v+ ^- E# ^3 W" c2 y      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
* t4 t* a! l( |" V又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
% H1 y' r) S. KPn=2n’+3   ……（1）
: w7 _  E4 ~+ f* z% `9 N8 g9 kPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
4 e  R/ W" i! a9 }3 s( a9 p! |上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
; p6 E; n5 M* y2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
& h3 y4 N7 W2 k4 ^; P2 j7 r/ V  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
& d9 ]2 f% ?. t6 W- H  u9 l6 l  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
3 u5 V! G0 D3 P6 I5 d$ Q2 J  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
' }& ^$ |* g) A0 kPn=2n’+3   ……（1）
% t! u7 j9 i; n1 X  c# D% OPn’=2n-2n’+3……（2）
7 m5 N4 p9 W0 K' l* A7 Y1 Z1 d2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
( I* E) r6 I/ t; g# ~0 @$ z2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
, M% g4 A2 ^4 P1 J; c  c7 I; \即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
, m3 C# i; V9 U. m- \6 t2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
0 W% U1 K3 z& ?得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
; T" g5 e7 Y, \2 rPn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
. x8 ~, u. y# a) P1 S即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
; R; r* u2 d1 i5 I  =Pn+2n’’’
8 A8 ?; h7 ^9 m  =Pn+0，2，4，6……
0 a5 V! U! `; o7 N已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
5 X2 ?& H$ e5 V' o1 _' B则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
: c) X3 p& y( o: I由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
$ P9 W1 _& ^; w' [. Q即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数

3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
7 V3 n' R- [  |2 P. q. R: x设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
" {* X5 `( E5 m, s) m' ?      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
- X, i: x* I- h$ _0 i" w" V) a      10       4        6         2        8       5        11          16
% i) v; ], r5 Z3 r( N, d      12       8        4         4        8       7        11          18
# {: R* \7 c0 Q      14       8        6         4        10      7        13          20
6 g- m8 l9 v3 x5 k  X) \      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
7 i0 N1 x/ y8 V2 {% O+ J+ U8 C     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
: r$ O: U8 \* u     92        68      24        34      58        37        61         98
. H) ]. z9 ^8 z& S. A, O     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
$ a+ P$ }- X4 J" Q六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
. |( X8 ^" l' [8 U(3)，它们的分布是不规则的
7 j* G/ e" B  s2 L由上述三个特征得到三个定理（见注2）
$ I" i/ w) ?7 h' r; ?: A即奇质数之间的共同规律
9 T, z! W, w$ w8 q( V) \2，以上证明涉及到五个问题
, H7 J7 F3 M1 X( Y ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
/ c$ }" h* a9 x& |% h/ O. \ ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
) x5 t8 G; r8 a$ B③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
- j/ D2 h& p' _5 F( z ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
6 m0 V* q# Z  y' P/ d& a5 L' B ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
' h" r. C4 x% |, ~* J" Z- Z鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
) j- O, t( p' V( I注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
6 X6 v& _+ ^3 k' q" ]! Y公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
  [! \! F- @( W4 V% S# j公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
$ H/ @) e9 r% c. m8 t这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
4 J, W; b1 Q5 \% I  ^$ G  ^$ [/ K因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
: b3 z7 X( w+ C! z$ i  c' F/ u) K 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
% P  g" x9 O7 B7 b$ b% K* R$ J" L2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
# ?( K) Z' i) {, s. F# q" M( `( L: ~4 r下面来证明定理一：
: D# C1 x! M, K8 D) @1 H, q- x已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
- c  P# y5 q* C+ |* f+ T5 UPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
$ A* t8 F7 U+ L; l' ^即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
+ e5 z% I; l* m* t# Z由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
9 g  Y4 y1 B& i* T$ a+ q  k即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
" d0 ?, w* }8 w) n例
pn        3        3        5        5        59        61
0 e) v& |4 r" K. D6 i
. u- j5 g/ f/ t5 @  Z0 z) SPn’        3        5        5        7        67        67
' v- d+ Q, a' J' Q- ~7 Q2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
- w1 z( U* \4 M/ T% z* RM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
3 Y! u, s7 k3 Y( e即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
4 j7 y1 d; Z2 X  {Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
) [0 z; E: k0 ~& }3 V7 o* g! @! @2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
( f8 E# n, [$ h2n’        0        2        0        2        8        6
( Q6 }; q5 d/ w, {: P& n; ?- mn’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
  Z# W9 S& T1 r7 n% K0 FPn’        3        5        5        7        67        67
! R. x8 Z1 a7 ?9 r, \5 t
注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
" S  Y" }  ?) z3 \) R; e( D若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
0 V* K% P# M( o7 D1 i式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
& D" k0 I, y! ]例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
' n% |/ p8 v3 j6 V                                          3+5=1+2+3+2=4+4
' b% D1 y* e/ K+ p, Z( k& _                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
: L& ?0 a: L; Z. A- u7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
$ M0 d, O! z! E4 _6 P) L5 A4 x…………………………
8 o; u5 Q" ^  K7 I( L# N, \' X  _在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
- U7 m' b5 o* a% W) I当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
8 k) l5 q, e, p再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
- ]' K' r, m; i4 C        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
, s2 `0 K" ~/ y4 g* t" H1 ?邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
2 \3 y: L% Q1 p9 F籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
0 x3 v; N5 \. E$ |" |

7 \7 M0 y9 }: \: y+ t
8 ?; j/ e3 ~7 E# E% I  L. d

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
2n’’ 保证2n’+3为奇质数
, v. y" i/ [* N  l* {  u: ]即Pn=2n’+3
# V. L) h$ M9 U% o; h3 c9 F% v是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
4 V7 F7 v3 Z& |; d, W8 b- n+ u9 x但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
3 @- H, E! Y# U4 S即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
4 f0 K, C  \( e& m4 n0 k+ m) r' ~2n’’
* F, _8 Q' i7 o, R' ^7 K5 X: \使2n’+3=Pn
, h1 t5 b  ?/ H) r成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
! v+ ]6 x. I( n4 b" X又因为Pn’=Pn+2n’’’
. N) n$ \/ j# R2 g即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
8 W; J$ F- W* U& l- g已知Pn=2n’+3
Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
: v, |% }4 ]" z- s' t$ ~得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
2 Y0 G* Y$ V4 D* m) i: s, l4 a  {2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
又已知 2n=2n’+2n’’
, c/ Y, O8 G3 r* v) [3 L代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
由上证得Pn=2n’+3
% \, X: I+ ^# I, }9 gPn’=2n’’+3
! y% Q0 B2 t- L5 v又已知2n=2n’+2n’’
# `5 g' z. Q& j, E' P即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
% D2 d5 j$ D4 x. n/ H. y

1395094431

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蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

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