哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
0 A; W( Z0 C/ e5 l. g0 m; h2 {# c- V1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
: D7 q8 e3 n7 u9 B# ^  X以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
8 O# R) E) r4 L0 _3 ^/ f/ i将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
: A% c, \) a$ n7 m: R  w由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
0 U# X- q3 e6 b2 P7 E 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
! U" X( c+ n3 x+ U0 U均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
% p2 w  {* Y$ E  H$ `/ i# W2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
4 L4 b. }5 j% p! y  q5 `- [  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
4 I+ P8 e0 h% u' e2 O! c9 b& U即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
! w2 ]5 e! o4 A# ]; s1 y根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
( N. ?0 P/ p/ c1 F! F9 NPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
7 ^# y9 J6 v" O, N- t                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
1 e  J+ n3 t6 f( c这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
6 n% L8 m, u) m5 V' `2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
- E- x( P( \2 v/ O9 N! H2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
3 @  o+ H& d; U0 Q1 o5 T% h2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
; e* Q2 [2 t7 }4 n( |3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
& ?1 Y2 @$ E1 {! G3 V, k# C即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
( J+ n0 Y: d) G6 {0 Z5 C9 V9 i- u在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
/ w+ J3 U# N5 x9 Q* u4 s2 K+ D: }  H代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
1 K6 S9 N* x) U8 I* Y1 Z即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
* {* I8 X0 `% l从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
+ P' E) x; `. ^; E4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
( M1 u6 a  c8 M* I由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
, R( k0 `$ k2 i# r1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

: H+ {: F- [- p& R' |: X得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
3 D7 C; R& E" _, z: s2 i在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
: a# M5 z% M4 ?2 f) Z4 t即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
8 w: L( A$ B  _  [, a1 I例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
  U! ?$ \4 b$ a8 a. e3 t+ e3 VPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
5 S* F/ k- {1 M9 KPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
, K6 z* k7 f3 _. hPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
; B% h/ a% e1 U; O# Y) X% v( a* B
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
& f3 P( Q/ w, M) `# V$ y( ^0 N4 g因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
, `4 P( S: {3 j5 ?" R则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
0 {1 o( |$ `4 i' o6 ](Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
7 U" F6 A1 e8 A# `M=11111111111111111+3=11111111111111114
4 v  ~3 K5 a2 F8 Q. l+ t0 ?根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
3 p* Q4 j3 d( {/ p7 l然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
( {4 K% j  w$ ?) ]Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
5 ~8 }1 a  d1 q% d# Y: E. Q" u) |Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
  g$ a, `, k1 M, C* }& z5 P/ b+ G+ U
/ p& ^6 ^  l& c       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
( ]+ v* {9 k1 J( I, U（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
! |1 a- i: `- z7 @或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
' a! i) u/ R" Z6 w由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
! G- R* U5 \( g7 Z3 k% B2 N1 h% `设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
# S+ X; |( u: Y8 x% m1 M若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
( M$ Q! l) ~4 n8 c* H/ X得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
, S$ Q6 p$ H2 f0 Q( f  M若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
1 G$ ]& n4 g: R" M, B同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
( T& V/ t5 l$ s! E即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
  s2 F9 R3 T: b, m7 w2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
; Y2 R9 ~8 w$ W7 L& j# w/ qn为奇数  2n=2,6,10,14……
/ R' f. ^5 {2 \! J' w& L! m2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2 z# J# w( T' ^$ S0 H8 C2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
5 X+ }  p4 a3 P- N' x将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
  Q/ ~0 K9 x3 v2 D; [) C$ g2 ]Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
2 [6 M$ f" I' {$ w8 ^设  Pn=2  或        Pn=3
2 N4 @! Q4 x2 D! {- V. ? 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
. |. O, h/ ~& E) ?（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
+ G9 \' t8 [  k- X2 V9 l. _Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
: ]: H; f' y) u8 o或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
: W' y- C7 A3 J0 c9 D由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
$ d, F5 z: _1 i3 d! v2 Z     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
8 X1 ]0 F$ U; F$ S     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
+ ?. b3 E' y* S* ~/ C    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
1 ~4 N$ j0 v8 ~      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
! y/ G2 m9 [+ K& R3 g 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
4 ?4 p5 j( w; J+ b/ }, W1 h3 P即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
/ [; ]5 k7 t3 ^在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
  f0 A5 C8 \4 K6 X) M* D6 ^; k7 [                                             =0+3+2+3=3+5
, h9 }' q4 A9 R0 v                                             =0+3+4+3=3+7
' T8 q: v5 ^) h8 X6 Y0 y$ t                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
+ i' \5 H  j6 ~! v+ w% c7 @                                             =0+3+20+3=3+23
( v( g$ P! P( A% ]( Y% \第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
0 ~/ p; V0 Y+ r, E; H3 |: }即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
" Y: c; ~2 y# T) ]; bPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
3 y9 O# R( H2 r! }5 i      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
, n; y# ]( t! P: B      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
0 C( w+ Y( ]; |; a, w. S% Y            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
2 v8 r+ l3 K4 I3 }又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
3 h2 e" t. x9 r, R% W0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
) W5 ~" R8 ]% b8 J2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
* }; e2 ^3 V' ]9 V1 _4 @" a4 X' b                                           =28+3+64+3=31+67
' a  c3 T: w0 h& S                                           = 34+3+58+3=37+61
! v! I2 j5 _% g+ }2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
& @  C# F2 ]5 _: w! E* U" O9 m5 f                                   =58+3+64+3=61+67
  k3 X" t0 |% v4 I+ L% A3 |6 D0 b综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2 W# c" ]3 n1 r, Y# [6 \2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
0 O# _8 u, a- b* N- \+ |, _- y/ e                                                   =3,4,5……
  O; o. b: I+ S( M  t+ O即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
+ b" F* Z8 G- k/ c- G9 O2 [- i2，质数表示式的证明
4 e: s4 S# J' _* s. W: R! \(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
; [3 ]: L# A3 m      Pn’=2n+6-(2n’+3)
) Z0 [, E" Y. Q8 O6 j3 {      Pn’=2n-2n’+3
; h7 m! ~$ g. o8 t又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
" y9 R( n' k8 @0 h2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
  j, C4 [* r. ?# Y4 bPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
  i" \$ i, n1 C/ d& `2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
" [- _/ V* v6 ?# V7 ~! [7 m2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
: w! L' i0 ?. {' I0 R8 ~  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
1 m& q% u5 _! B5 H7 ?  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
' U5 c* Q7 w3 x5 K2 r! ~/ I0 ^  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
7 g$ Z* u7 x- X0 [2 z6 WPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
. \' T9 y4 |* |% N7 j4 H; k2n=4n’+2n’’’ ……（3）
9 x* ?6 ]1 }6 G: _4 v, s& f) A①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2 H7 M  }% [  }8 z, K& ?2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
# D$ ~/ \4 L- L* a6 L设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
+ N/ n# O# h& L  W: `1 f7 P) u( `确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
6 Z3 i* H% N1 K' U已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
$ ?! H3 i: E( G# f4 F6 Y$ w& ~又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
& L' g9 I% b' m! @   
3 V, `3 d7 g3 j  A6 g2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
6 r8 r% B# Z" c+ v$ Q5 O得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
& `- Y. p  _: y: _0 mPn=2n’+3
2 B5 _+ B. P' p8 OPn’=2n’+3+2n’’’
( r$ o! z# k9 @# n7 x 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
) S- I" S9 N7 c; a& \则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
$ Z1 H. p4 L5 Y即Pn’=2n’’+3 也成立
由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
4 R: n* m( \3 p$ c6 s' B由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
8 f5 [) F9 u! r. N即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数

; ~: C3 K4 I- j  D3 I4 a" D3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
5 `, R' o: ]" H' _8 D设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
+ B9 o* w* s/ c   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
6 z: B9 B6 W! X" m( U: N     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
' c1 l+ ~' S0 f      4        4        0         2        2       5        5           10
( e8 i! L, x6 n: P) Z0 q: u      6        4        2         2        4       5        7           12
6 k. c, `4 I& v      8        8        0         4        4       7        7           14
% O4 M0 [6 W( {+ N      10       4        6         2        8       5        11          16
9 G5 K% _% C. }. z! ^& D      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
8 H0 H+ j. C( {2 L9 I+ L# I& ^& u. e! E      16       16       0         8        8       11       11          22
3 k8 V  Q* s( A) S- r3 h: K8 m     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
+ M2 t5 J# S5 r; @( K     92        68      24        34      58        37        61         98
( a' Z5 G6 N& l: O+ V8 o     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
$ E# `5 [# w/ v: S, U9 y2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
) `8 w$ B  @) h6 Y' G(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
% i: @3 y) f( x/ S3 C3 ^ ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
1 r2 }4 u2 e1 V③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
5 F2 |( c3 X: M1 R) \% b& _! {注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
& z9 Z9 ~: ?7 M$ H/ V9 h% _! O公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
6 a- |1 w: v+ U如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
, [' b7 j! y' p( t5 r5 l又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
: Z7 g) M) ?( W5 \- T! M! v因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
) Y- R  B6 u, ~8 _$ N 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
, s$ {. l+ V5 }# B" Q; j" x0 G1 _( L9 N注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
, ]5 n1 I/ U' G下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
8 g/ W8 Y/ B' @4 o% j) q" k0 N! R由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
# G: G, \/ k' D则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
+ C; m3 B  W* {8 n7 c得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
0 }- ^" C8 s# D- M  u8 A例
3 Q$ f& F/ a- |. R6 u* qpn        3        3        5        5        59        61

! j& D  o$ p  T0 }Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
9 M4 q3 g( t5 C% G7 fn’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
5 ]4 U! j7 h& m. d; e& j/ |* Q, ~Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
, M' F+ Z4 a; G$ c* U2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
2 ?$ m) o& i. j# Vn’        0        1        0        1        4        3
$ n" K9 S7 Y9 P0 ~, L# r8 \9 L3 vPn        3        3        5        5        59        61
3 N* o1 ]. R, Z. e. _Pn’        3        5        5        7        67        67
* ]8 y9 ]8 j5 R/ H) B8 a
9 v$ y/ w3 O/ n/ ~4 p, d9 C注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
' D. h" G$ N, U0 l! A若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
& I$ ?2 W2 T$ m- |例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
: U- P- C" W' r/ ]" B* g0 s5+7=3+2+5+2=4+8
8 l7 X, X& e2 i4 J3 W' f7+7=5+2+5+2=4+10
8 @5 h3 G2 W4 I! F8 L59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
4 A: ]# t& k; {$ @…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
" r/ `0 i" ^4 w% Z当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
- p3 P+ D  h7 d' x% F( \1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
+ {+ q" a1 U' Z% h" N4 r! o, x2 \若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
* J0 [, P1 n/ u* |M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
8 Z5 z) y. j' _6 o5 [* L; s, U: X =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
% ~2 v# l% E/ z. e& v再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
" e3 [( ?6 s, D, C即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
) l& T/ r. M6 F, A笔者   蔡正祥
' T2 o  i* t% ]8 Q: q        2011-8-6
: ]. x5 A4 ~/ i通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
" H$ c# ^/ @" x2 M籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府

7 x& u1 D1 H& n# T1 |* i* q& e

- |* l! K) m1 ?7 u

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2 I; M9 I2 c% k, G2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
2 S; b9 D$ n- t2 L& g. f9 _( j& a2n’’ 保证2n’+3为奇质数
即Pn=2n’+3
0 {" h$ H8 v- o9 T* {% T3 S是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
; y0 `& k+ `. P" \( l8 T  E即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
2n’’
. G; O. }, S' N4 x, ]使2n’+3=Pn
& z# T% I' Q: B, f. @. b成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
又因为Pn’=Pn+2n’’’
即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
% ]3 ]% k& C, P6 h% E* R! @- J" i已知Pn=2n’+3
4 M+ l/ k% s! \7 |! y9 a4 T5 SPn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
* z4 n4 ~" G) G2n=4n’+2n’’’
2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
% L2 G, Q7 q8 \! y: @0 I8 C又已知 2n=2n’+2n’’
代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
4 y# t% \6 M2 ^; n4 S* i& G由上证得Pn=2n’+3
Pn’=2n’’+3
, n1 ]9 b% n. I又已知2n=2n’+2n’’
即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
1 n- J& @' p* J2 h

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

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