有个关于二次函数的问题，有点麻烦

JohnQ.Public

我在几何画板上曾试着固定a和c的大小，设置b是动点，在移动b的过程中，我发现抛物线顶点的移动轨迹似乎是另一条抛物线
- s0 {( C+ ^7 z. R+ C7 b
求证明
我在很多地方都发了类似的贴，毕竟对我来说这个问题比较困难

yinbaoli

看了你的gsp文件，才理解你题的意思，

yinbaoli

谢谢论坛里的朋友上传的几何画板，很强大！
# \9 |! q( J" O- n& P% I6 D2 y6 f几何画板默认选取的坐标轴方向分别平行于屏幕的x,y轴，所以我前面的做法是错的！
! S% p" `4 J: M& M& @! ]+ l4 U但是，坐标轴的平移不会对这道题的结论产生影响（坐标轴旋转不可以）
/ g. A; a3 A' K& ~所以，可以选择适当的坐标系，让a点位于原点.这样二次方程就是y=mx^2+nx;代入b,c坐标，求得m,n，进而求得顶点坐标，可以看到，顶点坐标的轨迹是不确定的，因为b的横纵坐标没有必然的联系！当规定了b的轨迹时，就可以求得顶点的轨迹。
楼主觉得是抛物线，应该也是目测，在b的轨迹不确定的情况下，顶点的轨迹只是一条不确定的曲线。

yinbaoli

这道题我确实搞错了，但不是你所说的错误。错误如下：b是个动点，而我建立的坐标系实际上是一个因b而动的坐标系，所以最终得出直线的结论不可靠。
$ L, ^  c! B$ X1 X0 s  V! R先下载个几何画板看看吧

牛勇

yinbaoli 发表于 2011-12-12 23:08
) H3 X0 a, ~/ I2 y可能你的结论是错的，因为顶点的轨迹应该是条直线。证明如下：
适当建立坐标系，使a，b，c三点的坐标分别为 ...

) f4 b; {4 X3 F, D+ i如果按你那样建立坐标轴的话（适当建立坐标系，使a，b，c三点的坐标分别为（a,0）,(0,b),(c,0) （过a c点做x轴，过b点做y轴）
），你答案的第四行（抛物线的顶点横坐标:x=(a+c)b/(2ac),纵坐标：y=-b(a-c)^2/(4ac)）就有问题了，开口在上下方向时，顶点的横坐标：X =a+c/2,纵坐标：y=[-b+(b^2-4ac)^(1/2)]/2a或y=[-b-(b^2-4ac)^(1/2)]/2a

yinbaoli

可能你的结论是错的，因为顶点的轨迹应该是条直线。证明如下：
适当建立坐标系，使a，b，c三点的坐标分别为（a,0）,(0,b),(c,0) （过a c点做x轴，过b点做y轴）
设经过三点的抛物线为：y=k(x-a)(x-c)，代入（0,b）,求得k=b/(ac)
抛物线的顶点横坐标:x=(a+c)b/(2ac),纵坐标：y=-b(a-c)^2/(4ac)
/ t8 p1 ^. E- s' [5 |用y/x,可知b被消掉，a，c为常量，轨迹为直线~

wangxun2010

JohnQ.Public 发表于 2011-11-27 12:34
麻烦写下过程好吗？我觉得如果设b是动态的点，那加上x和y就有三个变量了

用x表示出b，然后把b带入y中

ehi28

看贴回贴是个好孩子,围观中............LOGIN..........................

JohnQ.Public

麻烦写下过程好吗？我觉得如果设b是动态的点，那加上x和y就有三个变量了

wangxun2010

很简单的证明啊，设顶点为（x,y）, 由顶点消去b，得到y关于x的方程，为抛物线方程