有个关于二次函数的问题，有点麻烦

JohnQ.Public

我在几何画板上曾试着固定a和c的大小，设置b是动点，在移动b的过程中，我发现抛物线顶点的移动轨迹似乎是另一条抛物线

求证明
我在很多地方都发了类似的贴，毕竟对我来说这个问题比较困难
7 C1 g/ F$ y3 _" N7 M6 R; F

JohnQ.Public

文件在这里

wangxun2010

很简单的证明啊，设顶点为（x,y）, 由顶点消去b，得到y关于x的方程，为抛物线方程

JohnQ.Public

麻烦写下过程好吗？我觉得如果设b是动态的点，那加上x和y就有三个变量了

ehi28

看贴回贴是个好孩子,围观中............LOGIN..........................
) s& A4 _6 Y& l) }4 w* p0 N+ S

wangxun2010

JohnQ.Public 发表于 2011-11-27 12:34
3 i( j; G, K* [. i5 T麻烦写下过程好吗？我觉得如果设b是动态的点，那加上x和y就有三个变量了

" _" q0 y+ M9 f3 X- w" E4 H' o用x表示出b，然后把b带入y中

yinbaoli

可能你的结论是错的，因为顶点的轨迹应该是条直线。证明如下：
适当建立坐标系，使a，b，c三点的坐标分别为（a,0）,(0,b),(c,0) （过a c点做x轴，过b点做y轴）
$ Y7 n" t1 g- F设经过三点的抛物线为：y=k(x-a)(x-c)，代入（0,b）,求得k=b/(ac)
& U( C  s- T9 Z( S+ _抛物线的顶点横坐标:x=(a+c)b/(2ac),纵坐标：y=-b(a-c)^2/(4ac)
- R  B$ _7 J! t2 K' u用y/x,可知b被消掉，a，c为常量，轨迹为直线~

牛勇

yinbaoli 发表于 2011-12-12 23:08
" u: X% i- H, T1 O( u% n7 ^5 J可能你的结论是错的，因为顶点的轨迹应该是条直线。证明如下：
1 N2 N# G- I* [6 F4 _- k适当建立坐标系，使a，b，c三点的坐标分别为 ...

+ V# P" Z, ^& E3 n, T: B  z2 t如果按你那样建立坐标轴的话（适当建立坐标系，使a，b，c三点的坐标分别为（a,0）,(0,b),(c,0) （过a c点做x轴，过b点做y轴）
8 ~* W) g2 o5 M: X7 w7 L），你答案的第四行（抛物线的顶点横坐标:x=(a+c)b/(2ac),纵坐标：y=-b(a-c)^2/(4ac)）就有问题了，开口在上下方向时，顶点的横坐标：X =a+c/2,纵坐标：y=[-b+(b^2-4ac)^(1/2)]/2a或y=[-b-(b^2-4ac)^(1/2)]/2a

yinbaoli

这道题我确实搞错了，但不是你所说的错误。错误如下：b是个动点，而我建立的坐标系实际上是一个因b而动的坐标系，所以最终得出直线的结论不可靠。
& t- t6 o6 b2 X) r先下载个几何画板看看吧

yinbaoli

谢谢论坛里的朋友上传的几何画板，很强大！
7 ?7 K- I! g, |0 j- u6 B7 B几何画板默认选取的坐标轴方向分别平行于屏幕的x,y轴，所以我前面的做法是错的！
但是，坐标轴的平移不会对这道题的结论产生影响（坐标轴旋转不可以）
: \" L' ^1 j4 Y. b8 J所以，可以选择适当的坐标系，让a点位于原点.这样二次方程就是y=mx^2+nx;代入b,c坐标，求得m,n，进而求得顶点坐标，可以看到，顶点坐标的轨迹是不确定的，因为b的横纵坐标没有必然的联系！当规定了b的轨迹时，就可以求得顶点的轨迹。
楼主觉得是抛物线，应该也是目测，在b的轨迹不确定的情况下，顶点的轨迹只是一条不确定的曲线。