典型同态映射的实例

lilianjie

& h6 V# x( |& {1 \$ p( y% @) N. o& k
" g7 v8 P( S0 ?5 J* F$ B3 y三．典型同态映射的实例

6 f+ |$ E! m4 l3 P3 o1 q- b

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( V3 Z8 U# @" }% c7 E& K5 S
1 m1 E* P/ v, |4 ?# ?4 N% z 例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
  y6 C1 r% q* F???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
4 ?! `$ A; f  m* B% U" J& B则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
) ~$ W" Z1 a9 E3 [2 [1 C- v????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
" z9 N( o7 M6 V3 U) d5 ???(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
' T, C" w+ v0 R; Z6 F8 O$ w???????????：R→R*,(x)= ex
% M) I( Z( l8 x# _) K- k  R! ^) G则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
% f9 ]/ g' y4 U  k7 d; c      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)
+ ]  T6 O; S; j, F7 ]- b6 G( G
( l) t# ^5 q& i0 \. s4 @?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
6 a- `6 u0 @' {5 ??????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
6 d0 N' I" x$ y) _( c5 E( ^% [则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
+ Z' F+ `4 a: `6 b+ p/ y?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
7 D( s0 A4 }4 k% f2 E. A
??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
/ _* B" G# k& C3 j. S1 C# P- |
例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
3 s, _: w2 Q0 A???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
# P* ]( Z3 B6 U  {% Q3 ~


例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。
3 z- B5 T+ G% }: a4 y$ ]
3 _9 O/ _, ~( b? 证 x,y∈G有
3 p6 {6 H  J$ J. s( d  q  O( L* Q??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
) o: ~, i& N4 p+ a
所以是G的自同态。

, P+ L) Q5 K! g1 B   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
$ H: t1 i' v. D& h* q7 E/ P??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?

   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。
. p; A. b5 b; f! ?9 I, z' q
4 {" a) A. {4 u; F9 x& Q; b0 Z   综合上述,是G的自同构。

??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
+ y$ g/ G: ]5 w, N??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
# Z0 d5 H9 |3 X  c( }. H) K这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。
/ o/ d: Z) M* D- Z/ p' ~! \( z" W
??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
. g  T$ K' Q# U7 }* N( C( ????????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
- L; C: Y8 r5 F4 l/ t???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。

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. L9 c% O/ s9 J! J; b. N
例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
& X7 e) o; @( n8 v
? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：
/ k. ~: p# @5 f7 m8 f/ @
; M9 }& Y& \! \# d??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b

??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a
2 D1 {5 [5 E. Y& w7 u
??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c
- J* |: _# D6 T" v; @7 ~! x
' ^9 [! f, H5 I- W0 ~8 x- m??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a

. h# w$ y& @' j" n& @( J( I??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

1 j8 D) |9 h% Y- x6 r根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

4 Q; h+ s, ~% T9 x3 t???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6

( f. `! \; w8 i成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。