典型同态映射的实例

lilianjie

6 n) g! s  Z6 H

4 u* r1 |4 |- Z( q/ d$ }三．典型同态映射的实例
, t" i! l1 B1 T& ]1 R  w( G( r
+ o9 L2 y4 f: Y3 E. x5 X' ~- g5 d
6 K% n6 |6 O- B
& I; x; M; j8 B! J* d* D--------------------------------------------------------------------------------

例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
! F5 I# p1 A! [! k3 M9 b% ~???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
9 Y( [2 P) C; g# C则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
4 Q& c* V  M! ]$ T????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
4 ~; I0 k( `  p. S??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
& R# i$ L; E1 l) t: J* e4 P???????????：R→R*,(x)= ex
$ d/ P; S: p$ o+ l  i5 _' v5 ]则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
( c: i0 l8 r7 e$ c% C      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)

?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
& }$ R. X, T. G0 E: j. g0 [5 w?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
1 n- w# }8 {3 O; t则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)

??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。

+ d9 f) g2 @! G/ d1 r* h 例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
& S2 U. L  n, s) t) p( y: R

6 g0 n& T- m5 }  Y6 D
例11.23 设G为群,a∈G。令
9 _! G- d0 C! Q( e: A????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。

? 证 x,y∈G有
4 V0 ?0 u8 ]# g??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)

$ m0 m! d  ~5 a- K: ~+ `' r所以是G的自同态。

   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
3 C8 B# p3 _. v" R??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?
/ u. [7 t* }5 b+ F! \2 S* J
   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

   综合上述,是G的自同构。
% o0 Z  U' a8 S4 a- |
. C% q5 i7 H3 U  _??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
2 J# |, E9 y7 L/ Z1 Z这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
6 g  Z+ Z* {, \/ {8 U. \???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
, T9 ]: N& R( |& N???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
( c8 x# L( R3 d, F. ~5 y$ `在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。
! {$ |/ ^# ?# {9 Y& s
--------------------------

+ K% r4 O3 q$ |/ O) A) p0 g- o9 ? 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
( X# k" u/ k% i: U
8 C# \! E: n- Y7 W* }? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：

??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b

0 Q8 C+ r5 d$ S  j0 m??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a
6 ~1 o' L9 k) f) ^  k
( M# K. h! b4 I/ X??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c
" L& H+ N* `5 Y9 l7 }4 E* k  O
??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a

! q+ z: n/ h+ z2 f& s??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b
: W* ?/ [5 s# ]+ ?  B
& X0 b  k" p& X+ _" t: C根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

4 ~8 J# w9 e* r* v! f???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
, ]* E) O6 i9 w% o9 u' F
; g# m' c' i6 K* B$ _( z$ n成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。