典型同态映射的实例

lilianjie

# ]" r1 e2 d/ V6 N- x- H三．典型同态映射的实例

9 H6 N& F$ ]9 I1 H+ n) ?  _
$ g$ V5 ?5 U# b  n# K
% Q4 U% d1 p* [( m--------------------------------------------------------------------------------

5 N% G' a9 f& I2 \ 例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
% w0 J' F- }/ {1 l???????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)
8 Q2 A6 w! u! \- `( c1 d7 X$ Q
  h! @2 y5 w6 L7 k?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
5 U, C& W% W. \+ T# G+ V. r' `& _?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
* E5 {9 T8 ~# [* @% I( t. S?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
! K6 T3 M. G1 w
/ G) x5 i  {" {1 g( p8 \/ ^4 J??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
/ g4 Z' C  Y* W9 `7 w
例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
9 G7 o! y! F3 Z7 d2 d: b( O  I$ w???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1

$ Q& E2 K. J, ^1 P0 l! v
7 h6 V7 {5 d. d6 y
例11.23 设G为群,a∈G。令
+ k: d" Y( w  i$ T# }+ t????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。

3 G: h. d# n) |* }' z  o# i, q? 证 x,y∈G有
/ b6 I- Z# i. P: |; {% X??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
7 o+ e- U+ q* N2 `. R
$ A; ?8 Q  y9 p所以是G的自同态。
: G! m& b9 e" p( a0 A6 W
   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
9 Q: W5 t+ h0 v??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?

   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

7 L" W4 L: |$ ]: X9 b   综合上述,是G的自同构。

+ [( G1 Y8 N4 K% R# [8 F??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
; _/ N; `  L; N% z??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
4 B& Y. ~7 ]9 O& m, O这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。
# b6 ?6 v. p8 \9 _7 x2 U* l
4 k& E9 A% d- C9 B4 J7 E??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
! s9 L: c3 ~* S. l( p# c???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。
& O  k$ o0 H  D" K$ B+ k
--------------------------

例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
1 k# o4 h8 I7 n4 o
4 ?" u& h& `! Z* ~% r! v? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：

??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

- |! \) s: Y: v3 q; M; n??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b
) p: }/ ?6 }) [
( E/ j( k7 _& ]+ Y/ d+ n??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c
1 Y9 j2 O' {" ^# O) X0 R
" _3 O* i# g" {2 H5 H* U4 A??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a

??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b
5 R) f% S, y6 h6 c) O9 `+ e5 o" g
* d; P5 c$ U. |3 j; h; `% `根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

* B0 Y& {" b  t7 X; N! A& w???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
$ f4 ~0 y! b% L5 S5 @' ~4 W1 K/ f
* E  `9 t2 e+ X+ b成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。