尺规三点分60°角的代数模型(pdf)

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                                                      苏小光
0 q  P! G5 K! I' h             一  背景资料
  尺规能否三等分任意角，是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角，是因为
* o5 P- @2 L9 |# L  i6 e$ Q' }         cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}
; E3 u& W  j5 G- P" V       当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时，
" u3 B7 r, j, ^1 E         8x^{3}-6x-1=0,
9 o  j  E* A  i2 `9 d$ D& J/ j5 E4 W 这个方程没有有理根，认定尺规不能三等分60°角，从而推导出尺规不能三等分任意角。[1]
要否证尺规不能三等分任意角，就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出
        \gamma =20°,
) ~) ^3 l6 h( \! v9 R/ |则尺规能三等分60°角.
* H8 r; {; I: F4 ^! }" w$ @4 c二  代数模型
      tan\theta =\frac{sin\beta }\left (  \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}
当sin\beta =\frac{1}{6} 时,
, Z3 _: T! q9 S% o$ M9 }  tan\theta = 0.1763265306
所以  \theta=10°, 显然  2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。
三 代数模型的几何解释(或作图)
作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°，得到Rt△ABC，令\beta =∠BAC, 则
sin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},
Rt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体，其底面圆周长
2 k! ^  i, N. [. C! g5 D: ^  l=2n\pi,
" K. a& S, u! L+ J2 v# y/ `圆锥体的侧面展开图为扇形，圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等，扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则
% Q+ Q3 [7 j) X) z4 k7 Ul=\frac{aR\pi }{180},
即
    2n\pi =\frac{6na\pi }{180},
0 c; c/ g6 A& x; E3 h; V. y所以，a =60°.
在Rt△ABC中，
cos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },
1 ?+ Y7 F5 ]& |+ w  H% W所以
AB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.
以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则
AD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ).
- r: q- l! f; E3 U- E  \# @  G) N以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则
% ]( A1 }- {% V" h( e' ^( u  AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }
以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则
AF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}
* p6 J( t/ b" @! x1 E. {& s; @  [2 w以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,
令∠FAG=\theta,则
tan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}}.
注[1]: 初等几何研究，朱德祥编，高等教育出版社，1985年2月，177-179.
; Y. _& b, k* ^! N5 X. S% k( N

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