数学建模十大算法漫谈

异一

数学建模十大算法漫谈

作者:July  二零一一年一月二十九日
) e: c; \" t( {7 T- u/ M; n0 p+ K; C本文参考：
& z: i. g* @2 G6 kI、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科
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博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
4 [  N9 e: _5 }8 d, q这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
5 N5 v) @3 h. g2 Y" ]5 U, o* h毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
* \( ~, d8 @9 \  m6 m8 ~9 \/ T且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
; p& G9 J2 V( n) z' {) ^8 b若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。
2 Y" d) u' B2 [! u$ V( C
  L) a; w9 w) O. u) Y# I. k- b) c
一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。
+ p* c! B1 q! W  u& K9 J; W
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

1 a) v5 I& @4 l2 n3 H/ w- i蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
法。

由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
+ N: W% A2 x7 v# ~6 f( Q( y实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
, e/ d. Q6 W- Y  O4 {8 S& v，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
  Q% \) E2 h3 Z/ W; x9 H& j为问题的解。
4 ]4 V; G9 H9 h6 X; b1 N
$ v5 ^. X! f; L/ d2 {  e  @有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
/ h& L2 n" G; R9 q0 I度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
/ B8 X2 Y/ f2 Z" l. U0 b: T! C后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
! O/ d# o8 m! ~，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
7 Y. M9 \, N' G. l2 d- A
) w, i" |. a" N# p' B蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
- h$ T" y1 L: e拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
0 p' H- k+ q- [) f/ g4 n近似解。
( E! t# j! S9 \2 O; B
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
6 n9 r3 s1 t% e7 |蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
6 B# E9 r6 D3 _* E! Z* bI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
: V% \: k8 [1 \4 e! d6 W6 J' m) aII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
% D; Q9 e6 H( @- g; fIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。
. r; f, `2 j. r此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
1 U5 m3 {& }( ]( d% r

二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
1 `% t( e& R% G4 x+ t% i. I! p! p我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
; a* h/ {1 {, a1 n. Y$ y* g, }数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
( e5 m: f% V! U0 m. B
此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
8 \; F* F0 e" v9 G+ k6 F6 G

三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
1 `; c0 n/ L4 e需要熟悉这两个软件。
1 Y0 [5 H$ q( d) ^" ?

四、图论算法
# f  e+ X# C4 n这类问题算法有很多，
6 G" s0 V. ?% B* |8 b包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
+ d, H2 N5 S! c2 r
! j& ~4 L) x# f* S关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
" G. _/ o8 \7 d0 ~$ ?- c-----------
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
% v/ a1 p3 s9 I& N, `7 k, m9 R" whttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
% g. X1 C) Z  e/ g+ @更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

" i/ f" T% S+ I5 B# f, n
五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
/ ]- l# G* V5 ?$ \2 v2 {& d在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
. x9 A( E' D! p, p' G9 A此外 98 年 B 题体现了分治算法。
7 S! s/ _" g  ?$ F: z0 L
7 L4 b; I& t- R这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

* I) Q5 S( H2 V1 y; |4 h
六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
8 b6 r) ?* G7 O+ [% N6 M3 N这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
+ I" M6 D. |* F2 r( J7 [在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
0 q2 _1 E8 L" L* Y" h. y03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
0 x* M1 G: _. V  }: f, Z
2 K9 F/ G7 C. z/ x/ [  `. E, T0 O4 K8 C另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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) s: Y6 z4 _* Y1 ^; y, W2 K经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx

其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
# l* F( ]4 ?. H  g

( ?. c" j) Q. l七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
& b( E1 i$ ~/ z2 |那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
$ f% w+ h7 \5 O0 k* ?6 ]/ |
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
4 W! q9 y+ a" y& X穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
$ I# {* y! K( Z6 O& |. y

八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
" P9 h! k" a* P# M! w中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。

这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。


/ M/ X1 ?# r0 l" E& f& _, B九、数值分析算法
7 {: U6 V8 ^. ?! }0 Y数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
算法。
  J" U% |$ C! f' z) {3 Y如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
% c7 V$ K' k( m) a8 Q7 M- U, ]因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。


十、图象处理算法
& e4 X. Y% D5 j# u' M! I( s7 x在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
- Z3 Z1 L* N" u2 S计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。

0 N0 b' I+ c) _( R9 N此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
http://download.csdn.net/source/3007336
  O3 G. }( y# D0 ^* O2 W3 Y
本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
$ a' z* O/ P( n% m完。


作者声明：
本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
  c9 p7 r9 q- x+ {3 x转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。

jiajinshan110

多多学习吧~！！！

haoxufei

，，，，，，

haoxufei

好、、、、、、

haoxufei

还好还好还好还