数学建模十大算法漫谈

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数学建模十大算法漫谈

作者:July  二零一一年一月二十九日
6 Y' B$ g" }# P% K1 l' N3 B' ~/ [+ Q本文参考：
) }. P' J; d  D2 p) P5 q6 P" _I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
8 V5 n' z5 k: h" |  HII、 本BLOG内 经典算法研究系列
$ h$ C$ V6 e+ U! B0 `9 Y. u8 qIII、维基百科
6 J) ?1 o" ?# f* h------------------------------------------
博主说明:
7 P- u1 [: {$ I! A5 @  q: x9 C1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
# x9 P9 Z$ I$ M  P- d! i  Q! p这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
# b: {( x; O! B' Y  f  |2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
# C: d& B$ m8 e! ~且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
6 U% V, p/ L, s* d$ R/ x) Q: Z" |3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
6 c6 n. o: H. s2 X/ }/ @若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
3 C6 H2 c. p% w3 b6 J8 H谢谢。
, J6 C- D  h3 b, I* S  E

一、蒙特卡罗算法
/ T' ~" |1 p1 y' |; c9 X! Z1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
2 A. J% _8 j2 Q* ~# L共同发明了，蒙特卡罗方法。

. [1 m$ U& @6 q. ~5 [. m此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
5 m$ e) q2 F( ^: g0 t# shttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

2 ~  ]2 _  _! a9 t9 b9 H7 g. E! K7 m蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
" Q5 s1 _: [+ _  n) I2 P/ z4 }法。
9 b; C& p. x2 B" F7 }# e
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
为问题的解。
/ u* A! T- }, R  }6 G% U7 Y
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
' c0 T4 [; j  n假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
6 n* }2 A$ d! M3 R度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
7 K8 O# d2 s- _8 W8 a后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
( d2 z; E$ X7 Z- n5 `
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
( I$ n$ d1 ?. @+ y! S拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
近似解。
( x; e$ c- T! C2 |3 [
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
, s/ ]. u3 Z. m+ m8 H4 q蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
& B( i* m* s9 Q+ gI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。
+ j- Z1 C; O) w. L0 H此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。


二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
( K5 M( l, {( v数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
0 e4 M, b# Y5 Y吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

: I7 N8 z1 o! T2 f  s( P% s此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
, R; g2 g+ ~) X9 f; I0 d+ V% C2 J

0 m2 n; d; O3 |) E3 P- X三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
# I* W  |' W9 u5 ^) a+ D: |4 k、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
+ c' ?/ k2 P5 e7 w6 M完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
* z6 P; }) p4 b; F7 D+ [需要熟悉这两个软件。
/ k, I. v" g" m

四、图论算法
这类问题算法有很多，
, J: u; u. W3 q% C包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
/ f3 Y1 m! t, F/ O. w
. u6 g# S/ v) Q关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
4 C1 h: L* ]$ r: S$ }同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
: y/ _0 P9 h0 y7 q更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

# E) [9 _: q: b* t9 @
五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
% z, |. \% G  x1 y在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
, i0 y) V* t, q: c8 c此外 98 年 B 题体现了分治算法。
* ^7 z& h( V, r/ |6 ~, s  X
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
, |3 d5 p. r4 K0 D3 G- Y

) v% u/ L5 i5 ?% }1 S+ [1 [六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
  K* H& ?0 f; }6 k) L4 `以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
3 E' @. W+ k# Z' [* E; P/ E说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
% m, [6 ?  `! ?" h/ v0 i! Ehttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
  d9 \; S1 ]8 K  O8 D
+ H# X8 b& C# z7 Z$ }" G3 `其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。

/ L  |* k) Z' [# O
0 V0 p# k( H& {* X5 Y: f七、网格算法和穷举法
* [- u" W* e( W* P" Y2 e1 K网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
8 @  M" A& @8 c# |& @/ ?4 W比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
, o- Z, c" R" C比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
8 S" {$ G8 U1 h! |$ Q) v, T
+ b2 H% |! s% ]$ p4 ^: L+ G在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
. i7 ~4 N. {' }1 f  w快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

9 [( H1 T) k* l4 G
八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。

6 a% x0 r2 `# ^# ?9 l, W, R这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
+ N5 o$ a. Q% W事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
( Q1 l& Z: \0 j4 Z6 U
8 m/ |) U* _' u1 x! y' v* ~* k
8 P% p" t0 b3 F' H& X7 u九、数值分析算法
4 V$ S7 q/ l' Y. N# }数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
' |! g8 B, P5 b1 P函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
/ l8 d$ c  j+ x5 e. E因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
" y$ f+ m; F. s& Y6 X

十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
+ R0 n+ m3 F, H+ p' E( R8 \* O计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。

此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
http://download.csdn.net/source/3007336

本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
9 U1 c6 }9 n/ A9 l' j2 z日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
完。
3 M/ B" L4 {1 ~) i
! e/ v9 z( g$ [0 c, x% Z' B' E) Z
作者声明：
本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
4 X4 s4 b1 i2 f  Z8 a" D! q1 @$ b转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。

jiajinshan110

多多学习吧~！！！

haoxufei

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好、、、、、、

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还好还好还好还

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啊啊啊

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长城长

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