倍立方求作探索

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（一）分割一倍体
( n, k% [/ I) @" K( i$ d8 t设一倍体棱长为S1，用圆规将S1分成四等分，每等分用a表示，即S1=4a，如图一所示，将一倍体12棱都分成4等分，如图连接各对应分点，得64个边长为a的小正方体。2倍体体积应为64×2=128a3，怎样求作已知正方体的二倍正方体呢？下面是倍立方求作探索。
先分割一倍体。
0 t& U( b8 U9 G8 @. m3 E将图一分别沿A1B1C1、A1B1C1、A2B2C2分割成四板块，分别编号为①②③④，再将板块④分成四根长条，每根长条体积为4a3，还要将四长条之一分成两段，一段是边长为a的正方体，另一段是底面积为a2，长为3a，体积为3a3的长条。

2 t2 w# c1 W7 ]) o" p（二）将两个一倍体组合为一个二倍体
先作一个如图一所示正方体同样大小的正方体，再将图一分割的部件贴在与图一相等的正方体三个共角的面上。
1 A+ R6 }2 E7 S1 n0 S# p如图二所示，□ABCD表示与图一正方体相等正方体一个表面，其边长S1=4a。
图二中①②③分别表示图一中①②③三板块，其中①②表示两板块正面，③③表示第③板块两个侧面。
图二中划斜线的部分表示第②板块两个侧面，划波线的部分表示第①板块一个侧面，划O的部分表示一根长条的一个端面，划X的部分表示一根长条一个侧面与一个端面，还有一根长条与一个边长为a的正方体用于补缺口。缺口隐匿在图二后面，没有显示。图二的背面，没有贴正方形板块，只是一倍体一个面的裸露，需要填补两个缺口才能成为边长为5a的正方形，一个缺口是长为4a，宽为1a的长条，另一个缺口是边长为a的正方体。

按上述方法堆砌后，构成一个边长为5a的正方体，按上述方法堆砌后，由图一分割而成的三板块四长条还剩下一根体积为3a3的长条无处安置。
* e- X  O9 \% r) \棱长为5a的正方体体积为（5a）3=125a3
: t/ w1 C, l% F( p7 \  W' N- A棱长为4a的正方体体积为（4a）3=64a3，其二倍体应为128 a3。
2 S; I( S: ~. S128 a3-125 a3=3a3
& m+ b5 P: G0 c$ @3 z! t! y# u3a3之差，正是剩下的，无处安置的一截长条的体积，说明计算结果与砌图结果相同。
下一步的问题是怎样将3a3容入（5a）3的正方体中。
; G0 F6 ~7 t2 V; Y方法是将3a3展开成长10a，宽5a的长条贴在棱长为5a正方体相临两面。
1 X6 x* C, j/ z8 M因长为10a，宽为5a，得长条底面积为50a2。
设长条厚度为X，得50X=3a3，得X=0.06a。
但当X=0.06a时，正方体之长、宽都增加0.06a，正方体高未增加，当一倍体贴上长条后，正方体不成正方体了，故必须通过减少长条厚度，增加长条宽度，以增加正方体高度。
; y* b; b8 o- S& R经测算，长条厚度以0.04a为宜，即以一倍体的 S为宜，当长条厚度为0.04a，正方体棱长为5.04a。
（5.04a）3=128.024064a3，比二倍体过剩0.024064a3
过剩原因是长条厚度过剩。
9 J4 v( ?9 G- q# R0 K, [（三）用自然数检验二倍体
上述二倍体的求作是以a为一倍体的 的关系求作的，a不表示长度，只表示一倍体的 。现将a设为自然数，检验二倍体求作是否有误。
  K4 O8 I! z) q6 p2 X6 V! O7 U3 G先设a=1cm
1 c/ W/ n6 x" ]* Z. k. A) }7 L- y由（4a+1a+0.04a）3
5 t9 J* e" V2 P/ @9 l- c4 x2 e4 `+ O得（4cm+1cm+0.04cm）3=128.024064cm3=128cm3
. J6 K: q3 n5 L9 P' l再设a=2cm
3 u( n2 y& q& t/ ?由（4a+1a+0.04a）3
得（8cm+2cm+0.08cm）3=（10.08cm）3=1024.192512cm3
=1024cm3，即得一倍体的二倍方。
) X9 y9 |9 j. |& z4 ]以上两例，用自然数表示一倍体边长的 ，结论是整数部分正是一倍体的二倍，用去尾法取值，都可得到二倍体的准确值，这种关系提出两个问题。
（1）一倍体棱长与二倍体棱长存在相互关系。
（2）为什么要用去尾法取值？
下面讨论这类问题
2 G; \' F4 z& I  g1 ~（1）一倍体棱长与二倍体棱长关系
5 }* k* j4 C- }8 g% |  B+ T设一倍体棱长为S1，二倍体棱长为S2。
; Z; o; b  P) m' ~0 m! j3 DS2= S1+  S1+  S1
上述关系式有公式效益，暂且称二倍体棱长公式吧；利用这种关系可以快速准确地求得已知一倍体的二倍体。
6 u3 t. S6 E6 a3 c) _* |" L例：已知一倍体棱长为4cm，求作其二倍方。
  h5 Y4 P& O  ^4 S6 N& y解：由S2= S1+  S1+  S1
1 L0 D9 k; P2 d" g得：S2=4cm+1cm+0.04cm
; `" L2 y" r, j# y1 g     =5.04cm
  d0 r! Z8 a) @9 f其二倍方为：（5.04cm）3=128.024064cm3
! Y) i. d5 d1 i5 {8 a; C用去尾法取值得二倍方为128cm3
（2）为什么要用去尾法取值？
8 |* T6 G  r7 D: ^8 M2 @# k因为S2= S1+  S1+  S1的公式中  S1存在过剩问题，二倍体=128.024064cm3中的小数部分，是由  S1的过剩而产生的，用去尾法取值，实际是还原到二倍体的实际体积。
（3）舍去的过剩值占倍立方的百分比是多少？
回顾前文所述实例：
其一，已知一倍体棱长为4cm，求得二倍体为128.024064cm3。取128cm3
舍0.024064cm3，0.024064cm3/128cm3=0.000188，约等于十万分之19，不足万分之二。
; P! Z; U& v* w( l6 y其二，由已知一倍体边长为8cm，求得二倍体为1024.192512cm3小数部分与整数部之比为：
0.192512cm3/1024cm3=0.000188，约等十万分之19，不足万分之2。
（四）倍立方求作简化
如果只限制尺规求作倍立方，允许刻度尺测量一倍体棱长，利用S2= S1+  S1+  S1的关系，求作二倍体，难题不难了。如测得一倍体棱长为8m，由S2= S1+  S1+  S1的关系得S2=8m+2m+0.08m
S2=10.08m
二倍体=（10.08m）3=1024.192512m3
舍去小数点后面的数，得二倍体的1024m3
1024m3正是一倍体（8m）3的二倍
误差同样是十万分之19，少于万分之二
7 L: |* z) V4 ?$ r6 R如果测量一倍体不准用刻度尺，可用绝索测量，将等于一倍体棱长的绳索对拆分四等分，再将等于一倍体棱长的绳索分成100等分，取其 ，将一倍方棱长加一倍方棱长的 ，再加一倍方棱长的 ，得二倍方棱长。
利用二倍方棱长公式，同样可作出二倍方，这样作出的二倍方，同样是误差约为十万分之19，不足万分之2。但这样作出的二倍体，不用长度单位表示长度和体积，要用a表示长度和体积。
1 U7 h) X, e, S5 C1 _1 v（五）说明：
, R- L2 q! U. L当一倍体棱长为二、三位数时，二倍方过剩值可能出现在整数部分，但过剩值与二倍体的比仍然等于十万分之十九左右，仍然小于万分之二。
* P. P! B% B5 ^$ `, {8 d1 x+ u例：已知一倍体S1=16cm
由S2= S1+  S1+  S1，得S2=20.16cm
二倍体V=（20.16cm）3=8193.540096cm3
一倍体V=（16cm）3=4096cm3
% d4 f; _- w( f二倍体V的准确值是4096cm3×2=8192cm3
过剩1cm3。
+ W1 w, W4 Q+ I$ P这种过剩就是过剩值出现在整数部分的表现。但过剩值（包括小数部分的过剩）仍然少于万分之二，约等于十万分之19。除去少数部分的过剩，在整数部分的过剩一般在万分之一左右。碰到这种情况可用两种办法处理，其一，允许存在误差，因万分之一左右的误差微不足道；其二，通过校正，消除误差。
以上论述，自认为主体是正确的，缺点错误难免，希网友、专家学者批评指导。希相关数学杂志社、出版发行单位通过电子邮箱或书信联系。

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" P( d+ I2 r1 u2012年7月31日定稿