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尔顏

A题：GPS定位问题
GPS是英文 Global Positioning System 的缩写，即全球定位系统。GPS 的空间部分是由24颗卫星组成（21颗工作卫星，3颗备用卫星），它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上（每个轨道面4颗），轨道倾角为55°。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。图A.1给出GPS卫星的示意图。
2 y* b, x7 W) @2 b, Q  
# p  `5 {7 P+ E& N; G$ W) i. U4 ^图A.1：GPS卫星的图片         图A.2：车载型GPS信号接收机
6 @! {% O- K& t$ x- b$ Z+ ^/ xGPS的用户设备部分是GPS信号接收机，它的作用是接收GPS卫星所发出的信号，利用这些信号进行导航定位等工作，图A.2为一款GPS信号接收机。
& o  F9 |. Y' tGPS信号接收机能收到GPS卫星发来的信息，信息由GPS卫星所在的空间位置和GPS信号到达地面接收机的时间组成。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定，为简化问题，这里假定它是准确值。GPS信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟（铯原子钟）和地面接收机上的时钟（低成本钟）决定，所以有误差。由GPS卫星上的原子钟与地面GPS标准时间之间的误差称为钟差，钟差是未知的。
设 为第 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标， 为GPS信号到达接收机的时间。所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O与地球质心重合，Z轴指向地球北极，X轴指向经度原点E，Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系，如图A.3所示。               图A.3：地心空间直角坐标系
表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置，表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。
$ n% y, R. \. x$ [表A.1：卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里）
7 C6 l+ |8 G5 c7 K( o, i卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标
卫星1        8747        15150        10100
" x1 u8 [  ~. U/ z: C8 D0 v卫星2        －9756        16898        5228
卫星3        0        10100        17494
6 f4 ?! s% O8 Z2 o卫星4        －12370        7142        14284
" m7 A: P7 M+ \8 Z
. J8 G( R0 ]( z1 J" ]/ X) F表A.2：四颗卫星的GPS信号到达四个地点的时间（单位：秒）
地点         



( ]* s" U& a+ m" ?+ \
7 d( c/ t( i4 ?1 ?" E地点1        0.0549354        0.0489226        0.0491307        0.0489244
" L. q6 \$ @( D" |地点2        0.0549906        0.0490084        0.0491953        0.0490126
地点3        0.0552587        0.0493557        0.0494843        0.0493610
8 x& K5 R+ W6 ~+ R# _! P7 Q) R' i地点4        0.0551766        0.0493397        0.0493486        0.0492496
$ g  G/ l7 R3 D( e, c9 |; ~你所要完成的问题如下：
1 O# p7 @( ~; _3 x3 p/ K; L1. 建立相应的数学模型，确定出上述四个地点的经度与纬度，并在地图上标明它们所在的位置。
4 j9 b: _$ [$ {/ E8 Z2. 在通常的情况下，地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号，对于多于4颗卫星的情况，你将如何修改你的数学模型，使得定位更准确？表A.3给出第5颗卫星的位置，表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。请用你提出的方法计算出地点5的位置（经度、纬度，并在地图上标出）。
; T# e4 ]' t& k/ P1 O2 @表A.3：第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里）
- a" o$ g4 I$ G0 w8 \" D/ y卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标
卫星5        －7669                     15723        －10100
. l' k2 K0 G* ~# V5 _
# t6 a3 F* q) O. L% D8 o' d表A.4：五颗卫星的GPS信号到达地点5的时间（单位：秒）
/ J4 S) M/ h8 E3 _4 c地点         
9 p3 z- E/ Y( U3 J# n

- G" ?5 j  n$ E+ K/ d5 \
4 n0 u4 x1 d, h. X. u) L7 m

! \3 v: s* a  ]& ]8 G6 u3 X6 E$ s地点5        0.0547118        0.0489472        0.0489068        0.0488635        0.0633407
) \" O  i+ s$ N# Q3 y& D注：地球半径近似为R = 6371 公里；光速为c = 299 792.458 公里 / 秒。
, b* R* L2 m- m  F% w- L. A（注：2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛）
$ U+ L7 K( c- _0 Y7 K, Y+ @