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同素理论与哥德巴赫猜想

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    发表于 2012-9-4 21:00 |只看该作者 |正序浏览
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    同素理论与哥德巴赫猜想' w7 V- O8 \+ X4 b& l  M7 l
    杨天生
    ( Q3 g  r0 E" kQQ:784177725* l' H+ |) a8 C4 L$ N3 O
    邮箱:yangtiansheng68@sina.com# c9 L) n  ~: c1 e) v5 e& s
    摘要:1同素理论:一个自然数a和另一个自然数b,如果有a+2m与b-2m[或a+(2m-1)与b-(2m-1)]同时为素数,我们就称a和b关于m同素;2 z# _* R- l1 n# V
    2、对于自然数a(a+2<b)如果与另一个同奇(同偶)的自然数b,有M(a,b),则M(a+2,b)也成立。
    " J" F4 w4 C. k/ P3、对于奇数a,b(a<b),如果存在非负整数m,使得(a+2m)与(b+2m)同时为素数,则称a,b关于m增同素;  x% ~, K/ Y: n1 }
    4、对于两个奇自然数a,b(a<b),若M+(a,b)成立,则M+(a+2,b)也成立。当a≠1时,其逆也真。5 C, `8 B5 B6 G& v& s) Y0 J
    主要方法:数学归纳法9 `9 E, Q0 f  e
    关键词: 同素   增同素  同素定理  增同素定理
    " F* L) L7 D# }8 [1 B3 H+ [
    / Y( [2 }' ]+ W7 j7 Y正文:
    + b  {" q! Z  }: f$ i我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究,认识了自然数的整除性,奇偶性,总结了许多规律。其实,自然数还有一类重要特性——同素性。
    . w. X6 o9 I1 F1 t% E4 T一、同素的相关定义9 a) @/ h3 q$ r$ K& X+ G% Q* O
    观察下列关于自然数的算式:7 N5 ~/ p. {& Z8 o& {& L: w4 c
    给定奇数1和45,有:
    4 u3 o. F4 P  M! `; G( D- a' p: D1+2x8=17(素数)、45-2x8=29(素数); B$ \' }% D- W9 j
    给定奇数9和123,有:
    : W/ @5 ?% a+ `8 p9+2x11=31(素数)、123-2x11=101(素数)6 K7 j/ H- e/ V- O* f; V& _
    给定偶数数12和94,有:7 D" r* Y/ z/ X5 H: a- d8 u5 a* h
    12+(2x6-1)=23(素数)、94-(2x6-1)=83(素数)
    : t5 q! a4 Q. }2 i4 V……- ~1 e( q7 ]0 p6 ~' f+ E/ l# V
    定义1、一个自然数a和另一个自然数b(a,b同奇或同偶,a≤b),如果有a+2m与b-2m[或a+(2m-1)与b-(2m-1)]同时为素数(m为非负整数),我们就称a和b关于m同素,记为M(a,b),m称为a和b的同素模,a=b时称为本同素,a≠b时称为异同素,a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0,同素模有可能是一个或多个。* j8 p4 v1 t: U( Q$ ^. B- P+ R
    特别规定:M(1,1),M(1,3),M(2,2)没有意义,即M(1,1),M(1,3),M(2,2)不存在。- X& S/ C: x+ a2 g3 `
    另外,在M(a,b)中,M代表同素变换,不代表任何具体数,m为一具体数,但不固定唯一。
    % L8 T7 K, c' h3 a3 d我们根据同素的定义,容易理解M(a,b)成立时,M(a+2n,b-2n)或M(a-2n*,b+2n*)(n<b/2、n*<a/2)也成立。  C2 x- A3 ?0 ~! ]: d
    定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b),如果存在非负整数m,使得(a+2m)与(b+2m)或【a+(2m+1)】与【b+(2m-1)】同时为素数,则称a,b关于m增同素,记为M+(a,b)。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+(a,b)成立时,均满足a≤b的要求,不再特别注明。
    3 p/ q% C3 m! L: Q. p5 {# k例如对于奇数1和5,1+2*1=3(素数),5+2*1=7(素数)# j+ g$ f  h# Y! A: }5 v
    所以有M+(1,5);对于奇数15和43,15+2*2=19(素数),43+2*2=47(素数)所以有M+(15,43)。
    5 u# S7 z2 e* K( M6 e; F由于素数有无穷多个,显然任何奇数本身满足增同素,两个素数永远满足增同素,其最小同素模为0。$ ]- ^. T  h: V
    根据增同素的定义,容易理解当增同素模大于1时,如果M+(a,b)成立,则M+(a+2,b+2)或也成立,其增同素模为(m-1), M+(a-2,b-2)也成立,其增同素模为(m+1)。  X; h+ R4 k  f& S4 B6 d
    定义3、给定素数a,b(a<b),如果b-a=2,则称a,b为孪生素数。6 v6 L7 |% d& t# D2 J' W: ^
    定义4、给定素数a,b,c(a<b<c),如果c-b=b-a=2,则称a,b,c为三生素数。
    + W1 U1 X! n# M- l1 v& l定义5、给定素数a,b,c,d(a<b<c<d),如果d-c=c-b=b-a=2,则称a,b,c,d为多生素数。
    # O1 T* p6 G  a7 g9 }" y2 K二、同素的性质5 O4 \5 r# U9 W& n. Z
    自然数同素有许多有趣的性质,下面举出几例。4 u8 q( y& j7 h: _" \
    1、同素定理:对于奇(偶)自然数a(a+2<b)如果与另一个同奇(同偶)的自然数b,有M(a,b)成立,则M(a+2,b)也成立。
    2 K- _7 A& S6 Y' `9 S( D证明:先证明同奇的情形。为了叙述的方便,我们不妨先讨论a=1的情况。
    5 q& x+ P# E8 d2 X, C+ ~2 P3 y. {①、容易验证:据M(1,5)有M(1+2,5);据M(1,7)有M(1+2,7);……   ,据M(3,5)有M(3+2,5);……。
    , w( z  h$ U9 k2 S& x1 ~②、假设当a=2k-1时,上面定理成立。即M(2k-1,b)成立时,有M(2k+1,b)成立。那么当a=2k+1时,有:: v8 K  Y6 H2 @# S+ H) e/ J; S1 S5 |
    ∵M(2k+1,b)% f$ R  P; y( L0 y2 ?
    ∴M(2k-1,b+2)
    ( r* r) i/ X" j1 D5 M∴M(2k+1,b+2)
    ) U. o0 _3 ?0 t! @* F∴M(2k+3,b)( V  t0 l% ^) e' U
    即当M(2k+1,b)成立时,有M(2k+3,b)成立。
    . i$ {) k6 V3 t5 H/ b综合①、②,由k的任意性可知,对于奇数a(a+2<b),如果与另一个奇数b,有M(a,b)成立,则M(a+2,b)也成立。7 g3 Z/ `% D$ g/ {
    同理可以推出a,b同为偶数的情形。
    ( ~0 w  ^3 b& P6 g/ Z4 p: A综上所述,对于所有自然数,如果M(a,b)成立,即M(a,b)有意义,则M(a+2,b)也成立。1 }* K3 J& A: G& n4 m- ~$ X
    2、增同素定理:对于两个奇自然数a,b(a<b),若M+(a,b)成立,则M+(a+2,b)也成立。: P% b$ e8 M$ u
    证明:(1)、显然由M+(1,5)有M+(3,5);由M+(1,7)有M+(3,7),……;由M+(3,5)有M+(5,5),M+(3,7)有M+(5,7)……;0 `* p: Q# u/ L% F# D! J
    (2)、假设a =2k-1时上述定理成立,即M+(2k-1,b)成立时,M+(2k+1,b)也成立,那么当a =2k+1时,显然由M+(2k+1,b)可以得到:
    ; e; c0 {8 z3 j4 q: S, M∵M+(2k+1,b)6 J% f% }) t+ r' M2 d8 J4 t9 K
    ∴M+(2k-1,b-2)+ Q  R5 B: V4 q
    ∴M+(2k+1,b-2)
    , g5 [$ N6 K/ {- A6 ?( z0 t4 L∴M+(2k+3,b)
    ' I/ b; V" i4 r0 K( s0 F# i
      V9 ^% b$ ^* @; s' Y由于素数有无穷多个,那么选取适当的素数c(c>2k-1),在小于(2k-1)的范围内任取一素数d,显然M+(d, c)成立,根据假设,有:M+(d+2, c),M+(d+4, c)……,M+(2k-1, c)也成立。- J* A9 O' k' e* C5 N. [) _
    由M+(2k-1, c)得:3 a0 u/ N, ^- G4 _' j8 v
    M+(2k-3, c-2)
    ; k; B, G( j4 f1 l8 [$ W∴M+(2k-1, c-2)
    ; y1 D( r) ?8 F2 @# }∴M+(2k+1, c)
    % [3 ~/ d8 f& t+ _由k的任意性知,对于两个奇自然数a,b(a<b),若M+(a,b)成立,则M+(a+2,b)也成立。
    ( A' Q5 b. [/ g0 A下面我们再来证明当a≠1时,其逆也真。# m- X' O' k# A$ z
    (1)、容易验证,当M+(3,5)成立,可得M+(1,5)也成立;当M+(3,7)成立,可得M+(1,7)也成立;……当M+(15,27)成立,可得M+(13,27)也成立;……
    : H  q. z  q7 d: s, {. v(2)、假设当M+(2k-1,2k+x)(x为奇数,x≥1,k>2)成立,可得M+(2k-3,2k+x)也成立,那么当于是M+(2k+1,2k+y)(y为奇数,y≥3)有:6 o2 S1 ^) S. k$ r
    M+(2k+1-2,2k+y-2)即M+(2k-1,2k+y-2),根据假设有:/ ~" Z+ H# ]- V) \* ]' n
    M+(2k-3,2k+y-2),而k>2,故2k-3≠1,
    ( b1 h. Y+ g! s: J7 k∴M+(2k-1,2k+y)1 G5 K" y" a" [/ ?4 b5 v- Y4 m
    由k的任意性知,当a≠1时,其逆也真。) i% G/ @% t: Y- _) q# v
    推论:自然数中,所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
    ' s7 _1 D# Z1 j. ?: F, w$ Z证明:先证同为奇数的情形:0 z5 Z9 x# A' F
    (1)容易验证,M+(1,3),M+(1,5)……成立。/ Y; N3 u( e* @9 {9 F
    (2)假设M+(1,2k-1)成立,那么根据增同素定理有:
    , `# t3 Q& B) y7 A8 TM+(3,2k-1)M+(5,2k-1)……M+(2k-1,2k-1)也成立。而M+(1,2k-1)成立,故M+(3,2k+1)成立,
    # o# H# ]8 w2 |/ I∴M+(1,2k+1)
    1 d  `1 V! f$ ~' w∴M+(3,2k+1)
    ; j" N5 `/ @; I& a……( \; U6 z" d/ U( \
    ∴M+(2k-1,2k+1)$ g1 x  E7 `3 A/ n3 n0 ~
    又∵奇数本身永远满足增同素* f/ j' w* f' S
    ∴M+(2k+1,2k+1)
    ( I: ?  V) `& J( Q4 H由k的任意性知,自然数中,所有奇数两两增同素。9 k! `5 ~8 A8 K* R2 Q1 w
    同理可证同为偶数的情形。2 ^! l& }8 c( {
    三、同素理论的运用举例5 q' U+ K% G+ m. U* `( x
    1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
    1 t! H8 V2 \  U8 ^% t( P已知:2n(n>2)' M; i  F9 h0 T7 v
    求证:2n=p+q(p、q为奇素数). [% ^; P# c) p6 b- o& r$ g
    证明:∵2n=1+b(b为奇数,b>3)$ S! S) |7 b& Z9 O- S- E
          M(1,b)成立
    5 n! M4 [  Y+ r# q      即1+2m与b-2m同时为素数
    ) b; L5 A* l5 v' k- k3 N∴2n=(1+2m)+(b-2m)
    ; a3 G5 w" M( j! P" L+ L2 _令p=1+2m,q=b-2m,有:
    7 A6 q/ N, J4 E. M9 L2n= p+q(p、q为奇素数)+ o' @" }( R! U# l4 j) v6 T7 j6 d
    推论:任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。* \! F) p$ D' L6 K9 _2 e
    事实上,任何一个大于7的奇数,一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和,而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和,故推论成立。
    / y9 E/ A1 |! b9 @/ C2、孪生素数有无穷多对。
    $ a% W! a$ C2 [" A证明:假设孪生素数仅有有限对,那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a,b(a<b),, i2 E: c% P4 G" a$ Q) Z
    ∵M+(a,b),故存在m>1,使得:
    2 b: F! j& f. [; ^7 ^2 a∴(a+2m)与(b+2m)同时为素数
    ! V( n' c) k' Y9 v( y而(a+2m)-(b+2m)=2" P8 ^, e  V: f# R
    ∴(a+2m)与(b+2m)是孪生素数。) k  N+ Q0 D* h0 E' S
    显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
    # J' s7 }9 n+ {. Z1 z5 m推论1:三生素数只有3、5、7一组,多生素数不存在。3 }+ g0 h6 B1 [4 k0 A/ R+ ^
    假设除3、5、7外,还有另外一组三生素数a,b,c,
      S) ]9 h- X% h7 y7 ~' D: }+ p则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1,则b能被3整除,与a,b,c是三生素数相矛盾;如果余数为2,则c能被3整除,与a,b,c是三生素数相矛盾。因此,除3,5,7外,没有其他的三生素数。0 S! |' y$ L4 O% V0 b
    同理可得,多生素数不存在。" }" ]' P; H3 n2 B9 j- ^1 ?3 M8 h
    推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。- f, _6 v# b- F
    证明:任意给定偶数2n
    & k( c9 q6 e* u∵M+(1,2n+1)成立;
    ( Z& T1 |% b% Y$ f, m* n: X6 \∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
    1 G  o6 I: a" g- x# ?- }有(2n+1+2m)-(1+2m)=2n4 A: A9 T% O  J7 K

    $ {8 I5 @6 K; x+ I* Y参考书目:1、《中国大百科全书》数学卷,华罗庚、苏步青等主编,1988年11月中国大百科全书出版社出版,P628-P629。
    3 z. W7 \8 k( ^( P          2、陈景润《初等数论》。
    8 a- Q  Z- S) S( O- Q9 E0 e9 w" |
    zan
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    ' Z- d( g9 o6 c' B6 ^, g7 p
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