同素理论与哥德巴赫猜想

马路人群

同素理论与哥德巴赫猜想
9 {" n! T- ~5 G- G, _杨天生
$ a0 D- K; ~4 qQQ:784177725
邮箱：yangtiansheng68@sina.com
摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
* s8 {, ^. i- k, p4 h) W2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
主要方法：数学归纳法
$ C3 s$ `" |, |8 k$ A# S" {关键词： 同素   增同素  同素定理  增同素定理

6 q! z( r4 @1 w: y# H' o) N正文：
# a2 A0 O) c" c6 P/ j我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
一、同素的相关定义
4 o: [6 J, c. N' \# T5 f8 A9 j% s观察下列关于自然数的算式：
给定奇数1和45，有：
. V3 ~1 }; h0 y1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
给定奇数9和123，有：
, ]2 r, `! w' h4 C. B4 J2 S+ H' I9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
给定偶数数12和94，有：
12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
……
定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
1 j+ j, S2 _+ y另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
" q+ H6 D& ]& p由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
5 E6 i/ G4 D( A# w7 k' S$ W定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
8 B8 @" T$ T$ L5 I7 w& G定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
# E6 P( h2 t3 L' V$ M( y: f二、同素的性质
3 L4 b6 u# i1 k/ J" x* w2 P$ o自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
3 ~4 T. a* P4 ]- W0 V①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……   ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
) c3 j" ?8 w) D+ [( a9 c②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
∵M（2k+1，b）
8 ^# ~- m4 y1 M! H  U∴M（2k-1，b+2）
& O: R' k5 e6 H) p6 E" C; |∴M（2k+1，b+2）
6 ^4 I4 \( v1 W8 d∴M（2k+3，b）
即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
5 f; t0 C$ d# y! o6 a9 K% D综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
4 M' q& @) q; J5 o- g7 w8 `同理可以推出a，b同为偶数的情形。
综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
5 }) E& `& E( \6 J, u  k2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
5 |$ M# ~; }7 K: ?, p/ M, f8 a5 ?证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
( j7 w6 D# s1 p( P* h& e. h（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
∵M+（2k+1，b）
∴M+（2k-1，b-2）
∴M+（2k+1，b-2）
: Z9 o; m  u' n- ?2 I9 `. x∴M+（2k+3，b）
: @; Y3 _' Z) s2 w) o
4 M. H5 Y8 _; V' p1 i# L* k( A由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
" W: R9 W1 x4 B: c; q+ z+ W由M+（2k-1, c）得：
M+（2k-3, c-2）
∴M+（2k-1, c-2）
% y; M- e5 k+ }% M3 t8 K+ x, M∴M+（2k+1, c）
由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
, v: I% f. y9 C, _* y（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
6 W3 _- W" {' }: zM+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
) w& X: u5 U4 ^& k( Q4 zM+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
∴M+（2k-1，2k+y）
  A2 v5 b# Z2 T# M& u3 Y' b) p! m由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
* @8 K8 q  r$ Z; s) ]/ J! C5 @证明：先证同为奇数的情形：
) L7 t2 M( s9 B% t- K- G（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
) l( W/ g: M& C8 E8 P" \M+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
5 T' J9 q8 V+ [; b∴M+（1，2k+1）
∴M+（3，2k+1）
: ^* o* ]7 u: E, L  R6 \……
∴M+（2k-1，2k+1）
; ]$ _/ b. X, y- e3 d又∵奇数本身永远满足增同素
∴M+（2k+1，2k+1）
由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
! @, ?+ f4 e& I同理可证同为偶数的情形。
三、同素理论的运用举例
1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
# M- |- R, x! B0 x8 _已知：2n(n＞2)
# d* ?' Y5 C# h& W) E" b求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
+ Z% l. |7 M/ E5 m7 n0 ]& I- `      M（1，b）成立
: C# T, O* p$ M/ f- c1 s: t      即1+2m与b-2m同时为素数
∴2n=（1+2m）+（b-2m）
令p=1+2m，q=b-2m，有：
0 {5 a' z( L2 l* A& I1 ?2n= p+q(p、q为奇素数)
推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
1 S$ [( D2 Q  S  B1 D! P4 _) P事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
2、孪生素数有无穷多对。
证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
+ z- `/ N# F: [! [5 y∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
/ f) E- J9 W" r( ~8 E8 z8 }: H" v而（a+2m）-（b+2m）=2
3 C$ o; i4 w3 n$ x0 X2 P" t9 \∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
- D3 [, O# ?' v* b% t5 R+ q1 ~显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
4 j8 ]/ q4 ?1 r假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
同理可得，多生素数不存在。
% \, {3 B' s# N! [7 A2 }推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
证明：任意给定偶数2n
7 C, V# Z# y2 X2 k) D∵M+（1，2n+1）成立；
∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
' h8 i! \* ~) o/ x$ u有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n

) w5 o! v) l+ E: J  r参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
8 @! b+ U: J. d          2、陈景润《初等数论》。

马路人群

同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；

茉稀

请多指教。
" R" Q0 x. ^! f7 z

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请多指教。