同素理论与哥德巴赫猜想

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同素理论与哥德巴赫猜想
杨天生
QQ:784177725
6 {8 f5 r- o, e, `7 m邮箱：yangtiansheng68@sina.com
摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
3 m4 G- e: P$ j, x2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
/ P1 v6 T& b; T  u3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
主要方法：数学归纳法
关键词： 同素   增同素  同素定理  增同素定理

0 d3 u/ b; C7 m$ H/ v6 I$ T. m" b8 u正文：
! e6 x0 r1 S9 w! l, F3 V我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
! \8 g9 ]0 Y+ A% E+ Z8 u2 }一、同素的相关定义
观察下列关于自然数的算式：
给定奇数1和45，有：
: T1 S2 }$ _4 b" {2 u1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
& V$ y4 Y' I/ B6 V- c给定奇数9和123，有：
) z  W0 N+ Z! i9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
$ D  x) d; G# S2 W! |给定偶数数12和94，有：
& Y( m% y( O' z7 S12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
& @7 G' r7 B7 x9 ]5 V4 E……
定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
- e; T+ f/ _, {. X特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
# ^: Z' u, h  }7 u; o我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
5 W. m) w2 g5 X$ J例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
' b1 s) x1 T2 Q) k9 y1 j所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
9 E- d" ]  {! Q  ^- A, w7 I根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
6 L, o( J4 M/ U& A9 C; ~4 C定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
- R! }+ h7 |8 L% V$ l; }定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
+ |4 F* d9 {$ Y/ f4 z二、同素的性质
自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
5 C$ f2 p2 o/ t' X% x& [) g0 D1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
' @1 w! X5 l: L$ ?证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……   ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
) I* q6 Y6 i% N1 i( K②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
! N  r( G! w! w, ~% Y. D∵M（2k+1，b）
∴M（2k-1，b+2）
2 A3 V7 h: C- W& |' m6 B∴M（2k+1，b+2）
∴M（2k+3，b）
即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
4 H( W# x0 X' i- A5 O8 V) W综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
' H8 S5 T* Y& E& E' B0 i# a同理可以推出a，b同为偶数的情形。
: Y6 E* F0 |9 L; L% n  i$ ~综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
, O6 H1 b1 m( G' a" W3 S; t! t! _9 C∵M+（2k+1，b）
( ?9 i- f3 v* q: r+ R) R: Y∴M+（2k-1，b-2）
∴M+（2k+1，b-2）
! J/ Z4 B' e! V# f, I∴M+（2k+3，b）
9 _0 u* Z9 |% m; M" U+ z1 t2 p
9 n' z' I! J" s" n: I; `2 B由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
由M+（2k-1, c）得：
M+（2k-3, c-2）
∴M+（2k-1, c-2）
∴M+（2k+1, c）
由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
5 y! v, l7 z" m6 s* I/ i& [  o5 ?下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
* i! z1 Q& |9 e4 r+ s. }" Q" s（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
! l2 M* {( a0 r; N( p) A$ j. H  p（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
4 E) ^7 A* t0 b0 q) ~. nM+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
M+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
! O/ W. t. q4 v- N- g∴M+（2k-1，2k+y）
由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
0 U/ k0 E9 b: E  K' v9 q证明：先证同为奇数的情形：
) n9 E5 I+ b$ |（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
( [; D. A7 Q! I5 y. f* ^% i（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
M+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
9 i1 C' r8 Y, ]4 m∴M+（1，2k+1）
∴M+（3，2k+1）
. R+ s8 p( o$ }0 f8 ?……
$ W, d. e3 O4 `! I/ E* Q∴M+（2k-1，2k+1）
又∵奇数本身永远满足增同素
$ N9 A: x. b- v3 F7 y( W∴M+（2k+1，2k+1）
* W! c2 s' B2 ]- `# U6 z" H; o由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
同理可证同为偶数的情形。
三、同素理论的运用举例
1 N; n9 G- d/ R2 g3 p( P1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
已知：2n(n＞2)
% a. ~3 d7 L. c: K" r求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
- L, h3 p) ?! I/ D5 {/ x$ V证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
      M（1，b）成立
0 g- N8 N* ^# s' c      即1+2m与b-2m同时为素数
∴2n=（1+2m）+（b-2m）
+ D: J& h& t; V6 i7 C: o& L" O2 w/ `! m令p=1+2m，q=b-2m，有：
& x$ N5 T9 y. G2 C: I7 m) j2n= p+q(p、q为奇素数)
推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
2、孪生素数有无穷多对。
  E# k' B4 K9 U' F" f证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
1 k7 i" R+ p. }5 _6 S7 u∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
而（a+2m）-（b+2m）=2
∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
- |. [) \- T# f3 Q) L+ ^同理可得，多生素数不存在。
推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
5 N9 E+ ?) |- a0 o+ L证明：任意给定偶数2n
# ^+ Y4 I. F" z+ e5 b$ U$ K$ l∵M+（1，2n+1）成立；
* O, P4 l9 |# V9 N∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n

2 u' G& [# X% k% N参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
) h) E% m8 Z8 i: u          2、陈景润《初等数论》。
7 C* Y: l7 M( f9 n9 g

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同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
9 |  B2 P& x5 q' H3 K3 i7 R1 U

茉稀

请多指教。

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请多指教。