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合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

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    [LV.7]常住居民III

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    发表于 2012-12-24 16:08 |只看该作者 |正序浏览
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    在自然数列中,除了0、1以外,不是素数就是合数,每个素数与合数都有其固定的位置,而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除,例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项,即:5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除),并且所有的合数都能联系在一起,形成一个等差数列网,这个网,呈上小下大的金字塔状,也可以说像树根状,如果把这个网从自然数列中抽出来,剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中,然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多),豆子与珠子各有自己的位置,根据所处位置看其是否被线串上,就知道是珠子还是豆子,如果把连在一起的多串珠子抽出来,剩下的豆子就看不出规律了,也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置,某一项只要不是合数就一定是素数。因此,要判断素数就要根据某数的特点,看是否存在于合数的等差数列网上,在网上的就是合数,不在网上的就是素数。
    5 D# Q  `* Z! Z0 W& _
    2 D1 f: ]. Y* o; ]8 n7 [下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即:判断任意数)
    9 N4 _, n) M% b3 i+ w  E" M; C1 v6 ?* n* D. M. \! ~: [* D
    M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量,表示被判断数I被2除的整数商(例:I=31,I/2的整数商为15,即:q=15),M、N是变量,通过自变量N(N小于I的平方根取整加1,例:被判断数I=31,I的平方根取整是5,则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值,判断M是否为非负整数,若M出现非负整数,则I是合数,并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对,在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件,就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内,没有一对M、N同时满足非负整数,就说明I是素数。! N8 ?7 y0 B- j% Q, T, [" M
    例1:I=27* K0 n' Q, X. \: g
    因为I=27除以2的整数商为13# Q" J# {, ]2 }7 A! O
    则:由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得:% h" ?3 L  }) W6 V4 l( E+ D
    M=(13-N)/(2*N+1)
    7 [& c, S$ M8 U2 K: YN的最大值为:I=27的平方根取整加1,即:5+1=6, k( |4 Y2 h) s. }: d' f
    当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
    ( ]9 Q: L  e! w. z' C! x4 h  M则:(2*M+1)=(2*4+1)=9' N, T* P$ Y& R9 K
    (2*N+1)=(2*1+1)=3
    # _7 p( O. G& V; R3 l即:(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。( ^% D1 i" z) D
    同理:当N=2、3、4、5、6时# ]3 p( t! {( z' D
    只有当N=4时,才能得到非负整数M=1
    & l6 t1 d- M, t! M) Q1 h! }即:(2*M+1)=(2*1+1)=3
    6 w0 U( N8 X" d! E(2*N+1)=(2*4+1)=9/ B- j1 t5 r  C0 T- E
    与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
      U6 z1 H' ?3 Y5 R# m( [则:说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)' K+ C1 j, K4 B0 ^9 d
    例2:I=318 f0 f5 S: J# C; p
    因为I=31除以2的整数商为15' v# p! s' S/ R8 J* }$ z
    则:由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得:
      n4 R7 S  x9 L0 R% D+ OM=(15-N)/(2*N+1)
    $ P/ o& _8 {$ F/ ~; XN的最大值为:I=31的平方根取整加1,即:5+1=6& ]: S: p' n4 k0 c
    当N=1、2、3、4、5、6时
    4 C1 i" s: ~: m$ r1 y没有一个N能使M为非负整数
    % V1 V2 ~, y) O6 u0 {所以I=31是素数。4 o+ W" ^$ n* U0 \. |. O
    数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序,就是利用合数公式得到的:
    . y7 ]% n+ x* b8 y" Y% u! x4 p1、精确判断素数计算素数个数,及寻找合数因数对
    , a: C( Q3 z$ a" e2、精确计算哥猜数对
    * b* C4 n, ^' e/ f! v! Y: @" y3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数) j; ]7 j/ r, N
    5 D5 w/ ?. @% v, A4 `' v: a
    *用19号程序:判断素数、合数及寻找合数的所有因数对,并且最后输出范围内合数、素数的个数。
    " p' }( G- ~% N. E9 e: W' ?8 |3 T, w5 @" P9 U
    下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对,并且最后输出范围内合数、素数的个数。2 A  v+ n1 \, `8 s5 P; C8 b
    输入:+ H6 \2 q+ N0 C1 F
    用第二选项,E=17,h=111111111,,L=111111999,
    % W$ H" k9 K  p先点击:并行参数开始,有数据出现,再点击:结果开始。
    - C0 k' h# E" }) }5 e# v) p2 g(T下面有X、Y值的就是合数,并且X、Y是T的所有因数对,没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内,素数与合数的个数。由于较多,数据中间使用了省略号)
    0 z) ^; y- A( l3 ?) q! CT=33333333347$ |7 c) _( D0 Q" ]: V) S
    T=33333333377' z5 _9 @2 p1 X  p4 g- J4 j2 d% _" [
    T=33333333407
    ) D- C6 G8 L4 p' F" O  X=3030303037* Y5 e, J! r. K2 u( z3 a% c
      Y=11
    $ ^# ^7 t! c" B" h. x  X=628930819, U- j9 l7 c! H+ Z
      Y=53/ v# a9 U) v- B, O4 ~! P0 y+ e+ m% o& V/ h+ q
      X=571755299 j! k5 }4 y4 r. n; [$ S: B
      Y=583! A8 y3 b" n, S4 [' J* n
    T=33333333437
    7 E8 S* T" l. Q% Q+ x) F$ Y  X=2544529276 s: \7 P2 u" T  x7 d
      Y=131: [' r% m- U! P
      X=163478833 a8 d5 j. {, D+ m  L, g. H% L3 L
      Y=2039# N0 p1 k* _) b: O
      X=267109
    * ~; ?3 f! {6 |. I  U4 H# ^" v& D  Y=124793
    1 s) |) _) y  Z5 k# ^T=33333333467
    7 {( {; J- W- }  y% t  X=4761904781
    1 i" }) k! |2 P, R* t  Y=7
    9 a! N+ Z7 T( f6 s- y3 D8 D  o  X=7092198615 B* e! t6 Z* v1 `  o- T6 W
      Y=47
    5 C& h4 N3 @5 }% T7 [  X=311526481
    % K; X0 m0 b- a) f  Y=107! G+ U! m+ ?6 e
      X=138312587
    $ {; Z* @! b4 M& z- a  Y=241
    1 Q7 Q' j# D6 ]+ [, ]3 l4 G  X=101317123/ a) z  y+ D& n8 `$ |
      Y=329
    ! {# ^* d" }. O, N" Q1 `9 J! F  X=44503783
    $ I; Z! c+ ^  A3 [. m  Y=749# v- S5 _" u+ ]6 Z
      X=197589411 [7 P+ E, n* p. t$ i6 S
      Y=1687
    8 d5 C% ], ?& m$ P  X=8483923
    7 I. w+ e- @" X6 L  Z7 s! C! x  Y=39294 J$ G# G/ N, p9 Z! T! h
      X=6628223
    $ J# }0 ^/ e8 Y9 K  Y=5029# p- u: M. A$ f
      X=29428212 \: \! H0 o2 O7 ?+ g- h: Q& C
      Y=11327
    4 w* c- c; t, @8 o  X=1292641
    7 e8 B; M3 c& D+ O4 n  Y=25787" ?8 p2 o9 [2 Q; B8 c. t; E
      X=1211989
    + W2 Y6 {3 l6 E  e, z# }; I  Y=27503" z2 t! a: s& k4 `
      X=9468897 x6 X; N9 C: a  ]. c# H( ]
      Y=35203, }6 s+ q2 ^0 J/ V  m
      X=4204033 q' T" }/ U& S" c% L: \
      Y=79289- p: F: ]) T$ E$ L
      X=184663- E; x- |* K: n3 |6 X) T
      Y=1805097 D4 r% n8 T3 E9 T8 l! p0 H9 \
    ……; j& _7 |1 a/ V! g
    T=33333335867
    . a& U2 J8 f; y" l0 M  X=2564102759
    / G# Q7 R) \/ H, K) d" v  Y=13& T  k( T: L% ?4 F0 H
    T=33333335897
    9 J; D3 K7 O/ F4 ]% i  X=2886253/ W( t- B0 k& s( P/ u# n
      Y=115490 ?6 K4 e: i1 [
    T=33333335927& w) Y/ z+ _' ^8 @0 R8 i
      X=9009009713 K! Y; @; U- U5 h3 z. Z* S1 p5 v
      Y=370 I5 K7 J2 }; H1 W
      X=1191881
    ' y; Q/ O& B3 P3 ]: `  Y=27967% A* M0 V. a5 m6 V! |6 d
      X=10347797 o2 k+ h9 K7 H& R6 P8 i
      Y=32213$ z) w5 G, v( y9 j% U
    T=33333335957( A5 X" ^4 r* O
      X=1754386103
    5 O# U: Y- J+ G6 {! s# d) S  Y=19
    7 i* b0 f% H3 ]T=33333335987
    7 J3 E# |! `0 y9 O$ D) z7 }  X=4761905141! C% L, S% ^0 ^9 r
      Y=7
    3 ]3 _4 x2 H! O- }  X=680272163; [& ?9 c: ?/ J& L9 @9 p. w
      Y=49+ C! T' `% l+ V/ `% w
    合计:89个  V; t+ N  m) T" m0 V
        素数:11个1 M, L# P. m5 H; J, c. R8 C
        合数:78个
    8 U, Y3 l0 t2 ~; P; D! d! Z! m( R) R0 ^/ m1 K- R) ~* [
    若再选择第三种输出方式(输出的是所有素数及个数)& v: G" {9 S8 B! {: t
    即:
    - K. D% |8 H$ r( t; u" KT=33333333347& y; l# l0 m# ~3 Y
    T=33333333377
    " {9 h# F% w9 z' P+ P) ?T=33333333647
    6 j& v- a( m: v! [. v1 vT=33333333827
    2 @; }  |" S! |5 ^T=333333338575 K, o7 e: x' @. Y5 F- I) }
    T=33333334007
    ( o& w+ r) e% PT=333333344874 Y  e8 {/ a5 w4 M: O6 P5 N
    T=333333349077 C. o$ d# s4 W# R# e5 n$ {- S+ V
    T=333333350274 ?# v2 h* Z* f' I5 G
    T=33333335177
    & X# R, ]* N1 H1 o) L9 VT=333333356570 H, U3 ^5 ~! Y8 o3 {# a2 d  H5 R& m
    素数:11个
      z4 V& d/ n" ]$ b4 g" W' c
    5 R9 o7 I, M9 w; M9 F*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
    2 S7 i; ?. F5 s6 W  }& G8 }
    3 W% @1 ~2 o4 ~# \9 D0 Q7 F用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<1119 A3 `, R6 Z$ k9 }
    输入:E1=11,E2=23,h=0,L=111
    / A) F0 W" N4 E+ w输出:6 S2 q! U) X# }, N! ?5 J% }
    34有1对
    1 R7 r6 }; A/ o   (11,23)! }+ K7 c: n% d5 i  e
    64有2对1 s; a- z; f+ |- G* b- j* B
       (11,53)" `6 }. O- |- b7 [$ [( h. h
       (41,23)/ J7 `) {7 X# u6 T( G, X
    94有3对/ q9 {, {2 T5 U% U) a! O  p
       (11,83)% V! g) d0 V* F- u* D4 J
       (41,53)8 y# E  L( u3 k! Y
       (71,23)0 Y) w  D5 K6 u+ p
    124有4对8 ]5 M) L! K& ^" X
       (11,113)
    " V( v1 A1 z( B7 t: S% M( f. h# [   (41,83)
    3 s: A1 q9 t  k; f# _   (71,53)
    1 Q8 a( C  f2 j, {3 p) Y7 e0 L   (101,23)# W# F# c2 T: q  q' c: t0 t
    154有4对. k$ C4 ?' i# j# J
       (41,113)
    5 C9 R! X4 r4 n* n( f+ a   (71,83)9 [$ x' b' v/ A  k
       (101,53)
    ) o) _% M" [0 B$ j   (131,23)
    + T& \" Y) h9 t3 |+ G# d- ?184有4对0 d3 S2 c( B6 q8 W6 I
       (11,173)
    3 e$ @2 m1 f, x; Q; b* @6 Q) D/ t   (71,113)# K/ h, Z$ T( T, P  v& E" [$ {" ^
       (101,83)+ T# x& R2 m: B/ b  c
       (131,53)# a: g: I/ m( m4 J' w
    214有4对5 S# s  R% u& |% Z. m. v
       (41,173)
    ; S7 r( o0 ^  x* S   (101,113)) C$ Z  H' D8 f4 z( N: G* X! \- v
       (131,83)) G* Z, l5 ~4 l. u% j" R
       (191,23)6 G& w; p4 I1 R! L+ F' l: D; d) }
    ……
      k" v0 L0 S& Z3 s# L4 \& G3324有24对) O( r: j$ M( S0 r* V9 }
       (73,3251)( v3 w2 R+ ~% l
       (103,3221)
    ' R5 A! X1 D$ p# a5 b   (283,3041)0 e8 b* `) ?0 @) \) h
       (313,3011)- z' y4 [4 `& X0 t! d  k
       (463,2861)+ L; F; z* k2 O
       (523,2801)  A3 t. ]) r0 {3 t  o' o0 t
       (613,2711)# `& N1 g/ b' a7 b
       (733,2591)
    ! d+ ~5 ~4 x5 }; O  a   (883,2441)
    8 Y* _1 O1 s, J1 W: G) t   (1213,2111)
    $ X5 N- ?/ _+ j; U, Q$ ^" x, f   (1423,1901)8 g9 L1 S2 y' {# j
       (1453,1871)
    % k( R/ d  ^4 k7 \9 o2 n/ u   (1723,1601)7 s) W4 ?5 q' r2 r
       (1753,1571)
    : _: X9 K/ E2 \, M9 D   (1873,1451): c) R1 l- T% }# G+ x& S- w$ r
       (2143,1181)
    ) i2 }, G/ o+ y2 r: Z2 y+ }   (2293,1031)& Y. p$ Y2 k) m4 [/ \
       (2383,941)
    7 v8 i  v! c8 a2 U7 h. O   (2503,821)3 q  Q; h6 d5 d& ]" F6 G' p+ \
       (2683,641)
    " ]! Z4 y: e9 C0 }   (2803,521)
    # o8 A# f# C+ a1 P; G   (2833,491)) ?; w7 }* D0 P+ Y
       (3253,71)1 X8 `& B3 l& y' \$ [4 L% e
       (3313,11)7 }: b5 g& ?. L& a3 I

    , w4 {+ g$ ^! P; P*使用21号程序:寻找孪生素数对
    $ M2 I+ c7 z  H" Z
    * M: @) i: n7 M7 V/ R: O用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999,
    2 o  g  |2 D' y在程序中输入:E1=11,E2=13,h=111111111,,L=1111119992 E% b5 h$ V, `
    输出:
    3 e3 s  {" C% o8 R) C2 D3333334391,3333334393/ [/ [2 f6 E8 f% |
    3333335771,3333335773
    , U: N5 k) r( T/ T( S3333336701,33333367033 q; X3 A9 E, {/ u2 ~) K/ e- ?
    3333337661,3333337663: E- W% e! l6 h, I( D  ~" C# p
    3333338711,33333387139 t8 B# V0 @( g: G8 H, F
    3333339701,3333339703
    ! D# ^7 y! h/ W3333340391,33333403937 X* e5 Y+ |: j
    3333342401,3333342403& j" H2 t+ e& i1 g3 Y8 X3 S
    3333342581,3333342583
    # M, B% Z6 ^- b3333343421,3333343423
    % b# C2 F8 X6 Z, J# m6 K8 E# w& P! h3333345011,33333450130 S' {- T7 R! t- b6 P; g
    3333346061,3333346063( k, b9 o" E# a
    3333346571,33333465732 A/ w) R# ]& _8 C* U3 d$ d
    3333349751,3333349753
    ' H- e1 @. p8 k3333350201,3333350203
    1 l9 l2 Y' C  q2 i( {3333350261,3333350263% `* z3 j* I$ ?4 n+ J2 l
    3333350651,3333350653& R6 j! k5 ^) b. @1 T
    3333351641,3333351643
    2 l3 i- p, b+ t; I3333353531,33333535337 i9 N; i# z  U! m0 N
    3333355601,3333355603& q: M4 G8 B$ X
    3333358211,33333582139 G3 j5 X) E  Q  Q9 g5 ]' J9 b
    3333358361,3333358363
    ) Z- s' {$ ^7 W3 f3333358781,3333358783
    - l+ |$ z1 A9 z0 ^/ h+ U3333359501,3333359503
    9 n% J$ M' e# Q' `5 p" U+ z3333359591,3333359593( N  r5 M2 M8 S! b
    3333359831,3333359833
    8 u2 V8 G- x8 d- u6 W共有26对
    : I2 m% j  L. d: k/ C" U' o! M) s0 v2 E8 W1 Q) ^
    zan
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