合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)

M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
7 A* p8 a& G# C6 [$ M因为I=27除以2的整数商为13
$ g, Z/ X, g/ D; x$ d1 U则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(13-N)/(2*N+1)
6 D# ^: c4 E" U$ U4 dN的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
! U: P8 \$ P7 ], j' N3 c& o  ~当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
" \% T# o7 \% ]- {" Q4 B& e(2*N+1)=(2*1+1)=3
. c5 }! `- Y: N/ E* g$ a" T9 _1 D即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
, W  G8 n4 Z- g+ k0 F$ F: s1 d同理：当N=2、3、4、5、6时
8 @( N2 `3 d0 m& T! r% ^只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
(2*N+1)=(2*4+1)=9
5 L4 [$ R( Y) A. ]0 a, ]与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
例2：I=31
' J9 Q( z* d3 h) `9 Z因为I=31除以2的整数商为15
$ X6 W# {$ y% ^1 ~: J则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
& g1 w! l/ R9 W8 O: K2 m5 iM=(15-N)/(2*N+1)
0 d* f0 e, Q9 A* `3 J, S3 s5 s3 HN的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
1 V' |: L: B, z$ {当N=1、2、3、4、5、6时
没有一个N能使M为非负整数
所以I=31是素数。
数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
9 L0 `, @4 l- P! n3 S2 e1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
5 {9 P; }: ^/ X9 ?: N2、精确计算哥猜数对
, l; Z6 K2 m3 P/ M9 r3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数

*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。

& X8 ~* Q# F+ u( v: B+ m  X4 J0 B下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
输入：
用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
+ B4 J% g5 `8 m# {1 M; A先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
* V' @- e8 Q( x2 [( S/ w' S(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
T=33333333347
/ g0 z( U4 C' }& Z, z6 BT=33333333377
7 s2 H. x% |( }# l5 MT=33333333407
  X=3030303037
. b5 U5 H* R% y$ p0 x  Y=11
" Z! i: h% U' o4 ^; [) ~. G  X=628930819
5 Z# u8 m; R7 z! r  Y=53
  X=57175529
  Y=583
T=33333333437
% \" y, K2 Z: J% S" G  X=254452927
  Y=131
  X=16347883
  Y=2039
2 E/ T' l/ j* d  X=267109
  Y=124793
' P" V5 P& j$ WT=33333333467
3 ~+ d+ c. d. ?: z: L9 ~7 p1 H  X=4761904781
  Y=7
5 G& S" Z3 s/ t; z3 S% w7 K" T  X=709219861
: `7 D1 U* a" c4 F  Y=47
  X=311526481
$ g  k7 a) x& C  T+ U  Y=107
  X=138312587
  Y=241
  X=101317123
  Y=329
  X=44503783
2 D/ L3 [4 h7 L' [/ x  Y=749
  X=19758941
  Y=1687
  X=8483923
  Y=3929
2 V% V& g  X# U; _" X  X=6628223
  Y=5029
  X=2942821
( q  _5 M! V& s4 N5 k0 B  Y=11327
  X=1292641
( Q) ^0 B- t* K% r2 r: o' _" k  Y=25787
  X=1211989
  Y=27503
7 y* K* {; j$ Q) d; C6 J  X=946889
  Y=35203
% w4 ~; L8 ?0 _  X=420403
0 \* o7 M  J+ J$ {, s0 f& ?  Y=79289
1 T. p8 @8 Q8 }( y  X=184663
$ P. Z4 J$ K1 V( e  Y=180509
- ?7 i; ^+ t% h7 r0 D* E4 Y……
6 s6 s: ]9 m& o; oT=33333335867
, i3 M8 a. H4 r" o  X=2564102759
  Y=13
T=33333335897
  X=2886253
  Y=11549
" D. ~, @7 ^1 s( W/ T  ZT=33333335927
  X=900900971
, t) g/ t0 B! b5 S  Y=37
3 G) `! L6 B- r: w" x1 D5 H" E7 s  X=1191881
  Y=27967
; G$ H3 d) B7 g* M' F, V  X=1034779
  Y=32213
, Y' ^& T3 A3 D! GT=33333335957
) t* V- U7 h; Q  X=1754386103
  Y=19
T=33333335987
3 p% p" H% @3 p; K0 h  X=4761905141
  Y=7
+ U/ j& x) A4 f( V' I3 c  X=680272163
, u/ f/ I& N# \  Y=49
合计：89个
    素数：11个
. u( ~" L% N$ w# i    合数：78个
9 d# h7 q& U) W* o6 ~
' C! C9 \% O3 [& w  N& f2 T若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
& s; c( R% \5 [" [+ R- z即：
6 {, ]0 Z( s9 n1 c' @# iT=33333333347
T=33333333377
5 ~0 P% w7 ^6 y# tT=33333333647
/ N3 o9 a0 V6 d# w% MT=33333333827
T=33333333857
T=33333334007
T=33333334487
: l5 n' P2 x% p8 f7 [  C: r8 z' aT=33333334907
% }1 R' D$ G& _( a  FT=33333335027
T=33333335177
T=33333335657
  N5 c5 S# J1 f: W1 Y& s素数：11个

*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对

' B% F( A$ A  i1 J9 N用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
2 r" }  ~& B" v2 z5 b$ e输出：
! c. W, O  o' P7 A2 s5 J34有1对
+ F3 r8 o) [. c! e, E   (11,23)
64有2对
   (11,53)
   (41,23)
. L/ Y2 ]# J8 i' P, [& K6 v+ @94有3对
5 v6 y1 H* Z+ {8 Z/ h& x  l8 y6 }   (11,83)
   (41,53)
   (71,23)
124有4对
( k$ e& a3 T% z  J9 u9 `0 ]   (11,113)
   (41,83)
   (71,53)
   (101,23)
154有4对
   (41,113)
   (71,83)
" C. p$ j4 ^% g* d   (101,53)
* X! u- g/ ^, ?0 V% w$ n$ Q   (131,23)
184有4对
   (11,173)
   (71,113)
   (101,83)
   (131,53)
% E6 n" F& u9 s4 A* j4 S214有4对
" V4 |6 y9 i( ^6 R8 N( ^   (41,173)
0 y6 p2 m; N1 `/ T) j6 J3 C   (101,113)
   (131,83)
0 e1 S- Z" V4 w& _) c; L   (191,23)
; M+ t, U6 m- l: E) a, W: D2 X9 V……
3324有24对
2 A, {+ I8 s6 }# `3 ]) a8 f) E   (73,3251)
   (103,3221)
  Z  _/ w) ]2 K3 E+ X. N   (283,3041)
+ r9 v: A5 D; u1 ]   (313,3011)
3 M% ]+ ^4 ^, \   (463,2861)
   (523,2801)
   (613,2711)
: k/ d: K4 j1 j6 b" z. ~9 @4 B. f   (733,2591)
   (883,2441)
   (1213,2111)
   (1423,1901)
  r2 e1 I1 V# F6 l  E   (1453,1871)
   (1723,1601)
   (1753,1571)
   (1873,1451)
   (2143,1181)
2 }3 `& ^5 }& `7 E   (2293,1031)
   (2383,941)
4 [/ T0 b  Q, O& \# e   (2503,821)
   (2683,641)
+ s  d( \5 r2 G+ n" a   (2803,521)
- {3 o& N+ k! C( s' M& \$ o. @   (2833,491)
   (3253,71)
$ Z4 \% i% O6 M! U   (3313,11)
% f. K$ D. W6 T6 @7 @0 W8 `
( V! m% k+ ~2 i8 J$ d, c  e  T7 P*使用21号程序：寻找孪生素数对

0 ^" D' O0 _( I* f, C& r用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
& t) a  `+ c9 R, B& y输出：
3333334391,3333334393
! j+ m7 M) e# M6 V3 P6 R, \' N3333335771,3333335773
" ^" s+ y4 j5 `2 Q+ s0 V3333336701,3333336703
( B5 `# b% P& S  x2 g- H; d0 N3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
4 W4 S, p8 |3 F) c  w, ]3 c, {3333339701,3333339703
3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
3333342581,3333342583
3333343421,3333343423
- ^1 s# ~- b, {4 P3333345011,3333345013
4 B- [6 u# w: M# m% f3333346061,3333346063
- C" J% K* @7 z# L- j3333346571,3333346573
0 x* {  O, f! o2 [0 K3 \, }3333349751,3333349753
3333350201,3333350203
3333350261,3333350263
: N# {+ Z: o% @# K4 P+ J3333350651,3333350653
8 c. l* e9 q  v% t: j% W2 K3333351641,3333351643
3333353531,3333353533
0 c/ ?5 |( p, K3333355601,3333355603
3333358211,3333358213
% ?5 H1 f; I2 z% A8 l+ P% ~+ g3333358361,3333358363
# |1 Q- H2 h  W& `1 X5 i* r4 e. k3333358781,3333358783
/ _7 Y, C9 C- _! T8 V3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
$ y. b3 k/ S. P4 x3333359831,3333359833
2 D- @. M9 r* V) S) a0 d共有26对
" H. j# @% }7 S& g
( K% i1 m8 O- B# K