合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

- b! L: p1 D) h9 T) a下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)

, s0 `+ e3 r- H1 j2 FM=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
9 `0 N" E& d2 Q/ I2 E  m- Y8 M因为I=27除以2的整数商为13
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(13-N)/(2*N+1)
# _" h4 x# h( z9 c2 W# |N的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
; o' I( g% {! z: W  ~. a0 V4 t则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
(2*N+1)=(2*1+1)=3
& \+ N# e9 v- v/ h, H即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
同理：当N=2、3、4、5、6时
只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
, ~8 k# r) `7 f即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
) k+ L% u  `* d(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
' D$ u) j. q! M! w* a) n0 Z例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
" B4 z6 s* L  F9 P则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
& i& X* M% G! @: p9 oM=(15-N)/(2*N+1)
2 ~) a7 m  {9 E* N0 tN的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
" A% |; T( ~% `! z1 A* D: K/ R当N=1、2、3、4、5、6时
没有一个N能使M为非负整数
所以I=31是素数。
数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
2 S  w6 y/ {: [. |; ?1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
2、精确计算哥猜数对
1 V# z9 G9 ?$ v( C: H! M9 _3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数

*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
6 h# V2 f' P5 t2 F3 g
$ J0 g( `3 ?1 i* B2 \下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
5 z- M2 `  ~" E9 E  I输入：
用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
- c! D6 ^* ?, a% ?5 j/ T先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
; i# W8 D+ ?" w  L& d8 [T=33333333347
5 a! C# x/ [0 c( _T=33333333377
1 i4 z1 }, F) m7 z- MT=33333333407
  X=3030303037
  Y=11
  X=628930819
  Y=53
4 ^2 A. w7 G6 y$ ^1 b4 w  X=57175529
  Y=583
T=33333333437
, [! G  ^* t: k* {  X=254452927
  Y=131
  X=16347883
* ?1 |) ~, u$ U9 w/ U6 W  Y=2039
  X=267109
, A  G* R8 ^! e$ z& r) V  Y=124793
7 F) R, s" L0 r7 D3 [T=33333333467
  X=4761904781
8 ?# S; l( H0 V- [/ n  Y=7
  X=709219861
) w4 Y. c" i! m5 k  Y=47
  X=311526481
  Y=107
8 J+ t4 k) U, ?3 `: W- J8 ?, P  X=138312587
  Y=241
  X=101317123
  Y=329
  X=44503783
! m% a& I( M5 u" ?% Y. y9 ?  Y=749
  X=19758941
  s7 Y1 t4 c* e( t: K  g6 Y) R  Y=1687
  X=8483923
  Y=3929
7 k. r5 W2 ?; X, B3 h  X=6628223
, i. J! o- x! y$ \. T  Y=5029
  X=2942821
+ `+ t2 [; R- F3 @( q* g  Y=11327
  X=1292641
  Y=25787
  X=1211989
% o; U/ |! N- f9 X$ O9 `% x& u  Y=27503
. U3 M1 |# r9 [: u! q' z/ g  D  X=946889
8 Y1 f, j/ Y+ E1 p% ^  Y=35203
0 Y! z- W) n) G: S( R  X=420403
& ?/ z$ b/ H) z* U6 A  Y=79289
  X=184663
/ T+ a. P- N7 d: X( T7 p# m6 I$ j  Y=180509
0 [& }3 f, n1 g6 e+ P……
5 q* M; L+ G& N1 s, B! d! @T=33333335867
  X=2564102759
  Y=13
! F5 O& d' s% t1 z* oT=33333335897
5 O& A/ B, h: a3 m- ]2 E( ^* I  X=2886253
  Y=11549
6 w7 f% {% ^' Q  p, l/ dT=33333335927
  X=900900971
% q5 g8 n: |* P/ b& X  `  Y=37
* t' J. l. D+ c  w0 k$ e  X=1191881
  Y=27967
  X=1034779
  Y=32213
* q2 h( j) J- Y& n$ N* V) hT=33333335957
  X=1754386103
  Y=19
T=33333335987
  X=4761905141
1 z( v- D6 ^) H5 u  Y=7
1 |1 z9 p: x7 n  X=680272163
4 h/ u6 x# c' G& v: c" \  Y=49
合计：89个
    素数：11个
    合数：78个

4 v  |' e9 j+ e7 y5 t0 J! @, l若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
4 M7 h2 j/ k9 k4 e8 ~5 x1 ]0 L% C即：
T=33333333347
T=33333333377
, _9 W) |3 S: {7 U1 `% `T=33333333647
/ Z" k$ L8 j; R% f+ `" UT=33333333827
T=33333333857
0 X& I9 q* j) o; lT=33333334007
* C) x$ V% v" [& n5 S8 zT=33333334487
5 @, Y& e5 @3 I' l. C5 eT=33333334907
T=33333335027
T=33333335177
T=33333335657
素数：11个
7 C1 g) N6 r- }5 u- K8 z( P
*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对

用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
输出：
34有1对
% E; ]2 U* g/ f9 A! n( j6 K   (11,23)
64有2对
: i. x$ }- W% S5 H   (11,53)
: p8 _3 n. |1 Y. q   (41,23)
94有3对
   (11,83)
   (41,53)
   (71,23)
4 z9 ~# t- O0 N1 I& z! S124有4对
; e; R4 G& s% r- ?  Q! W5 [* |4 }   (11,113)
   (41,83)
   (71,53)
   (101,23)
5 S1 `% g* D; D& u9 w2 c154有4对
   (41,113)
* V( w. I: i  v# u   (71,83)
! O/ Y% {" n, }' e   (101,53)
& S; [& p3 f) Y3 I1 u4 \6 [2 H   (131,23)
2 R& \' y  P9 I% N184有4对
   (11,173)
   (71,113)
   (101,83)
+ z9 A, [/ e4 O   (131,53)
# V3 w+ T& p2 E/ G5 x; y& F214有4对
) A$ ]5 D0 u8 j, ]  ^) l' p   (41,173)
" }: C$ o2 S6 \* M4 R6 E   (101,113)
4 q% n$ b  x' ?  B3 _   (131,83)
   (191,23)
……
3324有24对
9 ?0 X* t( |# |) V4 U6 q2 \   (73,3251)
   (103,3221)
7 a" {/ X7 m; `5 N   (283,3041)
   (313,3011)
   (463,2861)
   (523,2801)
4 h. G0 b1 q5 X  r7 \! s0 z0 Q0 v$ i   (613,2711)
( j4 j7 k/ a5 w: j$ I3 S" f5 `   (733,2591)
   (883,2441)
( F# _4 Z9 Y% r! p+ S. K8 x. k   (1213,2111)
   (1423,1901)
   (1453,1871)
   (1723,1601)
   (1753,1571)
) g6 i* A6 k) X# D8 ?1 m: [   (1873,1451)
1 y+ O' C4 E  m/ u) ^4 t, e   (2143,1181)
* J9 S9 S1 i( v3 q+ J# t+ L   (2293,1031)
   (2383,941)
   (2503,821)
   (2683,641)
   (2803,521)
   (2833,491)
" s* s) d# a! q6 R7 e0 W+ Z+ z9 B   (3253,71)
8 `2 E& G# Z  ~1 w/ z   (3313,11)
2 |  D. P/ |2 T' D2 c
*使用21号程序：寻找孪生素数对

用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
' v6 J, \2 H5 U: z- c- E; N; n. \* V在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
+ p: b" Y4 J* U9 u3 V5 y: d# L, C输出：
3333334391,3333334393
8 c" t$ R1 P) d8 t0 \+ W. r3333335771,3333335773
% W5 N" S; r) {+ d! T' y' {3333336701,3333336703
3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
3333339701,3333339703
3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
7 A# e' ^  A* M& X, {2 ^( i0 l9 e; C3333342581,3333342583
' o/ r0 ~" q7 v0 T3333343421,3333343423
7 ~) d) k  t+ J" B! o' }5 F. |5 h3333345011,3333345013
2 O: i& ^5 I) v$ x9 L! Q% z3333346061,3333346063
* w% F7 ?: j% g2 D. h$ K3333346571,3333346573
3333349751,3333349753
3333350201,3333350203
3333350261,3333350263
3333350651,3333350653
3333351641,3333351643
8 X0 Q3 H7 m/ `9 @+ A4 q3333353531,3333353533
; l3 x3 M& {3 Q  T1 @( G9 T3333355601,3333355603
$ s+ t  W9 ~4 Y5 F1 z$ V3333358211,3333358213
1 [# K; x# t6 c& U3333358361,3333358363
: z* A" |+ B) o0 F4 ]3333358781,3333358783
5 u; I# B. y1 X; W- X9 {) _3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
$ Y8 b! ~: G+ B' j- Q0 h& T6 ]3333359831,3333359833
; o7 f* z9 W7 B1 g, h: Q共有26对
7 o7 J0 e- l6 l  Q8 o
3 d; R: B$ m. M8 M3 I% R, j