合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。
5 D# Q  `* Z! Z0 W& _
2 D1 f: ]. Y* o; ]8 n7 [下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)
9 N4 _, n) M% b3 i+ w  E" M; C
M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
因为I=27除以2的整数商为13
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(13-N)/(2*N+1)
7 [& c, S$ M8 U2 K: YN的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
( ]9 Q: L  e! w. z' C! x4 h  M则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
(2*N+1)=(2*1+1)=3
# _7 p( O. G& V; R3 l即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
同理：当N=2、3、4、5、6时
只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
& l6 t1 d- M, t! M) Q1 h! }即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
6 w0 U( N8 X" d! E(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
  U6 z1 H' ?3 Y5 R# m( [则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
  n4 R7 S  x9 L0 R% D+ OM=(15-N)/(2*N+1)
$ P/ o& _8 {$ F/ ~; XN的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1、2、3、4、5、6时
4 C1 i" s: ~: m$ r1 y没有一个N能使M为非负整数
% V1 V2 ~, y) O6 u0 {所以I=31是素数。
数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
. y7 ]% n+ x* b8 y" Y% u! x4 p1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
, a: C( Q3 z$ a" e2、精确计算哥猜数对
* b* C4 n, ^' e/ f! v! Y: @" y3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数

*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
" p' }( G- ~% N. E9 e: W
下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
输入：
用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
% W$ H" k9 K  p先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
- C0 k' h# E" }) }5 e# v) p2 g(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
0 z) ^; y- A( l3 ?) q! CT=33333333347
T=33333333377
T=33333333407
) D- C6 G8 L4 p' F" O  X=3030303037
  Y=11
$ ^# ^7 t! c" B" h. x  X=628930819
  Y=53
  X=57175529
  Y=583
T=33333333437
7 E8 S* T" l. Q% Q+ x) F$ Y  X=254452927
  Y=131
  X=16347883
  Y=2039
  X=267109
* ~; ?3 f! {6 |. I  U4 H# ^" v& D  Y=124793
1 s) |) _) y  Z5 k# ^T=33333333467
7 {( {; J- W- }  y% t  X=4761904781
1 i" }) k! |2 P, R* t  Y=7
9 a! N+ Z7 T( f6 s- y3 D8 D  o  X=709219861
  Y=47
5 C& h4 N3 @5 }% T7 [  X=311526481
% K; X0 m0 b- a) f  Y=107
  X=138312587
$ {; Z* @! b4 M& z- a  Y=241
1 Q7 Q' j# D6 ]+ [, ]3 l4 G  X=101317123
  Y=329
! {# ^* d" }. O, N" Q1 `9 J! F  X=44503783
$ I; Z! c+ ^  A3 [. m  Y=749
  X=19758941
  Y=1687
8 d5 C% ], ?& m$ P  X=8483923
7 I. w+ e- @" X6 L  Z7 s! C! x  Y=3929
  X=6628223
$ J# }0 ^/ e8 Y9 K  Y=5029
  X=2942821
  Y=11327
4 w* c- c; t, @8 o  X=1292641
7 e8 B; M3 c& D+ O4 n  Y=25787
  X=1211989
+ W2 Y6 {3 l6 E  e, z# }; I  Y=27503
  X=946889
  Y=35203
  X=420403
  Y=79289
  X=184663
  Y=180509
……
T=33333335867
. a& U2 J8 f; y" l0 M  X=2564102759
/ G# Q7 R) \/ H, K) d" v  Y=13
T=33333335897
9 J; D3 K7 O/ F4 ]% i  X=2886253
  Y=11549
T=33333335927
  X=900900971
  Y=37
  X=1191881
' y; Q/ O& B3 P3 ]: `  Y=27967
  X=1034779
  Y=32213
T=33333335957
  X=1754386103
5 O# U: Y- J+ G6 {! s# d) S  Y=19
7 i* b0 f% H3 ]T=33333335987
7 J3 E# |! `0 y9 O$ D) z7 }  X=4761905141
  Y=7
3 ]3 _4 x2 H! O- }  X=680272163
  Y=49
合计：89个
    素数：11个
    合数：78个
8 U, Y3 l0 t2 ~; P; D! d! Z! m
若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
即：
- K. D% |8 H$ r( t; u" KT=33333333347
T=33333333377
" {9 h# F% w9 z' P+ P) ?T=33333333647
6 j& v- a( m: v! [. v1 vT=33333333827
2 @; }  |" S! |5 ^T=33333333857
T=33333334007
( o& w+ r) e% PT=33333334487
T=33333334907
T=33333335027
T=33333335177
& X# R, ]* N1 H1 o) L9 VT=33333335657
素数：11个
  z4 V& d/ n" ]$ b4 g" W' c
5 R9 o7 I, M9 w; M9 F*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
2 S7 i; ?. F5 s6 W  }& G8 }
3 W% @1 ~2 o4 ~# \9 D0 Q7 F用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
/ A) F0 W" N4 E+ w输出：
34有1对
1 R7 r6 }; A/ o   (11,23)
64有2对
   (11,53)
   (41,23)
94有3对
   (11,83)
   (41,53)
   (71,23)
124有4对
   (11,113)
" V( v1 A1 z( B7 t: S% M( f. h# [   (41,83)
3 s: A1 q9 t  k; f# _   (71,53)
1 Q8 a( C  f2 j, {3 p) Y7 e0 L   (101,23)
154有4对
   (41,113)
5 C9 R! X4 r4 n* n( f+ a   (71,83)
   (101,53)
) o) _% M" [0 B$ j   (131,23)
+ T& \" Y) h9 t3 |+ G# d- ?184有4对
   (11,173)
3 e$ @2 m1 f, x; Q; b* @6 Q) D/ t   (71,113)
   (101,83)
   (131,53)
214有4对
   (41,173)
; S7 r( o0 ^  x* S   (101,113)
   (131,83)
   (191,23)
……
  k" v0 L0 S& Z3 s# L4 \& G3324有24对
   (73,3251)
   (103,3221)
' R5 A! X1 D$ p# a5 b   (283,3041)
   (313,3011)
   (463,2861)
   (523,2801)
   (613,2711)
   (733,2591)
! d+ ~5 ~4 x5 }; O  a   (883,2441)
8 Y* _1 O1 s, J1 W: G) t   (1213,2111)
$ X5 N- ?/ _+ j; U, Q$ ^" x, f   (1423,1901)
   (1453,1871)
% k( R/ d  ^4 k7 \9 o2 n/ u   (1723,1601)
   (1753,1571)
: _: X9 K/ E2 \, M9 D   (1873,1451)
   (2143,1181)
) i2 }, G/ o+ y2 r: Z2 y+ }   (2293,1031)
   (2383,941)
7 v8 i  v! c8 a2 U7 h. O   (2503,821)
   (2683,641)
" ]! Z4 y: e9 C0 }   (2803,521)
# o8 A# f# C+ a1 P; G   (2833,491)
   (3253,71)
   (3313,11)

, w4 {+ g$ ^! P; P*使用21号程序：寻找孪生素数对
$ M2 I+ c7 z  H" Z
* M: @) i: n7 M7 V/ R: O用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
2 o  g  |2 D' y在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
输出：
3 e3 s  {" C% o8 R) C2 D3333334391,3333334393
3333335771,3333335773
, U: N5 k) r( T/ T( S3333336701,3333336703
3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
3333339701,3333339703
! D# ^7 y! h/ W3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
3333342581,3333342583
# M, B% Z6 ^- b3333343421,3333343423
% b# C2 F8 X6 Z, J# m6 K8 E# w& P! h3333345011,3333345013
3333346061,3333346063
3333346571,3333346573
3333349751,3333349753
' H- e1 @. p8 k3333350201,3333350203
1 l9 l2 Y' C  q2 i( {3333350261,3333350263
3333350651,3333350653
3333351641,3333351643
2 l3 i- p, b+ t; I3333353531,3333353533
3333355601,3333355603
3333358211,3333358213
3333358361,3333358363
) Z- s' {$ ^7 W3 f3333358781,3333358783
- l+ |$ z1 A9 z0 ^/ h+ U3333359501,3333359503
9 n% J$ M' e# Q' `5 p" U+ z3333359591,3333359593
3333359831,3333359833
8 u2 V8 G- x8 d- u6 W共有26对
: I2 m% j  L. d: k/ C" U' o