合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)

2 ^/ j% @$ k' H- s6 w- C* bM=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
6 Q7 J) g. |5 X% {+ E" D因为I=27除以2的整数商为13
( O" F- |0 C6 I3 P& V则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(13-N)/(2*N+1)
5 E- _; v4 C/ @0 l( TN的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
6 o$ s0 }% ]0 y# I! i/ J' y* ?! n7 e当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
) c/ p+ b) N; t" J: r则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
* W1 U0 w3 j' [! k  r(2*N+1)=(2*1+1)=3
即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
同理：当N=2、3、4、5、6时
只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
8 T3 e" w9 f9 \4 p! u即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
+ W4 U- g2 w4 w. R- Q" }$ m# ?, l(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
  s! O( F, l" _/ h8 y, n7 y& t则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
$ J% @0 x  H3 [/ y5 b例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(15-N)/(2*N+1)
4 Y5 ^% ^* ]# M% ]- Y" KN的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
* M& D. L7 L; p9 x" a当N=1、2、3、4、5、6时
没有一个N能使M为非负整数
所以I=31是素数。
数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
! B1 ~! h* H" q  r6 `- R  h2 {( y1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
6 w/ S* b' ^5 e6 p/ V; K2、精确计算哥猜数对
3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数

9 Y% c# V+ g& B, D9 u" E4 ^. v*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
' q5 {' W0 b" Q1 `
" X0 H1 B6 `7 V7 ~! Q8 D1 z下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
输入：
! i! t4 [( C5 s  l用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
$ U0 S" h+ Z: j/ I; }' U. Q% ~先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
* m* R7 ]. n- bT=33333333347
$ w+ ?$ m% K% ]% J" X+ b8 RT=33333333377
3 r, D$ j% ^! R5 U. bT=33333333407
" ~) p: H+ n  _5 @1 W  X=3030303037
  Y=11
+ |, G# ^: E" }) R' l  X=628930819
9 ]) _( ^& p! j- P  Y=53
$ {6 p- o6 E' q0 [  X=57175529
! r7 w2 \+ h& c6 Y/ u( J  Y=583
T=33333333437
  X=254452927
4 X% p4 a) M6 N/ n1 [  Y=131
  X=16347883
  Y=2039
  X=267109
6 ~3 U8 C5 C1 M  Y=124793
# t; @, Y4 W) p' VT=33333333467
  X=4761904781
7 ~8 U4 A/ ^7 _9 O# ?: {2 g4 U* B  Y=7
  X=709219861
  Y=47
  X=311526481
  Y=107
, s: K. a/ C8 B. r# z1 I3 x  X=138312587
4 D8 @: J. ~! F  Y=241
  X=101317123
# d# E; G- d, P" r8 a9 |- u0 [; n  Y=329
  X=44503783
+ @+ m6 W! g+ [6 `* j0 Q  Y=749
  X=19758941
# J7 I$ G' W  Z5 Q' \9 l, k  Y=1687
' T. e2 S; t1 c8 z( M  X=8483923
1 ?: P2 j8 M* c: r, B3 q  Y=3929
  X=6628223
3 N" t) {+ Q& X: H5 m* V+ H* T  Y=5029
  X=2942821
  Y=11327
  X=1292641
. E' O5 m8 j& [6 c$ t+ O  Y=25787
  X=1211989
0 P3 Q1 Q, `7 q; @& z  Y=27503
  X=946889
  Y=35203
7 K' C+ l" F8 v* Z  X=420403
  Y=79289
  X=184663
, H" m9 G& H7 c  Y=180509
……
7 F6 t) v( Z3 I# P9 o: aT=33333335867
  X=2564102759
6 F8 o$ X" C- d0 U. h4 E0 }  Y=13
5 t& \2 i3 ?3 ^+ q3 C2 F) xT=33333335897
- l4 m2 F. |/ L0 E  W7 \$ g1 B  X=2886253
5 ]% m' k- N" L) a1 t  Y=11549
T=33333335927
  X=900900971
+ e9 L5 D# ^. G& o- t3 Q5 s  Y=37
8 W1 |1 v5 f2 j8 p% W7 P6 l$ E% b  X=1191881
  Y=27967
! L* l9 o" u9 d+ o0 j  X=1034779
3 n) f& J3 j3 a& k  Y=32213
T=33333335957
  X=1754386103
! I" G5 E. c4 H9 V( ~/ u( P5 V  Y=19
T=33333335987
! K' K# ?* d% a. O% Q  X=4761905141
  Y=7
  X=680272163
) ~8 G) w5 f: t" f# }& K  Y=49
合计：89个
    素数：11个
! O* c' J$ R9 m1 X4 p/ S( H    合数：78个
# c* M- J6 \# I) t1 ], [- B4 M
# p5 I# U$ G- O7 k+ v若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
即：
T=33333333347
T=33333333377
/ H/ Y5 X& Q/ |9 D0 }T=33333333647
. x! J0 s" O0 @2 i2 i* m% YT=33333333827
( _4 G. v9 t, S' _0 nT=33333333857
  g; N0 w5 a) q0 g+ {1 h; j9 zT=33333334007
T=33333334487
; h& _1 O* H2 l9 _T=33333334907
T=33333335027
9 R: j% i3 T7 B( \, NT=33333335177
T=33333335657
4 g( W% K4 a0 F9 Y: s素数：11个

*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
- \) z1 }* B5 A  H! ]9 d& {" i/ I
5 j* x4 Q: O: b. V用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
' c5 C! D* T  m( [  W输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
9 w) o% i( }# T; I5 d3 P0 X输出：
4 a" a: ]* i# k* ^  _# u$ D7 s34有1对
8 d/ L% K! C0 m8 y   (11,23)
64有2对
   (11,53)
   (41,23)
94有3对
3 w. H$ R/ i* E$ M+ t   (11,83)
! f. t6 r& c3 G" b   (41,53)
. K) B- @2 u7 n' K  Y   (71,23)
124有4对
   (11,113)
   (41,83)
   (71,53)
" z1 j( S, R( W) u5 @   (101,23)
6 F8 i8 {- _, o, d$ n154有4对
   (41,113)
   (71,83)
   (101,53)
" _: w$ F+ @8 f  v) ?   (131,23)
/ c0 i; M3 H3 |7 q  w8 H- q% c$ F184有4对
3 I( ^/ A! [" A" `$ i: l   (11,173)
) k/ E* J& P8 [! Q2 [   (71,113)
- [- q& s3 y% C. E   (101,83)
   (131,53)
( Q1 c5 @6 m9 H7 ^214有4对
   (41,173)
( i, T7 C, w) r/ V   (101,113)
: Y, u* p. n( C) I; f) M% E   (131,83)
   (191,23)
……
6 m" R# M# O7 L! h: A3324有24对
   (73,3251)
3 ]1 b( i" `) s) D3 O   (103,3221)
3 Z: m9 a5 C7 X; P' v   (283,3041)
/ ~* V& q/ B. |! q7 p7 Z  j& {0 \  n4 X   (313,3011)
   (463,2861)
   (523,2801)
   (613,2711)
7 Z$ k$ {7 [: R( F) Y/ E. y   (733,2591)
6 a* X5 Z; O% F   (883,2441)
   (1213,2111)
   (1423,1901)
- @) k4 [! ^) G# w) F# X$ [   (1453,1871)
6 Y  w8 s4 B. l   (1723,1601)
" S7 w7 V9 @% E' \. p   (1753,1571)
1 \! F) p! W1 C5 d% M- H+ P   (1873,1451)
   (2143,1181)
) n4 ?7 K, ?! C3 |+ m8 ^" ?   (2293,1031)
1 \  d8 A1 `( c- o: Z( o- ^   (2383,941)
   (2503,821)
. d/ u9 z3 Y9 C$ s   (2683,641)
   (2803,521)
  W9 c, g* ^2 q& h3 Z4 d   (2833,491)
   (3253,71)
   (3313,11)

*使用21号程序：寻找孪生素数对

+ P1 X( ~0 B3 c' }- }+ F0 I+ @. R用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
  x+ ~. S2 M4 W9 h3 f7 J输出：
" [. {. L$ ^- C3333334391,3333334393
* H( z3 {! g7 k  t  Y& ^, C$ ]3333335771,3333335773
3333336701,3333336703
3333337661,3333337663
# c" ?2 v+ O6 q6 j- {" G3333338711,3333338713
+ M2 ?3 ?" R1 W7 l4 [) i3333339701,3333339703
3333340391,3333340393
% l: a/ l' o( l- Y+ Y3333342401,3333342403
5 |$ b+ d' l5 h3333342581,3333342583
5 ]: A  j& T2 G; f3333343421,3333343423
3333345011,3333345013
3333346061,3333346063
. e1 W$ z- u) F% P6 x+ r3333346571,3333346573
3333349751,3333349753
0 e7 t) E" v' }" M$ e  p$ X3333350201,3333350203
) e" J7 p1 ~2 R5 N/ x% Q/ V( d3333350261,3333350263
3 ^- t2 F: N' }; A3333350651,3333350653
' J. ]) O1 s% o# R( e3 L( H3333351641,3333351643
0 T5 b4 z' h8 ^9 a# U  i3333353531,3333353533
3333355601,3333355603
0 e+ `/ M' p" q' w/ S, Y  ^3333358211,3333358213
3333358361,3333358363
" P5 k) q( e0 k8 y8 D3333358781,3333358783
' X9 D* ^  z& t+ `9 E. C3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
3333359831,3333359833
6 L7 @' B( V$ w4 x共有26对
3 X# b$ f$ v- C0 \