卡丹公式欺骗了五百年所有数学家----最简证明.

谢芝灵

因为:ω^3=1  有 : ω=(1/ω)^2.  有 : ω^2=1/ω
恒等式: (sin10)^3-(3/4)(sin10)+(sin30)/4=0....(1)
$ f: p* e' R/ u( q1 z6 o- o$ C化为: x^3-3x/4+1/8=0....(2),
7 ~* i- O  l5 |6 {" R  u  
分三次分析
第一分析,

把p=-3/4.  q=1/8  
1 ]! P0 M* E5 d! `7 |代入卡丹公式x1中.
1 C. {* r3 C- ~+ I) [- e得:2x=[ω]^(1/3)+[1/ω]^(1/3)....(3)
把(3)式两边平方得:
4x^2=[ω^2]^(1/3)+2+[(1/ω)^2]^(1/3).
上式ω^3=1变形后为:4x^2=[1/ω]^(1/3)+2+[(ω)^2]^(1/3).
(3)式代入后得:
得:2x^-x-1=0......(4)
此时(4)和(1)式(2)式矛盾 .由卡丹公式引起.
其实此时完全证明了卡 丹公式不是万能公式.不能解(1)(2)形式方程.
其实没必要做第种 情况分析.为了让大家放心,我再做.
第二分析,

把p=-3/4.  q=1/8  
9 K& a# N/ F' G代入卡丹公式x2中.
得:2x=ω[ω]^(1/3)+ω^2*[1/ω]^(1/3)
两边平方后:4x^2=ω^2*[ω^2]^(1/3)+2+ω^4*[(1/ω)^2]^(1/3)
& `- X3 d/ a1 l% l: G" l* M! S得:4x^2=ω^2*[1/ω]^(1/3)+2+ω[ω]^(1/3)
8 L9 h' n: E; O) u  同理得:2x^-x-1=0
% c) f: p9 w4 x! x0 ~* O$ x7 N5 M
3 X6 E2 O3 I- n) L( n9 j, C第三分析(略)
卡 丹公式不明解大部分一元三次方程.只能解 4(siin30)^3-(3/4)(sin30.)+sin90=0  这一种形式的一元三次方程...

谢芝灵

数学题:

+ v6 w5 @  R, B* {已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.

) r1 \8 v. W+ s5 n1 Z, Z5 p$ U求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?

4 s' x; y9 P+ Z* Y4 Z. r解题.
4 p  u4 X7 F6 X! g4 p  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
# U0 x6 t: J+ R+ C8 O* I/ ~$ @/ J  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
) b1 Q& i) @; c. r. J  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
! O! D/ s5 E7 R5 T+ a  p& H  一元二次方程x^2-x-2=0.,
2 a* e, B) Z* O# B* u4 a' z2 J再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
- F2 f/ f7 ^0 E- p) p! w必在-1和2之中.
" R- J) j( @. _! h
! \: ^/ V6 _* P/ f再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..

4 Y9 L  W. a, ~* K7 ?$ K3 H% H补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).

2 H. i0 p2 s" p% l! |  q证:
令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
" c+ y( D! S' K. r5 O& d     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
7 d2 Z, b7 N1 V      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
9 D1 c5 X9 S+ [( ]    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
   得:w^2=x^2.
  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
  证毕!

5 T! ?* D5 V+ i7 R

谢芝灵

谢芝灵

楼里讲得很清了,x1是原方程的根,肯定不是增根.代入原方程后得到一个一元二次方程,原根也没丢,把二个根代入就矛盾了.
但网友说1^(1/3)有三种情况.其实这三种情况卡丹早想到了,所以卡丹公式才有x2,x3,见x2,x3,里面都有ω和ω^2(即1/ω).
也分别分析了三种情况,

谢芝灵

关于增根,减根问题.
在(2)式代入卡丹方程中得到三个根,我把三个根x1,x2,x3都分析,就不会漏减根了.
由卡丹公式得到x1,此时就是一个一元一次方程.两边平方后得一元二次方程.出现了一个增根.
! v! `# o( \. Q, e+ Q我把这两个根都代入(2)式,均错误.
第二步,把x2这个两边平方,又得到一样一元二次方程.同样矛盾.
' |" L6 E$ h. Z0 C% R' L第三步,同上一样.

$ z! f/ ^6 y8 p0 Z; K/ }所以不存在增根减根把主根丢失的情况.
, S) e4 R- N1 K! K% E, g5 P方程就三个根x1,x2,x3.也可写成sin10,sin50,-sin70.有人说多了几个根,如-cos20.等.其实-cos20就是-sin70.他们是重复计算.
$ V4 s5 H; K7 N% S# Q
# h3 a! N9 q7 y* T. l1 i% K8 w! n其中的复数也是按复 复数法则.ω^3=1,得ω^2=1/ω.还有(1/ω)^2=ω.

那么(ω)^(1/2)的平方等于多少?
得:[ (ω)^(1/2)]^2=(ω^2)^(1/2)=(1/ω)^(1/2).
* v" ~2 g; c6 H  D错误的计算是::[ (ω)^(1/2)]^2=(ω)^(2/2).=ω.====此是错误的!

谢芝灵

奇妙的数ω.
ω=[-1+i(3)^(1/2)]/2
9 J) @( ?8 D+ r3 g% L# D, [$ Pn是非0的任何数.
ω+1/ω=(ω)^n+(1/ω)^n=-1或2.当 n为1,2,4,8,16,...形式时等于-1.别的形式等于2.
& s7 b! s' p8 _, f! \解:设(ω)^n+(1/ω)^n=x.
  两边平方后得ω^2)^n+2+[(1/ω)^2]^n=x^2
& U! i& j/ D. ~7 m' |                  得ω)^n+(1/ω)^n+2=x^2.
4 L* H, ]8 K9 a  Y5 s5 D       得方程:x^2=x+2
  解得 x1=-1.   x2=2.
4 t0 b6 T/ i& J, L1 T
$ ]$ D! y2 d$ P3 `5 S: W

谢芝灵

谢芝灵

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谢芝灵

关健是我知道卡丹为什么会错的核心.
就像围棋玲珑局,会困死全世界的数学家.

只有我会破解.
# E4 h9 ?  b  j# U7 [" F

谢芝灵

因为:ω^3=1  有 : ω=(1/ω)^2.  有 : ω^2=1/ω
恒等式: (sin10)^3-(3/4)(sin10)+(sin30)/4=0....(1)
  ~$ `9 f& [- s- l! ^6 `化为: x^3-3x/4+1/8=0....(2),
  
分三次分析
/ m  S% ?$ \1 Q  q第一分析,
" o  I2 G# j/ b) P# h
把p=-3/4.  q=1/8  
代入卡丹公式x1中.
2 m0 _  M. a6 H. R, M8 b得:2x=[ω]^(1/3)+[1/ω]^(1/3)....(3)
把(3)式两边平方得:
/ J) f/ b! V( g5 ?# [! P4x^2=[ω^2]^(1/3)+2+[(1/ω)^2]^(1/3).
上式ω^3=1变形后为:4x^2=[1/ω]^(1/3)+2+[ω]^(1/3).
(3)式代入后得:
0 q# R* ^' ?/ [# `得:2x^2-x-1=0......(4)
此时(4)和(1)式(2)式矛盾 .由卡丹公式引起.
  j" m# S% A! K( [其实此时完全证明了卡 丹公式不是万能公式.不能解(1)(2)形式方程.
! i! u; Q9 t0 B% m+ X: {: b/ ^( F其实没必要做第种 情况分析.为了让大家放心,我再做.
$ v/ x' ^* n1 }, J" r6 f9 O  n第二分析,
, n0 r! [' w$ ~4 r
把p=-3/4.  q=1/8  
代入卡丹公式x2中.
* H5 @" Y5 M0 _- K6 v4 v得:2x=ω[ω]^(1/3)+ω^2*[1/ω]^(1/3)
: u7 l/ b- e% _9 P$ h+ _0 ~& B两边平方后:4x^2=ω^2*[ω^2]^(1/3)+2+ω^4*[(1/ω)^2]^(1/3)
得:4x^2=ω^2*[1/ω]^(1/3)+2+ω[ω]^(1/3)
  同理得:2x^2-x-1=0

谢芝灵

2x^-x-1=0......(4)
) V1 ^6 `& {  X8 Z5 w笔误更正 2x^2-x-1=0......(4)
- Q/ Q5 T4 B+ o