卡丹公式欺骗了五百年所有数学家----最简证明.

谢芝灵

$ f7 F4 ^8 y- V因为:ω^3=1  有 : ω=(1/ω)^2.  有 : ω^2=1/ω
恒等式: (sin10)^3-(3/4)(sin10)+(sin30)/4=0....(1)
化为: x^3-3x/4+1/8=0....(2),
2 j+ ]8 W3 _7 _% H- V  
$ B: N2 a1 q! M! u分三次分析
1 D7 d0 ?3 m  U2 F第一分析,
. i1 g$ t$ v5 M! a3 H9 i
把p=-3/4.  q=1/8  
代入卡丹公式x1中.
得:2x=[ω]^(1/3)+[1/ω]^(1/3)....(3)
把(3)式两边平方得:
4x^2=[ω^2]^(1/3)+2+[(1/ω)^2]^(1/3).
9 O4 S' I) N$ x) S# p  W上式ω^3=1变形后为:4x^2=[1/ω]^(1/3)+2+[(ω)^2]^(1/3).
(3)式代入后得:
得:2x^-x-1=0......(4)
此时(4)和(1)式(2)式矛盾 .由卡丹公式引起.
( H. p6 k8 \2 R! b6 c% B0 x+ @: a其实此时完全证明了卡 丹公式不是万能公式.不能解(1)(2)形式方程.
  Q9 W! g* o; y! x% R其实没必要做第种 情况分析.为了让大家放心,我再做.
! s! O  `, M9 \; c: ?第二分析,
9 a% }9 R, ^" v
* F3 c$ n" ~' {: U把p=-3/4.  q=1/8  
: U& h: V; t6 i代入卡丹公式x2中.
( p( \" w- e, _得:2x=ω[ω]^(1/3)+ω^2*[1/ω]^(1/3)
两边平方后:4x^2=ω^2*[ω^2]^(1/3)+2+ω^4*[(1/ω)^2]^(1/3)
得:4x^2=ω^2*[1/ω]^(1/3)+2+ω[ω]^(1/3)
* R6 l' ^: ^# ~/ K% u  同理得:2x^-x-1=0

3 z0 _- X3 d/ m6 x4 \# a第三分析(略)
6 v3 N1 A/ Z6 z3 S  g& ^, e1 m& g卡 丹公式不明解大部分一元三次方程.只能解 4(siin30)^3-(3/4)(sin30.)+sin90=0  这一种形式的一元三次方程...

谢芝灵

数学题:
- X8 U* j1 d" d) u. H. A
已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
6 O4 g1 Y" {' L( l# y3 V$ K有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.

求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?

解题.
  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
' w3 V, b( U6 O8 E& k8 {5 `4 F  一元二次方程x^2-x-2=0.,
再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
/ W6 f' N$ F. ^3 g因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
必在-1和2之中.

5 j, M7 P& T! ^  m' }2 a再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
0 l! g3 G$ x: H# }4 I并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..

( L  u8 Z3 b3 D3 p0 B) i4 J- K补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).
5 R. a0 M. Y. D0 D8 O
* _- {0 }2 E) F3 R, c8 F证:
令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
* j2 W# m: V. u0 i' w+ Z  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
4 e8 f. W1 G3 W' _1 e8 p- A      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
8 S: S$ z& s8 ]% L+ G得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
9 T- G! y) v3 h2 u7 E; }   得:w^2=x^2.
6 l1 A1 A! ^% c- ?( P: A" N; `5 A  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
  证毕!
* q, n* [* ~  I# P' x5 [) ~. R2 |% Q! @

谢芝灵

谢芝灵

楼里讲得很清了,x1是原方程的根,肯定不是增根.代入原方程后得到一个一元二次方程,原根也没丢,把二个根代入就矛盾了.
3 `- u" K8 _9 N; n& R但网友说1^(1/3)有三种情况.其实这三种情况卡丹早想到了,所以卡丹公式才有x2,x3,见x2,x3,里面都有ω和ω^2(即1/ω).
) J" P9 E9 m" m! c! v/ |4 a; B0 c也分别分析了三种情况,

谢芝灵

关于增根,减根问题.
在(2)式代入卡丹方程中得到三个根,我把三个根x1,x2,x3都分析,就不会漏减根了.
由卡丹公式得到x1,此时就是一个一元一次方程.两边平方后得一元二次方程.出现了一个增根.
: Z# Y0 z( l9 L' T  o, m, N我把这两个根都代入(2)式,均错误.
第二步,把x2这个两边平方,又得到一样一元二次方程.同样矛盾.
( c: K& q$ k" n+ e1 R2 E第三步,同上一样.

2 i) B5 e) A. F  u所以不存在增根减根把主根丢失的情况.
方程就三个根x1,x2,x3.也可写成sin10,sin50,-sin70.有人说多了几个根,如-cos20.等.其实-cos20就是-sin70.他们是重复计算.

其中的复数也是按复 复数法则.ω^3=1,得ω^2=1/ω.还有(1/ω)^2=ω.

( H  [# p; v: e, e% Z  J" U- Q$ D$ \4 H2 ]那么(ω)^(1/2)的平方等于多少?
得:[ (ω)^(1/2)]^2=(ω^2)^(1/2)=(1/ω)^(1/2).
% l. ?. r. e4 ^( A6 N& f错误的计算是::[ (ω)^(1/2)]^2=(ω)^(2/2).=ω.====此是错误的!

, R, C! j7 d8 j2 Z0 H3 ?

谢芝灵

4 [, V* @3 {  U4 o" y  t
1 s+ T% v1 y, y' V奇妙的数ω.
4 R7 i1 e+ x4 m, h4 ]$ s, m2 j  Aω=[-1+i(3)^(1/2)]/2
/ c3 F+ G8 {9 \# u5 ?% @n是非0的任何数.
0 V8 Q$ X: x  ^) K& Sω+1/ω=(ω)^n+(1/ω)^n=-1或2.当 n为1,2,4,8,16,...形式时等于-1.别的形式等于2.
) Y; S; Z3 A& Z解:设(ω)^n+(1/ω)^n=x.
) J2 x# d) G- c+ H  两边平方后得ω^2)^n+2+[(1/ω)^2]^n=x^2
# ?2 `2 [" h' o                  得ω)^n+(1/ω)^n+2=x^2.
       得方程:x^2=x+2
1 q% t8 W' u  ^5 w  解得 x1=-1.   x2=2.

  s) J9 c. l& V: T

谢芝灵

谢芝灵

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谢芝灵

关健是我知道卡丹为什么会错的核心.
8 e8 k0 }# m# F! y. e0 e& J. w就像围棋玲珑局,会困死全世界的数学家.

- [: o& X( e3 x$ N# L: H  K- i) _只有我会破解.
/ J+ c( l( n- a2 l

谢芝灵

因为:ω^3=1  有 : ω=(1/ω)^2.  有 : ω^2=1/ω
恒等式: (sin10)^3-(3/4)(sin10)+(sin30)/4=0....(1)
化为: x^3-3x/4+1/8=0....(2),
  
分三次分析
第一分析,
+ {  [" k' F' W' h; [% E; }" `  J  K" W
把p=-3/4.  q=1/8  
代入卡丹公式x1中.
得:2x=[ω]^(1/3)+[1/ω]^(1/3)....(3)
; H0 g* R# b0 g6 r$ M2 d把(3)式两边平方得:
4x^2=[ω^2]^(1/3)+2+[(1/ω)^2]^(1/3).
上式ω^3=1变形后为:4x^2=[1/ω]^(1/3)+2+[ω]^(1/3).
(3)式代入后得:
得:2x^2-x-1=0......(4)
2 |# O+ k: W' ]& F2 l( [此时(4)和(1)式(2)式矛盾 .由卡丹公式引起.
: u, U7 F9 Z& k2 {" C+ e( G3 I' X其实此时完全证明了卡 丹公式不是万能公式.不能解(1)(2)形式方程.
其实没必要做第种 情况分析.为了让大家放心,我再做.
! D1 h0 E! t* o' [: N第二分析,
! f" Z2 @$ w. s
+ i3 I) @5 ^7 U! G$ x( ]# e把p=-3/4.  q=1/8  
. R4 F6 X. p* S3 D6 d  B9 @' [代入卡丹公式x2中.
2 G" r& F6 x7 [  U- S( M3 T( K) h得:2x=ω[ω]^(1/3)+ω^2*[1/ω]^(1/3)
两边平方后:4x^2=ω^2*[ω^2]^(1/3)+2+ω^4*[(1/ω)^2]^(1/3)
  z3 R9 x( X) L. d* a2 m7 h# v+ X& N得:4x^2=ω^2*[1/ω]^(1/3)+2+ω[ω]^(1/3)
0 l3 P# Q8 y; D5 E( {3 U( {6 x  同理得:2x^2-x-1=0

谢芝灵

2x^-x-1=0......(4)
3 w: F, l1 t, S* b8 ^. s笔误更正 2x^2-x-1=0......(4)
$ c; Z: b2 F( ^: Z8 q" z5 @