卡丹公式欺骗了五百年所有数学家----最简证明.

谢芝灵

' {) N) ]/ v+ T
! e& I: [# e  s8 Y* o+ O  O因为:ω^3=1  有 : ω=(1/ω)^2.  有 : ω^2=1/ω
5 ]" x% W! ?0 K+ r恒等式: (sin10)^3-(3/4)(sin10)+(sin30)/4=0....(1)
$ D/ w' e# C4 e( Y9 @" r6 o化为: x^3-3x/4+1/8=0....(2),
/ p0 |; d" Z! b, l" k  
分三次分析
' j! X2 B( {4 V第一分析,

把p=-3/4.  q=1/8  
/ k$ H3 }; F# e9 n$ [代入卡丹公式x1中.
得:2x=[ω]^(1/3)+[1/ω]^(1/3)....(3)
把(3)式两边平方得:
4x^2=[ω^2]^(1/3)+2+[(1/ω)^2]^(1/3).
上式ω^3=1变形后为:4x^2=[1/ω]^(1/3)+2+[(ω)^2]^(1/3).
# q; j/ D" f9 Z! a8 {(3)式代入后得:
- }+ u- K$ M4 ?& C! Y2 C5 I$ ]得:2x^-x-1=0......(4)
此时(4)和(1)式(2)式矛盾 .由卡丹公式引起.
1 y' A+ ]$ l4 m: M& I& j! x3 f其实此时完全证明了卡 丹公式不是万能公式.不能解(1)(2)形式方程.
其实没必要做第种 情况分析.为了让大家放心,我再做.
3 E& \* S6 N0 s8 |* W' S第二分析,

/ V3 i1 a8 u* }" x5 W8 i+ F把p=-3/4.  q=1/8  
代入卡丹公式x2中.
* F" I  L* i8 o0 k" n得:2x=ω[ω]^(1/3)+ω^2*[1/ω]^(1/3)
两边平方后:4x^2=ω^2*[ω^2]^(1/3)+2+ω^4*[(1/ω)^2]^(1/3)
得:4x^2=ω^2*[1/ω]^(1/3)+2+ω[ω]^(1/3)
% t8 ?, _, H+ I0 Z- k  同理得:2x^-x-1=0

第三分析(略)
# d& u3 ^+ n7 d% W+ S+ d卡 丹公式不明解大部分一元三次方程.只能解 4(siin30)^3-(3/4)(sin30.)+sin90=0  这一种形式的一元三次方程...

谢芝灵

数学题:

% ]& z! r2 E; ~5 z$ v7 P已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
2 s; t" t& m" b' E- r' f有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.

求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?

解题.
* x- X( k8 P* Y* Y2 y  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
3 U! M' \/ h6 D$ x1 S. U( x  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
; X" U6 v- d" E7 A; m6 T( U  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
  一元二次方程x^2-x-2=0.,
8 [+ h: e: N, y0 T/ R1 b: O再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
必在-1和2之中.

: P6 p9 W% v( B6 ]2 g/ ]2 K再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
, c' j3 p: g1 n& D8 F9 k并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..

补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).
% u* S3 D4 f! g2 d3 }& c  Y
$ A! }$ |  ?) x$ F* c! w$ F5 U4 J9 j证:
# _$ r3 L) D- i6 e) y" A. i) ?) j令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
8 S+ P* v; V+ B' w" f- l9 O  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
5 M, [/ U3 {: [% r! b1 ]1 f     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
   得:w^2=x^2.
  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
  证毕!
; ^% [2 K+ D8 T# J- N  L2 z7 H

谢芝灵

谢芝灵

楼里讲得很清了,x1是原方程的根,肯定不是增根.代入原方程后得到一个一元二次方程,原根也没丢,把二个根代入就矛盾了.
  e8 h5 @$ S: `2 F* E/ \但网友说1^(1/3)有三种情况.其实这三种情况卡丹早想到了,所以卡丹公式才有x2,x3,见x2,x3,里面都有ω和ω^2(即1/ω).
  c2 i/ w. |3 c( b2 `$ w% m' W. c6 ]也分别分析了三种情况,

谢芝灵

关于增根,减根问题.
在(2)式代入卡丹方程中得到三个根,我把三个根x1,x2,x3都分析,就不会漏减根了.
由卡丹公式得到x1,此时就是一个一元一次方程.两边平方后得一元二次方程.出现了一个增根.
4 l0 G. k% |( _- U4 w我把这两个根都代入(2)式,均错误.
第二步,把x2这个两边平方,又得到一样一元二次方程.同样矛盾.
第三步,同上一样.

所以不存在增根减根把主根丢失的情况.
4 a- _7 ~; f* a; j( @方程就三个根x1,x2,x3.也可写成sin10,sin50,-sin70.有人说多了几个根,如-cos20.等.其实-cos20就是-sin70.他们是重复计算.

& U4 t6 z  z0 w) @其中的复数也是按复 复数法则.ω^3=1,得ω^2=1/ω.还有(1/ω)^2=ω.
- U; \8 q$ k4 K! `% u- I
5 k& D. K* g$ [, K/ U那么(ω)^(1/2)的平方等于多少?
得:[ (ω)^(1/2)]^2=(ω^2)^(1/2)=(1/ω)^(1/2).
错误的计算是::[ (ω)^(1/2)]^2=(ω)^(2/2).=ω.====此是错误的!

2 L1 ~1 Q: i1 N, Q8 [6 g! H

谢芝灵

, _: _4 @# }4 d5 _5 a( H5 V
奇妙的数ω.
ω=[-1+i(3)^(1/2)]/2
9 Q4 q! u' G  k0 Wn是非0的任何数.
ω+1/ω=(ω)^n+(1/ω)^n=-1或2.当 n为1,2,4,8,16,...形式时等于-1.别的形式等于2.
2 e8 S& _! G: D5 X7 G7 u* _解:设(ω)^n+(1/ω)^n=x.
  两边平方后得ω^2)^n+2+[(1/ω)^2]^n=x^2
+ U) i, u6 @- E4 }                  得ω)^n+(1/ω)^n+2=x^2.
3 B) y/ U0 C, V8 P* f       得方程:x^2=x+2
" \) ^* h) I$ U& m* P  解得 x1=-1.   x2=2.
" {2 K# x6 ^8 ?3 w

谢芝灵

谢芝灵

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2013-11-14 16:06 上传

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谢芝灵

关健是我知道卡丹为什么会错的核心.
* N( W3 `1 s% l$ S. ~( b- N就像围棋玲珑局,会困死全世界的数学家.
9 _4 f) Y7 h. u+ T
只有我会破解.
2 p7 k; z" f8 K# O+ ?, R