我想找一些与数学有关的的小例子（能锻炼建模思维）

数学不烦

大家好，我想找一些关于数学的小例子，能给刚刚接触数学建模的人启发，便于培养兴趣
不用像国赛的这么大工程，就几个趣味数学小问题，又能让他用数学知识或者数学软件，编程
技巧解答出来的都可以，不知道各位朋友是老师或者学术研究者（前辈）有没有关于这些类似的
资料呢？希望能与我分享下，谢谢了。

以下有几篇是我想要的类型：
（1）

一种实验用白鼠出生后总共存活n个月9<n<13，(n为自然数)，从第7个月后就开始生小白鼠,在第7、8这两个月中每月每一对白鼠恰好生1对小白鼠，从第9个月起的m个月内每一对白鼠恰好生2对小白鼠(0<m<3,m为自然数)，然后停止生育，在第n月末死亡（第n个月这些白鼠的数量还计算在内）。在这个实验室环境中可以舒适地生存100对白鼠。每一月先计算从上一月存活下来的白鼠，当某月从上一月存活下来的白鼠的数量超过100对时，该月出生的小白鼠将被转移到别的实验室。设开始时有1对刚出生的小白鼠，问第k月有多少对白鼠(0<k<37, k为自然数)？例如，当n=10、m=1, k=11时，第1至6月白鼠的对数均为1，也就是原来的这一对，第7月2对：原来的1对加上这一对在第7月生育的1对，第8月3对：原来的1对加上7月生育的1对，再加上8月生育的一对，第9月5对：原来的一对，加上7月生育的1对，加上8月生育的1对，再加上9月生育的2对，第10月5对，与第9月相同，第11月4对（因为最初的这一对白鼠死亡）。

（2）

当今人类已经进入信息社会，如何对信息资源进行安全的保护和管理，是我们所面临的重要课题，采用密码技术是保护信息安全的主要手段之一。密码技术自古有之，到目前为止，已经从外交和军事领域走向公开，它是结合数学、计算机科学、电子和通信等诸多学科于一身的交叉新学科。它不仅具有保证信息机密性的信息加密功能，而且具有数字签名、身份验证、秘密分存、系统安全等功能。所以，密码技术不仅在军事、外交等领域发挥作用外，还在政府部门、银行、财政、税务、海关等电子化系统中发挥独特的作用。

请搜集各种资料，介绍密码学的发展历史、基本原理以及在现代科技中的重要作用，并详细介绍RSA公开秘钥密码算法(或其它一种现代密码体系)的原理，并利用100000以内的2个大素数为“I love Matlab”进行加密和解密。

（3）

蒙特卡洛算法的设计和实现

蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。与它对应的是确定性算法。蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。

请搜集各种资料，对蒙特卡洛算法的发展、算法思想原理和应用进行介绍说明，并分别从理论上和利用蒙特卡洛算法试图解释说明下述现象。

在一次旅游途中，小王看到有人用20枚签(其中10枚标有5分分值，10枚标有10分分值)设赌。让游客从中抽出10枚，以10枚签的分值总和为奖罚金额，见表1

表1

    

分值

    

  

50，100

  

  

  

55，95

  

  

  

60，65，85，90

  

  

  

70，75，80

  

    

奖罚金额

    

  

奖100元

  

  

  

奖10元

  

  

  

不奖不罚

  

  

  

罚1元

  

你看，有奖有罚，在11个分值中有4个分值可以获奖，且最高奖额为100元；只有3个分值要受罚，而罚额仅为1元，很有吸引力吧？怪不得有些游客摩拳擦掌，跃跃欲试。那么这些奖是不是这么好拿呢？怎样衡量摊主是赚还是赔呢？