博弈论之凶残海盗的逻辑

QYY1994

     这是选自《科学美国人》中的一道智力题。据说，在美国，在20分钟内能解决这个问题的人，平均年薪在100万美金以上。
     10个海盗抢到了100颗宝石，每一颗都是一样的大小和珍贵。他们决定这么分：
. h, ^4 `" V0 Y; h4 l5 d  k1.抽签决定自己的号码（1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）。
0 o2 T2 G& ~, x* `2 ?- R! ]% t2.首先，由1号提出分配方案，然后大家10人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
3.如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家9人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
4.以此类推……
& L  t. P6 p! N3 a, M     条件：
1.每个海盗都是高度理性的人，都能很理智地把握全局，判断得失，从而做出选择。最后，海盗间私底下的交易是不存在的，因为海盗除了自己谁都不相信。
2.每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的宝石。
3.每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鲨鱼，这是最重要的。同时，每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下，他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。
4.一颗宝石是不能被分割的，不可以你半颗我半颗。
5.每个海盗的序号都不同，而且所有海盗都知道别人的序号，也就是说，每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。
. w0 u( z5 ]: \, Q; y# O5 n, w. R6 y     问题：
, I2 C9 a7 A. G7 U第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？
3 k4 \8 [. K9 ^9 q( i7 I4 d（欢迎大家踊跃发言，为了一百万美金的年薪。。。。。。）
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詹高杰

楼上的大神好厉害，点赞一个~！
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数学中国—罂粟

A. 每一个海盗都想由自己来主导分配，因此下一号海盗总是会无条件反对上一个的提案，比如2会反对1、3会反对2等等；

B.每一个海盗都会根据推测他人的策略来决定自己的策略；
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9 t* g* x. r$ B0 u然后倒推分析：
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1、当剩下9号、10号时，9号会按100/0来分配，因此10号的收益期望值是0。所以，对于10号而言，只要是有人分给他大于0，他肯定会同意；
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2、对于8号而言，会想到9号肯定会反对自己的任何方案，因此8号会按99/0/1的方案来分配，争取10号的支持而淘汰9号；所以，对于9号而言，收益期望值也是0。
1 }* ^) D: D7 e* a; Y" A7 I
& V4 J0 K) D0 b' c0 H3、对于7号而言，8号肯定会反对自己，那么7号只要再争取9、10号中的1人同意即可，那么他可以选择给其中1人1块金子即可过关，分配方案是 99/0/0(1)/0(1)。此时，8号的收益期望值也是0。

' h9 m. T) }+ p0 q4、同理，对于7、6、5、4、3、2的任何一位，他们的思考方式和上述的7号、8号是一样的，这样的话，2-7号的收益期望值也是0。

5、综上，2-10号的每一位收益期望值都是0，只要有人给他们分配的大于0他们就会同意。所以对于1号而言，为了争取50%的支持率的话，除掉2号不用考虑，剩下的8个人中只要随意分给4个人各1块金子即可过关。

$ U0 q) R! R' }, M5 p0 p' u分配方案就是：1号96块，2号0块，3-10号其中的任意4个人各一块。