一般线性模型（GLM）的相关思考

雨不眠的下

最近遇到一个问题，如果因变量为一个连续变量（如胰岛素水平），主要考察的变量为分组变量（如正常血糖组，前糖尿病组，糖尿病组三组），现在的目的是想看调整多种变量（包括多个连续性变量和分类变量）后，胰岛素水平是否一致。

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3 K- F+ g4 E8 u& {) ~一开始的思路想到的是采用GLM进行协方差分析来解决。

但是有觉得似乎不是很对，因为经典的协方差分析通常只考虑一个连续变量（协变量）和一个分组变量，同时协变量和分组变量只有不存在交互的时候（经典协方差分析的前提）才能使用协方差分析。
针对我目前的问题，如果想调整多个连续性变量和分类变量，这种方法能否再叫协方差分析？如果可以认为是协方差的思想，用不用检验协方差分析的前提（如协变量与分组变量之间的交互）？多个连续性变量和分类变量存在时，该前提应该怎么检验？
; t5 J0 q; ^" |1 J: Y
# I; [) V" W8 r! r' Y; {通过跟别人交流之后，有一句话非常受用：线性模型其实最重要的不在于用的方差分析还是协方差分析，而主要是检验残差是否符合线性的几个条件。
( c& Q! N4 l! C
) u0 f$ N2 \  @( f+ I+ }4 ?% X6 {受到该启发后，认真再复习GLM的相关资料，得到更加重要的总结如下（来自高惠璇SAS/STAT软件使用手册，实际是SAS8.2的User's guide的中文版，但是目前SAS 9.2，9.3的User's guide关于GLM模型的介绍中已经删去了这么经典的总结，实在可惜，倒让人看不到GLM的真正长处了）：
如果X1-X3，Y1-Y2为连续性变量，Y3为分类变量，a-c为分类变量，time为时间变量，目前我们熟悉的模型可以简单概括如下：
(1) y1= x1    简单回归
(2) y1= x1 x2 x3  多重回归（multiple regression）
( p0 Y) u2 ?% ~  Z7 s) F! ^(3) y1 y2=x1 x2   多元回归（multivariate regression）
(4) y1= a   单因素方差分析
: {) [) ]$ A. |; V(5) y1= a b   （析因设计的）主效应分析
8 I3 l+ x1 s4 N( Q  G1 l: e(6) y1= a b  a*b （析因设计的）主效应加交互项分析
0 U1 Z% ?# i% @(7) y1= a x1   协方差分析
. p$ l: S# h$ q' S5 E. L, ](8) y3= a   单因素logistic回归
(9) y3= a b c x1 x2 x3   多因素logistic回归
(10) y3(time) =a   单因素cox回归
(11) y3(time) = a b c x1 x2 x3  多因素cox回归

5 p, c1 R+ n( _1-7采用SAS的一般线性模型GLM都能实现，而1-9采用SAS的广义线性模型GENMOD都能实现，具体验证详见后面举例
7 m8 l- B% `1 Y2 T0 ~  L4 V/ t
) ~, Z& i! ~+ D0 |0 i, V4 L+ a% _4 h再次回到开始的问题：掌握上述的基本思路后，因为因变量为连续变量，所以采用线性模型肯定是对的。如果因变量可以认为是正态的，那采用一般线性模型是合理的。所以现在的关键问题是：如果调整多个变量（包含分类和连续变量）后看不同分组间因变量（连续变量）是否仍有差异时，能否再称为协方差分析？我目前认为应该是可以的，但是事实上我们遇到这种情况后，并不再去强调它是协方差的思想，而只是回到线性模型分析的最初的起点，也即是检查残差是否符合线性的基本条件即可。

但是现实中，我们在使用GLM解决前面遇到的类似问题时，只是简单地用了，而很多时候我们都没有认真去检验残差是否符合这个条件，这可能是我们滥用GLM的表现之一，因为我们更多只关注模型的参数是否有意义，而不去关心对结果“无关紧要”的前提条件。
: y( p1 z* O; l  z, H8 _
" a1 h1 U9 T( }# S. L6 x/ I再次思考一个问题，上述列举的1-7模型，在GLM中并没有特定的选项指定是哪一种模型，而采用一种表达方式。由此，可以进一步深入概括一句话，GLM模型，对于上述列举的1-7模型并没有本质区别，唯一的区别只是模型中自变量的属性和数量不同。但是我们对1-7模型的叫法却不相同。而其原因是我们对事物的认识是一个由浅到深的过程，之前我们认为他们是不同的7件事情，随着认识的加深，发现原来这些问题可以用一个方式表达出来。而SAS的GENMOD则更能说明这一问题。现在还没有一个模型能把上述模型1-11用一种表达方式表示，但是COX回归在抛开基线生存函数之后剩下的部分也是线性模型，所以说不定哪天真的能够把上述所有模型用一种表达方式表示出来。到时候更应该相信人们对事物的认识绝对是一个由浅到深的过程啦。
6 }% Z( v6 i# |2 b$ E
附：GLM与GENMOD在协方差分析结果的比较
1 \0 d. |4 l* A/ V$ ]# T   data drugtest;
7 }: N& M- t2 V* d. H, J/ o2 p& n8 L      input Drug $ PreTreatment PostTreatment @@;
# ~* c4 I4 b  t2 u, L' c# H      datalines;
0 s: g0 i: M6 q# S0 m. \   A 11  6   A  8  0   A  5  2   A 14  8   A 19 11
7 r2 F# M+ w1 S   A  6  4   A 10 13   A  6  1   A 11  8   A  3  0
   D  6  0   D  6  2   D  7  3   D  8  1   D 18 18
$ a* u( P, M- Y  Q" D3 Z' j   D  8  4   D 19 14   D  8  9   D  5  1   D 15  9
. _  f3 v9 a( S2 h( Z7 j   F 16 13   F 13 10   F 11 18   F  9  5   F 21 23
   F 16 12   F 12  5   F 12 16   F  7  1   F 12 20
3 T6 [# Y- a& v) G* }4 ~   ;
! }* S0 v4 M% t# v% k
( |5 t- G- o( k: r$ u% M   proc glm;
' C' X/ k9 B6 ^; W      class Drug;
! q# q2 U" \; r% C' T+ K4 U- z      model PostTreatment = Drug PreTreatment / solution;
3 m7 V5 {! a  f      lsmeans Drug / stderr pdiff cov out=adjmeans;
   run;
( H2 g- c3 A1 d' h  f+ |4 F2 B4 C
   proc genmod data=drugtest;
! k1 s. f) Q% t& h# Q+ O      class Drug;
0 R4 ?3 k4 Z4 E+ t5 _. @8 |: E: v3 l- h      model PostTreatment = Drug PreTreatment / dist=NOR link=ID obstats type1;
7 S5 _2 @5 v* U' |/ ~- x   run;

; S; z1 k. p6 q0 `2 x   proc print data=adjmeans;
$ J4 ]! K2 _2 v   run;
: `4 j% v3 h/ B# U7 `- s

今生已醉

深入浅出，简练的表达，传达了复杂的内容。
貌似目前好多著者、师者都缺少这种思考与总结，有的书、课件就是靠东拼西凑来的。

拒绝一切

学习了，，“我们更多只关注模型的参数是否有意义，而不去关心对结果“无关紧要”的前提条件
: h: h4 o) u/ N0 Q: I3 U  s”这句话是该提醒了很多人啊，个人感觉不要只知道应用，还要知道原理，所以说理论性的东西还是不可缺的，，谢谢楼主了哈，，
  ~" u' f/ c, n1 O) T( W2 I4 f

无法定义

6 e. w' n  p( X! }学习了，总结的真好，特别是那句关于前提的提醒