论给定区间素数的分布规律公式

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论给定区间素数的分布规律公式
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田永胜

（内蒙古自治区  吉兰泰  750333）

        摘要：通过对自然数按照一定方向旋转排列，找到了自然数的等势区间并集，并对每个区间的素数分布情况进行研究，给出了在给定区间内素数的分布定理、公式及推论。

        关键词 自然数；螺旋排列；给定区间；素数分布；规律；

        引言

        自然数沿数轴方向排列时，素数的分布没有规律可循；当把自然数按一定的方向旋转排列时，素数的分布就变得有规律。下面揭示它的分布规律。

        1 自然数的排列规律

        首先，按逆时针方向把自然数进行排列，如下图：

                                                               
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自然数螺旋排列图

        从上图可以看出，自然数集合N+也可以由一连串连续区间的并集组成，[1]∪（1，9]∪（9，25]∪（25，49]∪（49，81]∪（81，121]∪……∪（（2x-3）^2，（2x-1）^2]…。并且，每个区间的最大数都是奇数（2x-1）的平方。

        2 素数分布定理和公式

        首先，来研究每一区间数字的素数分布情况：

第一区间只有自然数1，素数个数为0。

第二区间为（1，9］，有8个数字，其中素数有4个，所占比例为 4/8=0.5。

第三区间为（10，25］，有16个数字，其中素数有5个，所占比例为 5/16=0.3125；

第四区间为（25，49］，有24个数字，其中素数有6个，所占比例为 6/24=0. 25；以此类推。

其次，再来看每一个区间的素数分布与区间内的数有什么内在规律。1在中心，不是素数；在区间（1，9］有8个自然数，最大数是9，求9的自然对数的倒数，1/ln9≈0.455，与该区间实际素数所占比例接近；乘以总数8，值约等于3.64，取整数后为4，与该区间实际素数个数相同。在区间（10，25］有16个自然数，最大数是25，求25的自然对数的倒数， 1/ln25≈0.311，与区间内实际素数所占比例0.3125很接近，乘以总数16，值约等于4.97，取整数后为5，与该区间实际素数个数相同。在区间（25，49］有24个自然数，最大数是49，求49的自然对数的倒数， 1/ln49≈0.2569，与区间内实际素数所占比例0. 25很接近，乘以总数24，值约等于6.16，取整数后为6，与该区间实际素数个数相同。以此类推，如素数分布规律表所示。
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素数分布规律表

        由上表可以看出，在第2到第8区间，实际素数个数与理论素数个数相等，其他的区间实际素数个数在理论素数个数左右波动，每个区间实际素数的所占比例和理论素数分布密度非常接近。

下面，给出素数分布定理的一般形式。

定理

        设x为自然数，在给定区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］内，素数的分布密度公式为

1/ln（2x-1）^2

        给定区间内自然数的个数为  

（2x-1）^2-（2x-3）^2=8x-8

        用π(x)表示给定区间内的素数个数，则给定区间素数个数与自然数的个数之间存在如下线性关系

π(x)=( 8x-8)/ ln（2x-1）^2

        若用Sn表示n圈内素数的总和，则
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        推论1 在区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］内，只有有限个素数，当x趋向无穷大时，素数也趋向无穷大，即
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        接着，再来看每一个区间的孪生素数的分布情况：在区间（1，9］内有2、3和5、7两对孪生素数，在区间（9，25］内有11、13和17、19两对孪生素数，在区间（25，49］内有29、31和41、43两对孪生素数，在区间（49，81］内有59、61和71、73两对孪生素数，在区间（81，121］内有101、103和107、109两对孪生素数，在区间（121，169］内有137、139和149、151两对孪生素数，在区间（169，225］内有179、181和191、193两对孪生素数，每一区间内被小于或等于（2x-1）的素数约去后，都有两对孪生素数。因此，得出推论在每一个区间至少有两对孪生素数。

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        推论2 在区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］内至少有两对孪生素数。当x趋向无穷时，孪生素数也趋向无穷。

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        推论3

在区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］内，实际素数个数总是在理论素数个数左右波动，即它们的比值在1左右波动，当x取有限数值时，所有区间实际素数与理论素数之比（π(x)/(（8x-8）/ln(2x-1)^2)）的平均值趋向1。当x取无穷大时，无穷区间实际素数与理论素数之比（π(x)/(（8x-8）/ln(2x-1)^2)）的平均值等于1。即当x→∞时，

{π(1)/ [（8×1-8）/ln(2×1-1)^2]+ π(2)/ [（8×2-8）/ln(2×2-1)^2]+

π(3)/[（8×3-8）/ln(2×3-1)^2]+…+π(x)/ [（8x-8）/ln(2x-1)^2]}/（1+2+3+…+x）=1

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tysh670407

5 z( u" ~. k; u6 t  y0 e
* c0 o; e  ~/ Q+ L# S9 i: S做了一张相邻两个奇数平方之间的素数个数与素数定理误差统计计算表，供大家研究。
+ [+ n3 E* y  H$ E8 `
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) Y" y0 L. h* m+ u9 {* u# s  

* L% v% E. h/ ~- z' b, ~3 K
% k4 F# e. D, ]6 D& H3 x' d4 o& h从表中可以看出，素数定理的误差远远大于相邻两个奇数平方之间的素数个数的误差，误差率总体呈下降趋势，但依然比相邻两个奇数平方之间的素数个数的误差率大几千倍。
  @3 f& \* ~5 `) L4.98/0.0015=3320

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数学1+1

  U) j9 g5 f* F
定理：命 A≥0 ,M≥3 .记在 A 与 A+M 之间的素数个数为 π(A;M) .则
/ J* X* `0 i$ _  w4 q5 [# [             π(A;M)≤(2M/log M)[1+o(log logM/log M)] .
这里与o有关的常数与 A 及 M 无关.
8 U2 L+ I9 [5 _/ I. |问题 :求
             π(A;M)≥?

( ~( |; F) o! w! j9 S) {( u

tysh670407

. M6 _7 l& Z1 j0 O2 q! M7 u4 `
自己用EXCEL和其他软件做的一个统计表，能力有限。作了1000间隔区间和10000区间间隔的统计表。手头软件只能计算最大数为42.9亿的素数。

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7 ], U8 D' b( [* w6 ~从表上可以看出，数越大，误差率越小，比值越接近1。

tysh670407

551987369 发表于 2018-6-6 17:50
: l, g+ O9 ^; m2 ~无用的,你在一百万以内做的很精确,可是跑的十亿,一百亿,你的这些规律将被无情的砸烂,误差大到不能接受.我在 ...

20021、30031、32741区间实际和理论素数对比表，最大数42.9亿。10个区间累计误差小于0.3%。
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) z7 O- N1 s6 T6 G- `) E# ^! u

tysh670407

551987369 发表于 2018-6-6 17:50
无用的,你在一百万以内做的很精确,可是跑的十亿,一百亿,你的这些规律将被无情的砸烂,误差大到不能接受.我在 ...

感谢前辈的关注，黎曼也只是对高斯的猜想，作了一些修改，如果没有继承和修订，科学就不会发展，如果你能对学生的这些研究成果，做一些研究，你会有所收获的，高斯以1000为间隔区间，而本人只是对区间扩大为相邻两个奇数的平方之间，对高斯素数定理作了一些修订而已，科学是不需要别人承认的，只需要把你的成果告诉大家就行了。

551987369

无用的,你在一百万以内做的很精确,可是跑的十亿,一百亿,你的这些规律将被无情的砸烂,误差大到不能接受.我在10^10做了几个比较精确的近似公式,到了10^20,白做了,没有半点用处.
0 `% V! a, k4 s' i8 e' [我们不用 瞎忙了,现成的黎曼公式无法超越.虽然大数仍需修补,但目前没有精度比它更高的公式了.
1 n$ i, r5 X3 @1 S0 ?$ Y% {' H" D看你的文章,好像是民科,没有官方语言符号.虽然以前我也是民科,但我现在转而研究消化前人的成果,不说证明了什么,也不说发现了什么.静静的读书才是好事.

tysh670407

好久没有来论坛了，谢谢各位同仁前辈的关爱，如果大家觉得对，请应用到自己的论文中。
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店铺买饺子

真厉害 好好学习

tysh670407

( e$ u7 z1 S7 z, g
        从1到无穷区间实际素数与理论素数之比（π(x)/(（8x-8）/ln(2x-1)^2)）的平均值等于1。

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推论3 在区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］内，实际素数个数总是在理论素数个数左右波动，即它们的比值在1左右波动，当x取有限数值时，所有区间实际素数与理论素数之比（π(x)/(（8x-8）/ln(2x-1)^2)）的平均值趋向1。当x取无穷大时，无穷区间实际素数与理论素数之比（π(x)/(（8x-8）/ln(2x-1)^2)）的平均值等于1。即当x→∞时，

{π(1)/ [（8×1-8）/ln(2×1-1)^2]+ π(2)/ [（8×2-8）/ln(2×2-1)^2]+

π(3)/[（8×3-8）/ln(2×3-1)^2]+…+π(x)/ [（8x-8）/ln(2x-1)^2]}/（1+2+3+…+x）=1

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