关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
1 Q0 d. U& o2 r+ l8 C

5 g. Y) K( q3 L9 @内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
" O; E0 m- t1 C( Z关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和

3 D; W* d  X+ T; y  B一、“142857”的神奇性质
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
表1. 神奇数字142857的性质列表
142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
! C/ L/ L! h' F2 b) Q2 a  U2+7=9
14+28+57=99
% b' P0 m$ |% b7 `142+857=999
* M5 r# K* s1 L$ k: |142857×2=285714        142857×23=3285711       
& z+ t3 o& Q# j142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
* t# _% t" s) b6 j+ c" Z; o142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
1428573=2915443148696793.
7 K1 q' u. d0 M. z        2915+443148+696793=1142856=8×142857
& K: U3 T* Q* P1428574=416401461893377757601
( G  l- W4 m' K        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
, c2 U- x' }9 x/ T: n% q1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
* n. y& h% J; \  A  G" \% c0 \=3142854=22×142857
4 E) }' v& M  o  Z+ J142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
' t8 ^" }" ~, \/ D9 x
这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
* J  @4 s. {& y) M& {" W9 \& h3 A( E# I- M 1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
3 `! @( y) ^( f7 |& u142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
142857=15873×9，
1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
% c1 L, W6 r0 q27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
二、神奇数字142857的计算规律
( y6 t* E/ b  ~0 N  c6 _$ f以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
7 c7 V! h! ^9 D( V. }5 {% @（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
n=(10b-7a)，
" c) b; q. ^/ E7 O( n5 w: Nn=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
2 h6 @8 c. F; S4 h$ i! d7 M3 f+ e解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
. A3 r7 `: X# k; Yn        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
/ w' S# D6 c) H! C( C# c1 V0 A2 Nb        6        2        1        4        5        3
由此得到142857的简单整数倍的计算式
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
1 L! C) I1 t, V式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
% W5 b1 m) Q- U- ^! D在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
" F. C/ T3 m! e. P其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
- [+ N3 C3 q1 w, j3 G+ y) z- t  `; K5 a101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
, q. l) N9 Y" R5 [归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
n=(10b-7a)，
待定系数也一目了然了。
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
A=m×106+nA-m                          ( 2 )
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
; f8 V7 X5 g9 i3 t 比如,求 13 A =？
  |7 ~% G; `/ z( `" h. t3 ~1 x   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
) `' D& ^! o  u, }, w* q（二）142857的n次幂的计算
; o5 v, }9 C' T结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
& L9 @5 q0 x- i6 ?# E0 a由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
由此
7 s9 [/ Z! x7 J/ ~' n6 E(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
, w* d. ?' }% C) t1 d5 N, x* ]最终得到
# e1 c9 c  S6 h  X: m! RAn+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
: i, x& x5 w8 E. b$ o2 a# l- _现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
; y" ]" ?% s! `* [7 a' e7 ^ 142857=20408+122449.
" L' B0 m) h! ]这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
: C' A+ ^2 L1 L3 Y运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
A4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
# b3 r" k3 f- x) V7 N5 I试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
2915443148696793×142857=？
3 l. \/ u$ f/ h0 S5 g- \' w. o$ q被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
% T. Q* d* o; Y$ p; y% O（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
, u! N  q% V4 l. X6 FA3=2915443148696793，                           
: X% o# E- m; l. Z A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
5 \& a& x! n1 v* w' _9 ~现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
; X) C( y. u; [A1 =142857，                   A1 =142857= A
A2 =20408122449，                               A2=142857= A
1 T. V0 f1 k- J& jA3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
A4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
A5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
9 K, ?3 v; y7 T; eA6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
A7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
, D0 ?3 j6 q  h2 H7 ]. JA9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
' |8 G6 G! P5 A' [而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
现以A3为例，验证如下：
已知：
: g3 A. n8 `& v, ?& cA3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
+ u% o! ]; A5 o% ~$ O# G* c' t证明：
) I3 j, B% r* r2 t: cA3= a×1012 +b×106+c
  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
, F. Z1 ]; u$ c/ {4 R3 {: f  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
& X/ E% a" Q6 W8 v3 T/ D  {  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
: p- Q/ x$ u8 D8 v0 O& r3 p* Z0 x又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
7 e; k9 G3 I: Z# q/ e. Y=7A(P-Q)+A
4 s' V, X, _1 }* f5 f. J4 K; u= (7R+1)A.                                                
以上P,Q,R 均为自然数。
8 G( K2 _0 f. j* _4 R对A3
) ^/ k7 b! p0 }5 p) V  na+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
* z* j& j1 ?3 j4 a( g" d以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
) s: h9 y8 m* s& c; G" x5 h
参考文献：
5 [) X& x, W& P# Y- l[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.

! R# f' H$ I3 w- P; _% a! X