人口预测

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人口预测
8 z/ y) K9 ~7 G0 [: U9 a1.问题
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
年（公元）

人口（百万）        1790

3 a5 q7 L+ j9 v. S2 N" a3.9        1800
8 ~6 }& `5 P: l# t: H' a# a% b2 y
) {; i5 x; x+ P! ~1 O0 a5.3        1810

7.2        1820
3 X+ v# S3 u" s
' L5 C. l: ?$ H+ s% p5 _9.6        1830

4 C; Z6 X" l4 E2 O12.9        1840
( ~6 ^2 |! d& i( Q" r
  g$ i1 [" k; X1 J17.1        1850
+ H! w8 p  S/ h, i$ q6 o/ @! p
* p" i8 D( U3 o) v# ]* Y" L6 {$ H- ~, K23.2
年（公元）

人口（百万）        1860
9 {( Y: O( I$ f* K* F
$ K' d5 O0 _! C- J# W, W31.4        1870

0 N5 ~/ T9 D+ M2 N38.6        1880

( n( }2 N& s9 r50.2        1890

! X* q5 W& I4 {5 Q) v/ T9 x' |62.9        1900
1 ~6 W/ m4 @! f% h* S
76.0        1910
0 m4 Z4 F  m, U" V9 e& X0 d
3 T: f  d( ]* u; l1 G2 r" e8 F  d0 s* A. v92.0        1920

, C- S4 t4 U# ~; _106.5
0 B0 m# ~' l1 R年（公元）

" s8 L( m( \" _/ @9 @+ i人口（百万）        1930
' i: E( {; m! }/ [, j
. N1 H# o0 C- Z3 T0 D9 _* m123.2        1940
4 n8 S) V; G4 n- j9 S$ Z
. `! J5 p, K3 I' V! x) }131.7        1950
' j% Z6 u% x9 i& V* A, ~6 [. f
3 ^& c+ h  B8 g2 q& l& ]8 k150.7        1960

# L1 @: V- b2 @+ ?- n2 M179.3        1970
2 e% {& m- A' A# g0 t5 }
204.0        1980
3 U' x/ f; m+ _. a  m0 I
! G1 R' h7 v% e. Z- g226.5        1990
  [' C8 ~# _, I+ C9 ^
251.4

; k$ v8 J+ s6 A' c! P1 V6 a2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
* V& b& W$ S" f* @3 S3 l1 f此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
. E; d: O3 y/ @- n! B
于是 满足微分方程：
                       （1）
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
. k3 y) e, K: x5 p% n% n7 n* V表明： 时， （ >0）.
[4] 模型的参数估计：
; f- S7 f* J& M( L/ J5 D9 j6 ]要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
% ~2 U# _/ j/ n; C4 P0 Y通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
+ A6 J* L% [& p$ @, a0 d[5] 模型检验：
   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
* i/ P) f' X8 B2 O2 b表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
1 Y  i  o5 h, T2 \' n2 d6 s年
2 c* g5 p6 d6 `4 J; ?(公元)        实际人口
) X" O1 }3 H3 V- Q" h4 n6 Z（百万）        指数增长模型
                预测人口（百万）        误差（%）
( X& ~4 t; y! G+ x! S/ S1790        3.9               
+ o, Z5 M: }2 X9 Q& G5 A( ~1800        5.3               
1 M' S% G5 _; D  ^) z1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
1840        17.1        18.7        9.4
+ K2 z* l5 r1 Y: ?( r2 M/ a1850        23.2        25.6        10.3
" S' C1 m1 z! L6 x3 U$ G1860        31.4        35.0        10.8
0 t. A$ S  `7 h+ |1870        38.6        47.8        23.8
- U4 i: V2 q3 v  u1 t, z3 v1880        50.2        65.5        30.5
3 K4 X3 `) e* t7 n" {0 ?& \1890        62.9        89.6        42.4
; ^; c0 o: j- S8 e1900        76.0        122.5        61.2
7 T  Q9 N9 d0 Z8 [& j" b1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
- ^1 {/ A9 J" k) k6 \  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
* D- N1 n* V. C1 Y; j3. 阻滞增长模型（logistic模型）
/ W% c6 o3 K/ _! a& s[1]假设：
$ C8 _1 }8 ?5 A& i: b* k（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
7 E5 w8 p9 `7 {( o9 {模型：                          （4）
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  

) E7 `; Q5 x& A4 e
" X$ d$ n& ]  A: {) _) r

- Q2 h5 G8 G5 b8 p: J- ^+ r) q




5 a4 @$ Z' y( |
[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
8 d6 b" \( p. ?% {% `0 ? [5] 模型检验：
) ]7 D; A' @4 ]; v# @  m# d' }将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
7 l% m6 z/ F3 }, \, ]. J+ q# E      t=0,1,2,…,     (6)
3 \; l. {% |- L/ t+ `% E; @用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.

表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较

2 f4 l" x- o3 q& j: D年
        实际
( \$ l  r/ P& _6 R5 q人口
(百万)        阻滞增长模型
/ G- E' A1 L6 _: X* c: ~9 Y                公式（5）        公式（6）
" O* q$ q8 H. I2 h# |                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
3 v5 h( f2 `' ^5 C7 W1790        3.9                               
6 s* w  r& v+ f1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
% w# b3 W% _4 u: E+ l/ m1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
% a! t4 p. i5 j" [) E1 ~2 ^1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
; K; o. |& O$ r$ I- ~/ }0 g1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
" t% M5 c  V; @1 M) u6 A! i1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
/ o) N# R  O$ K" u9 r& e5 k1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
6 @8 L6 n% N+ x9 ?- ?3 O( M1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
2 Q! P7 ^3 W( U9 j+ Z1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
% y' ?0 z# M# h9 c% H1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
! w2 t$ D" ^' g1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
5 Q+ [5 `  K3 ~5 B8 }1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
  F( e, \; b- D" u8 `5 J1 r1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
9 D, D6 ^2 l0 p+ v5 G6 `[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.
3 n* c  |# n2 }8 r- V- l
+ u' o5 _% Z. T4 ?% ]1 P
+ ]$ p9 t/ e4 f! L( S; a

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