人口预测

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人口预测
( |, w9 U3 u% ?+ X+ Q- R9 v# \1.问题
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
年（公元）

. H5 i# j5 b4 q' p$ E人口（百万）        1790
+ X& B& d) n! g9 |2 k% }
4 A0 x+ y% S7 V6 ~$ a3.9        1800
* O' |' F8 |7 D
  x7 n. S) Q5 J9 u1 I/ |5.3        1810
9 U7 q* o$ ]  Z8 w" t+ W, H
2 B5 `4 l" g- L' E9 |5 I* h% `7.2        1820
7 t; L) n+ w" L4 v6 z* w/ X
9.6        1830
% ?+ i6 r* K5 ^& O
4 D+ n0 S7 O& h5 C" Z, @- A7 u; i12.9        1840

17.1        1850
% i6 j! J5 Y/ o- R
9 ]2 u* G* h4 s2 \23.2
年（公元）

人口（百万）        1860
1 a; ^- j  `& ?. \1 L8 a" V
31.4        1870

1 a) o# e5 N( O' O  X. E38.6        1880
, o% H; Q# h' {! ]# m
4 u0 p, t& o$ U" A6 \# \50.2        1890

62.9        1900
" s* j/ Z: T: H& T
76.0        1910

  k7 T) T/ \; f* i5 q) `92.0        1920
  k- w6 |8 v' ]* h* z
4 Y5 [- \, F" B3 F" {6 _, H6 W( S106.5
7 @# R4 W  s) Y/ @5 u年（公元）
" ]9 F- U# ~( w& ]
人口（百万）        1930
8 |5 Z& T9 R* ]8 ]8 y' h$ q: `
# l, ]$ q5 H& f  ]* c123.2        1940
/ [: Y8 E0 z1 |# H5 X
131.7        1950

150.7        1960

5 `9 q$ h: r, ]' I179.3        1970
/ K7 _3 ~7 |8 Q$ n! ]8 \
$ `2 ^* c- e+ B* u7 y" E204.0        1980

226.5        1990

5 z! p. y4 b6 C: x) c251.4
% B) U- X! |, c) Y' @
5 b8 y6 C- a* y3 X+ s" I0 q5 l- b2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
5 w1 R. a8 T+ i7 k6 T% U- r, v. C[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：

于是 满足微分方程：
                       （1）
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
7 ?5 h: a: Y+ I& W, f( m5 o表明： 时， （ >0）.
* h5 x+ Z& r' U$ Y[4] 模型的参数估计：
8 \/ f- l1 O- R( ~要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
* N# P- e' t9 @& r; R通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
0 e. s+ z- \) Q+ Y, Y$ ?[5] 模型检验：
( B+ Y% u( s' T- C+ M" f   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
$ S, N4 T! n: m) J2 U% n, z表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
, _3 b8 F/ a4 o" M, W年
4 [0 q5 z+ h) K5 b: y' G# E2 D(公元)        实际人口
（百万）        指数增长模型
8 K+ `* s% X  I# {* n: q                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
; {- Q3 q1 _3 I6 D6 E0 ^1800        5.3               
2 D+ o/ x" O9 L: K/ L9 l2 I! [1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
" `2 F3 ?1 v9 q6 E, ~& Q1840        17.1        18.7        9.4
# ~8 P) G* S5 ]/ T9 L! B/ i  M1850        23.2        25.6        10.3
2 x0 G- I% s) K( v; W! l& [1860        31.4        35.0        10.8
( p1 g! P1 j- x1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
  G: Z) P9 U+ j/ P1890        62.9        89.6        42.4
/ Y! s8 a( P+ J5 x9 y/ j1900        76.0        122.5        61.2
) ?, |% _- u. p- F* P* f1910        92.0        167.6        82.1
0 p+ S' G4 L3 [( u1920        106.5        229.3        115.3
& L( m- X/ n. b3 p+ `3 z  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
+ [5 @5 y6 N+ T; S: {3 S6 T& z0 |  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
+ F5 P- _  v/ Z1 W3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
- E6 G5 l6 J' N4 ]（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
8 i4 L$ A: V- `& P( A( |$ [[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
. D# Q* N. j: ]% B  G# o, j1 `' W模型：                          （4）
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
5 {! F9 l+ Y" c8 P$ E  c






& O; k" A( b+ [& g
# K4 ?. o* I7 v- F' ~
/ A3 m' z* m& z" N% E8 H
[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
[5] 模型检验：
4 ?, M6 H2 _. c* u将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
. ?5 m. A" e2 K" L0 F
表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较

3 S2 q4 H3 w  G7 T. L$ d年
        实际
人口
. c* H8 D5 M, g# P: l% @(百万)        阻滞增长模型
                公式（5）        公式（6）
! v- z' `! q$ M- \  {: G* \0 H$ m' g                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
; }7 D! f$ g8 M0 r$ [2 X. D1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
0 I" @5 B6 U9 y1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
. j. s5 k$ O7 i0 H& f9 r. ?. ~, _1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
! y; @% A! W/ `1 ?* h" T1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
' R! r. W! I0 u2 c0 u( B% E5 o6 u1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
; T( T1 u. c' N& C7 Y$ b8 l0 H2 {  U& b1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
8 [) U3 _" h6 x$ k: m9 O+ P1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
8 U1 P1 o/ W( D- \  N- N; E( |1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
; ^$ g, V, ~# t" s8 Z$ M- I0 [% ]- u# j2 o1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
4 `1 o6 o1 h. I1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
/ d( ]5 B- N9 t& l# C( ]& [[6] 模型应用：
4 C" w: m9 ~* `& j% ?$ I7 c- r5 M$ Z+ Z 现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
4 |# L+ M! X7 v& q$ J5 A8 J+ j7 Cx(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.
) }7 S% x* O5 C- r9 m  h( u
5 y7 m( ?6 P8 V0 e) ]; ]3 W

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很好的帖子，支持一下。
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