人口预测

longde

人口预测
( |' c3 z4 a# I( p( z2 u1.问题
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
% @2 P% F" t3 i% B% i9 b2 \4 `4 L表1  美国人口统计数据
年（公元）

人口（百万）        1790
' [% i! D+ c3 H/ h" I8 O. c
3.9        1800
0 K2 V9 I$ D) |9 ?3 l) U
. C6 N6 G& N+ Z/ u8 a/ q5.3        1810
) \. N' D% ~: |2 [3 `: w, f' Y
7.2        1820
0 \9 v) Z6 j/ e4 Q% a% i* Y* c8 r
9.6        1830

9 r, d: j1 V$ p- G% n$ S$ Z12.9        1840
. D( M6 S+ u( n
17.1        1850

  _/ _5 B* @$ |& r7 ^* r! q& W$ d9 D23.2
年（公元）
1 ]% Y( ?: @6 @
' t8 c# B- O8 n3 t人口（百万）        1860

31.4        1870

  B- j0 m5 |3 q. s' x; ^38.6        1880

3 a9 O7 u+ R) `+ e8 j$ y50.2        1890

5 ^' b2 N0 ^. o62.9        1900

2 L! z, P+ t9 ?+ j- u! n76.0        1910
6 U/ ?9 o2 u6 _& {+ T- M& V
/ X+ Y" D0 ?6 w$ B- J% ~92.0        1920
+ |* s5 W+ M# Z4 N- K4 L
. ?" \( z# e' l2 p106.5
年（公元）

+ g2 ^0 O0 j# e  z人口（百万）        1930

123.2        1940
& z6 H+ l' o  L6 P. `9 u8 u' c
131.7        1950

" k( }) x. W7 a  v' @0 A150.7        1960

179.3        1970
- [' e7 N* o. P# g
204.0        1980

226.5        1990
  L6 S& ]% b) p
: A- S! v: a6 v251.4

$ o& J. C; G8 q& n% w2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
1 X. T1 R4 D* ^/ l6 O- P此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
3 Q2 i5 a6 ?2 a- h7 c[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
" i2 f* \! @: R
于是 满足微分方程：
- k: ~# L) s5 d                       （1）
7 u0 f  l. R) G6 E4 }- m) E[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
! y$ _, S! }8 g$ @                              （2）
表明： 时， （ >0）.
* A- m! ~6 y5 w. b1 F4 O' I9 l[4] 模型的参数估计：
) K. X" [5 b7 |) o; Y) Y* h要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
8 M- O% B' ~+ w% \通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
[5] 模型检验：
   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
(公元)        实际人口
（百万）        指数增长模型
                预测人口（百万）        误差（%）
7 ~) [( ~. X& d# q9 u1790        3.9               
1800        5.3               
( ?6 S* X1 P: A+ ?+ W1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
1840        17.1        18.7        9.4
+ \  Z( {0 J" d' H( s  ^1850        23.2        25.6        10.3
1860        31.4        35.0        10.8
1870        38.6        47.8        23.8
" q3 R$ v& b/ e- A: O1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
4 U; M0 Z2 n4 |5 G& j: R7 b# s0 G1900        76.0        122.5        61.2
. T# n  q- i% [( v$ X& b1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
' G" x  `. ~5 u! \; \" S2 ?  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
0 |& |& M* P% ^1 h/ x: x% m3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
' V7 \0 H" ]; y  o（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
7 o5 n6 L+ ~/ X) p7 i/ G   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
8 y0 f4 Y7 e: j# J" i) p模型：                          （4）
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
9 s# |9 w0 T" W" _$ M- J    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
. ^3 O+ _1 D& `
1 v( f1 C  D) n6 O

# m6 e& m9 @( I! r
- S5 v0 [$ D8 N6 T

% H  q$ ?: o0 j/ L
7 G0 D( [% R) i
3 c' q' H4 C) g5 N  X0 E' M$ p
$ Y  L8 M( t2 x0 R3 ^& }
7 A' V( k8 v9 x# g[4] 模型的参数估计：
) D% f: K8 D* c! _& h利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
5 P: M6 O+ i, s5 A; \2 m6 f5 y* G3 j8 ^ [5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
  `. D' i1 e3 r& z+ P2 a9 K      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
$ U( }8 J$ v; n, Y0 w
  q% I: \2 e+ Y$ q) c- I; F$ Y4 S表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
  ~- Z9 W# C; [% p% X; N; n: ~
* C. l8 K) e, Y, ]9 O. X/ k' h年
        实际
人口
: G% y$ F& s& U" R(百万)        阻滞增长模型
                公式（5）        公式（6）
9 H" t' @5 v1 P: ^- L# q. }: p5 E                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
+ J6 S" j, t" G3 I% U) o7 W1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
* t2 R' `5 b2 f% \% S, ~/ D3 C1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
! q7 a) Y9 g  S3 H  k$ f1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
6 [7 H; f, T. D1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
% ]) d  d+ @3 ?( f; C( w1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
& ]& ^3 L7 I5 a6 S. Y5 s$ r! b/ R1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
2 {* X# |* b; }; ^6 t8 h+ d2 G1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
0 e5 u" @, h: n* t* T% M" p1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
; N- V( J3 a, \1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
& y3 }$ {4 ?; k* P1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
6 i, K1 o2 R; J% u" S- K2 w1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
4 ?- R( z1 t  R% e8 @[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
& j2 I4 \1 Y4 X( k: ]6 a( yx(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.
  O  u4 K5 I% O- q

$ S! Q) ]4 U" z: n! u+ k& s

2923153768

很好的帖子，支持一下。