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[推荐]100个著名初等数学问题研究

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发表于 2005-1-22 21:47 |只看该作者 |正序浏览

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第01题阿基米德分牛问题Archimedes'' Problema Bovinum 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成. 在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7. 在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7. 问这牛群是怎样组成的？

第02题德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac ( I; r* _2 g r# G9 P 一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.: R2 O6 x. L1 k* w- y 问这4块砝码碎片各重多少？

第03题牛顿的草地与母牛问题Newton''s Problem of the Fields and Cows 5 n+ R8 C( f- z8 J4 h7 H a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；* {% L( {) R y3 G8 g! l. [ a''头母牛将b''块地上的牧草在c''天内吃完了； # Y9 T6 @/ V5 R! I! N- B a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了； ( n/ B8 G5 o' ? 求出从a到c"9个数量之间的关系？

第04题贝韦克的七个7的问题Berwick''s Problem of the Seven Sevens % L- m- Y) G3 n* E, C' W! W( I8 o 在下面除法例题中，被除数被除数除尽：' Z2 a. t) L5 y! B( D * * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * * ) i" p4 q+ x; Q * * * * * *- _7 j# m; Z7 m$ \: s' _. K * * * * * 7 * & t1 d4 X* K7 F8 t5 [9 U7 ^ * * * * * * * , l9 a! ~: i6 @9 M7 C1 m; o: s$ ] * 7 * * * *2 I I3 _4 p9 |2 D" S" s * 7 * * * * # x* \5 f& |$ v! I2 x0 ^5 W * * * * * * *. u F1 R `4 S. g) ?: j * * * * 7 * *) ]3 y2 K4 f2 C( b2 e9 G2 f& m/ @, Y * * * * * *, B: [# A' x+ h B) |( l * * * * * * + {- ^. U. T. n& X3 k 用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？

第05题柯克曼的女学生问题Kirkman''s Schoolgirl Problem / O' ~2 L9 J% ]- j6 Y' w( ?' g$ z 某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？

第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed - l+ G e5 B1 ?$ X- x6 Bletters 5 s& E5 H9 b9 T- r4 h 求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.

第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler''s Problem of Polygon Division - Q5 J! v4 u6 t9 F+ Y: Y3 g; q 可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？

第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas'' Problem of the Married Couples * L% @! u/ V# }/ v6 v! f }3 a' ~' x n对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？

第09题卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam''s Binomial Expansion , b1 i3 X( [. J- R2 S" i2 s 当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂.

第10题柯西的平均值定理Cauchy''s Mean Theorem 3 z3 n/ P& I' n2 U 求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.

第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli''s Power Sum Problem 0 F3 d% i4 y- d& y. r5 } 确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np.

第12题欧拉数The Euler Number + ?; l& @; S- x4 q, S 求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值.

第13题牛顿指数级数Newton''s Exponential Series / |3 ?3 T$ B$ W 将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数.

第14题麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator''s Logarithmic Series 5 m( ^' J0 g0 g 不用对数表，计算一个给定数的对数.

第15题牛顿正弦及余弦级数Newton''s Sine and Cosine Series ' w5 w+ N, z5 ] U, M" M) v 不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.

第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre''s Derivation of the Secant and Tangent Series , R5 i. t* I/ G7 v 在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列.

试利用屈折排列推导正割与正切的级数.

第17题格雷戈里的反正切级数Gregory''s Arc Tangent Series 8 U# v8 Y! T2 Y' e( {7 r 已知三条边，不用查表求三角形的各角.

第18题德布封的针问题Buffon''s Needle Problem 0 D1 a/ M. P9 M 在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？

第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem $ A) M5 U: o$ | 每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示.

第20题费马方程The Fermat Equation ( @5 K: t5 U4 q& l' Q1 ?! n3 \ 求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数.

第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem ( S; b {, H' Y5 z. j. m 证明两个立方数的和不可能为一立方数.

第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law 8 g2 R' h M9 M% Z( L$ a. { （欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式/ }+ D4 u9 v+ }2 n （p/q）·（q/p）=（－1）[(p-1)/2]·[(q-1)/2].

第23题高斯的代数基本定理Gauss'' Fundamental Theorem of Algebra . [! Z: ^; N* |8 V% i 每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根.

第24题斯图谟的根的个数问题Sturm''s Problem of the Number of Roots / B: B! `7 c$ n 求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.

第25题阿贝尔不可能性定理Abel''s Impossibility Theorem + `- D/ P# c& W 高于四次的方程一般不可能有代数解法.

第26题赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem : r1 ^/ Q! R7 n& c 系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零.

第27题欧拉直线Euler''s Straight Line 2 A* w6 ~+ d+ r 在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.

第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle & G/ S' U+ T! b1 G$ w 三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上.

第29题卡斯蒂朗问题Castillon''s Problem 9 ?8 O% p. p3 G/ m 将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.

第30题马尔法蒂问题Malfatti''s Problem 4 l1 Z% Q9 u, f' E6 f! q 在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.. W1 s7 B* Z, l8 v" }3 b0 U2 U* o ........., `* H" q7 F1 {+ i* p& z4 ` 第51题作为包络的抛物线A Parabola as Envelope 0 V+ [. ^1 r) s, D( X. B' h $ j6 p" {+ j; k. I4 X, L 从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1，0. & g. a; l: A6 y m Z# D 求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.

第52题星形线The Astroid ; Y, N6 m2 Y& E5 @ 直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络.

第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid

确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络.

第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a $ H* z9 u0 h, L8 @ Quadrilateral 9 ~3 m+ ]( `' E2 c6 c 一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？

第55题圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections ' y0 [- T+ @" k: V7 k 确定一个圆锥曲线的曲率.

第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola - b% a& Q* \8 M" x 确定包含在抛物线内的面积.

第57题推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola * y1 x) Q4 h4 C X+ I8 G 确定双曲线被截得的部分所含的面积.

第58题求抛物线的长Rectification of a Parabola * n' O5 {+ T ^/ s, ` 确定抛物线弧的长度.

第59题笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem (Theorem of Homologous : H7 p1 b. L4 W2 N8 a" u6 ~ i1 P Triangles) * `( F6 x) Y' J+ D# l 如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上.- w3 |8 L* J% U" L X# A 反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连线通过一点.

第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction

由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素.

第61题帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem " X, T @9 W6 {' Y+ h# u( l, a 求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上.

第62题布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem 6 p/ m' p: H# r2 L$ m 求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点.

第63题笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem 7 I: A' t9 W6 s+ A$ v2 F 一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. a" n3 f4 l+ p* s# f& e 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.+ \% s3 p2 ^, Q" U8 V ( w8 j9 b/ B/ ^1 s. n, ` I+ k *一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交点23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）.

第64题由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements 9 w( Q( r' l& O* l# N; } 求作一个圆锥曲线，它的五个元素——点和切线——是已知的.

第65题一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line 4 V6 R% ^) T; W) h" T& c; | 一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交，求作它们的交点.

第66题一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point ) J& q) V* ?- i/ f. d$ Q: M 已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线，作出从该点列到该曲线的切线.

第67题斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planes 5 x L5 V6 n* p- ?/ T' N% R3 _% y n个平面最多可将整个空间分割成多少份？

第68题欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem : s& H; |2 m$ r& {$ x& ` 以六条棱表示四面体的体积.

第69题偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines " G! M7 v4 I% H$ I4 R 计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.

第70题四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron ( q7 D* N/ E: I9 \+ ^ 确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.

第71题五种正则体The Five Regular Solids 6 t/ d9 R- I( X1 ?- J 将一个球面分成全等的球面正多边形.

第72题正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a Quadrilateral 0 d7 Y( l. G# V 证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象.

第73题波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem & C! n' g& ]2 z6 D0 A9 L 一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点，可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射.

第74题高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry - G5 x! q+ r0 _; [ " Z/ \; Q: X7 _" z 正轴测法的高斯基本定理：如果在一个三面角的正投影中，把映象平面作为复平面，三面角顶点的投影作为零点，边的各端点的投影作为平面的复数，那么这些数的平方和等于零.

第75题希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection 3 ~: a6 Y9 T9 V8 D 试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法 $ ?5 `0 m3 M% [8 d# M2 q/ c ......... 2 u2 A# _; q7 c) s

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