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[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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发表于 2005-3-30 23:34 |只看该作者 |正序浏览

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

% R+ O: j5 M+ H
对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

% j$ c7 G3 p& Q6 B4 O) Z
移项，得

' h& o/ L( V, a) F F. P
（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。
1 U- d- h( ~2 z1 n d: W
讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。
1 S7 u6 _$ u3 V, n, Z

1 @0 y+ m; c- N
二种方程筛的比较
: ?, x2 A2 j8 x3 ?
包学行
" M' P: v' k5 {* n% O9 ~+ P, i
" w B* V9 u6 i( T+ K
　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：
t( g/ ^- U/ Y( w2 P
Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）
$ C7 b$ ?' H7 S" L: i
而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

（2）

5 D% v4 D/ w; _4 k4 q4 `
( a2 }' n4 L# _, e
上方程（2）中的

（3）

0 a% p, {4 @8 W/ \2 G; [& K9 ^! M
" F6 u- \( l: b( \
该方程较为复杂。
& A4 c4 U: d6 ]; \* O0 B% \
　　　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：
, N: X* f7 c: S/ ]4 _7 {
' F" v/ Y8 H" x/ m* [0 U* L
/ V, a' k1 s- w/ X6 s, y& Y! {. q, v J6 K( A: k# |4 l; u; X# }0 Y+ I6 W1 f' u/ {. w0 @$ Q! R8 p4 D' g! z3 Y; `+ ]4 m$ ^& f9 i1 a! W6 |; A+ h) Z/ L S. y! D5 B- n% u: W! r4 a) a2 P) \, g0 U" ]. F# i9 r/ n2 c7 F; L+ m; S6 m# P8 L# r) T* P+ U5 |% x3 C9 W& N% u& C$ o. U. U# J8 }, Q7 i( n$ T! d, I( K1 h% }8 Z D' o" J) X; L) D2 p5 [/ B' A$ z/ G( O4 {) l. f* P) l$ O6 t! F0 I( M6 D) }' @4 X; l* p) y4 \, \: F& h* O/ R3 E) ?8 j. X. ]2 j3 m0 `6 P0 U- `7 k p3 m7 \8 o. a& f3 R' p; s/ K7 \4 R7 O. E: C0 O) a0 `- o; n7 _6 H* ]0 w: t8 q# X

　 yujun 的方程筛（1）作者的方程筛（2）

方程左边函数结构简单复杂

方程左边函数值的意义定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。

方程左边函数值的变化特点- G, b: p. Q! y# C' i （对自变量为素数到合数的变化时）从 0 变为一个大于 0 8 X0 o4 Q4 P1 j# f3 e. l小于或等于 1 的数。从 0 变为一个大于或等于 1 的数。

方程左边函数值的变化特点, i4 l) f9 z6 r7 \! n （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。从 0 变为等于 1 的数。

方程左边函数值的变化特点 0 L# R% n1 t( e6 S（对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化从 0 变为一个0 t, B+ }6 d, o m6 c 大于 0 且→0 的数。从 0 变为等于 1 的数。
8 B5 R7 X {/ P( S. w A+ z! f# k