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[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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发表于 2005-3-30 23:34 |只看该作者 |正序浏览

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

- l3 ^3 c- s/ p
对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

5 b- b$ ^; K7 P: ~" _
移项，得

( u/ _- I: @- O7 ` W5 B
（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。
0 @6 f4 i5 O9 ?% ?1 z
讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。
5 J* Q3 |) D; `9 l. o' f4 t6 D5 Q2 z

( F/ g& }2 q0 ~$ u1 y6 i( f0 f
二种方程筛的比较
& r. t) \1 {* T0 W
包学行
) }( c- Z3 f: R1 N1 \
) Y+ P! |' X; o% s
　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：
6 i& X `1 a6 h. g% j* d% [3 R
Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）
# e7 n2 I& M0 q4 X# B+ _, M
而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

（2）

J# w s6 x3 |% x4 G# R+ f5 t# l! C t
6 W) h3 o# H8 ?- t9 x& `
上方程（2）中的

（3）

& r, Y7 M& `. v6 M: S7 J s
: Z8 I4 p% N" G" y
该方程较为复杂。
9 j; g7 F! R0 N( [9 d" X
　　　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：
- w6 Q3 F7 X: G% J0 c
$ X& q; @7 e l' `
) D9 Y/ d3 z c& L$ y `# K( g6 c1 @& v0 G( g/ Y# ]8 _8 L8 K: H8 [3 [+ P; ]7 j; y/ M/ h: O: }% r9 l V# X& Q, Y7 p* ?; n/ r9 y0 m$ x& o3 `5 b( G% J" { k$ n. {3 B) u) f% |$ M: E0 t; E7 W$ ~: A7 @. w6 v/ Y4 Q9 h* e# d* f7 V0 C: J* _! Q& ~5 G1 M" D; u! I; k# q$ ]7 ]' W* e* v6 v5 S& S. x0 V" r' u9 O& T0 m, g) o7 p" A9 F$ Z: d0 l5 z( w. @0 |+ H( x9 r p8 K( t4 ~6 A$ d" l$ \! I3 k( F+ N. E; T+ q; p3 \2 _* s, J8 V S9 c: O ]5 {( `2 O7 s, S S' H2 ]9 G: }0 e1 V' a5 @4 x. N0 p/ p2 _3 J7 C# H' m5 x; a/ ~( ?7 n. k& l* N; g; E8 `* m b/ X5 e8 u1 W* n* c+ e8 P; ~$ f6 F$ h6 F3 | A6 ^* k4 D& a4 Q R

　 yujun 的方程筛（1）作者的方程筛（2）

方程左边函数结构简单复杂

方程左边函数值的意义定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。

方程左边函数值的变化特点 0 K/ }3 H5 K+ F; a（对自变量为素数到合数的变化时）从 0 变为一个大于 0 : o) e$ q0 X" n# U 小于或等于 1 的数。从 0 变为一个大于或等于 1 的数。

方程左边函数值的变化特点$ O" Q7 \3 A+ i T （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。从 0 变为等于 1 的数。

方程左边函数值的变化特点 # T) c, ^6 ]4 d- s（对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化从 0 变为一个 ! Z- a; C9 Q9 \大于 0 且→0 的数。从 0 变为等于 1 的数。
' ^- X. \' t0 z