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设 f(n) 为因数个数函数,从“因数个数函数的推导证明”一文知[1]: / V) K% A" Z% n8 k, R, q7 d5 ~
 % E& y# [& ]) ]7 L$ k- g
. s1 L5 J( [# r6 w3 ?
对于任何素数 p ,只有1与自身 2 个因数,代入上式有 / z# X7 f0 R8 P
 8 |: ^! B; c4 F# W' V0 g
" n- _- Z: g6 I2 R9 E
移项,得
/ x- l$ P) Z" G7 m' C | / s" v. o" a _5 F
8 Q$ i9 E1 `, F4 m(3)式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。5 l/ |. N; k+ ^$ N8 P9 Z p
讨论:因为因数个函数有无限多的表达形式[1],方程筛也有无限多的表达形式,上述(3)式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同,在此就不一一证明了。
# s$ z: `1 b2 b' Z" s' N v 0 I, ?% R; B+ Y- D
/ U- J9 X6 p3 P( J" O
二种方程筛的比较 ; p/ s8 f5 g! e) O' C o: H) v
包学行
5 B6 P4 ^& h+ K* ?7 y, B, `5 d6 V
最近作者收到了 yujun 信,他在信中给出了一种非常简单的方程筛,该方程筛结构如下:
5 `8 d3 p4 f- n. \ Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, (1) % ]/ x4 e' G) i8 T k5 v
而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为 ) J0 `! G# n1 [2 n0 z4 P
 7 m# v2 W4 e! L
(2)
% [+ A0 ^: }8 z$ s
8 ?0 I8 h" ?3 [9 a3 |$ n
2 J* n! G' I) W9 b1 Q* |6 L上方程(2)中的
" h: O( G" U4 Z# \
! t' w7 a* ?2 ]: W5 `; d/ }' b(3)
' D+ A8 e7 G, y
5 k9 ^' Z5 f/ x( M1 e5 x J( B) W. z$ x8 Z/ I
该方程较为复杂。 4 B" U4 m( O( L$ Y& o+ o
但二种方程筛各有特点,现比较如下表: 1 k4 D/ q8 Q; y2 A0 X4 J; i. J
4 q# Z, a0 l+ W0 K
+ B( i0 f8 h& ~& d+ n& f
3 c, l3 m; _5 b# J
7 K2 R# Y" X) n& [# P. g! o6 e6 i! ^| |
6 m3 f' `9 g1 O6 Z( p$ pyujun 的方程筛(1) |
# j3 [! N) o! T1 y6 V2 H作者的方程筛(2) | 9 {9 v4 I" j% |8 X
& ~2 x, F( ]7 u7 R$ O| 方程左边函数结构 |
# e# E3 }) A- n9 K" u简单 |
$ K! |3 J+ ^ t B0 b! D复杂 | & r* R) o' z4 R/ }3 s3 a
7 Y# e. P8 A* c8 `) g0 j/ i
| 方程左边函数值的意义 |
9 V! y! U) l# e' x; }定性:值不等于 0 为合数,值等于 0 为素数。 | 7 ] J, ^1 K* @3 j5 \% m) V
定量:表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数,这个数值为 0 则为素数。 | ) D( N4 i y- F3 X! B- b1 e5 T) t4 z
1 m) l& C: D9 Q9 }& B4 z, f7 l
| 方程左边函数值的变化特点! I8 Y2 `, @* Z8 i. U" `+ S) O5 Y" @
(对自变量为素数到合数的变化时) |
$ G2 v# U& E, A从 0 变为一个大于 0 : R) @2 V8 E P$ c+ k7 Y
小于或等于 1 的数。 |
; r) V* `% H! y$ y% c* A从 0 变为一个大于或等于 1 的数。 | # X2 r; ^& D2 l. G. I7 x
" |3 F& A6 N: V9 [0 Y| 方程左边函数值的变化特点8 M. E$ M x4 Z
(对自变量为素数到合数的变化时)最小变化 |
/ U4 H0 d5 [9 B$ `# i: D从 0 变为一个大于 0 数,当自变量 p 很大时,这个变化将会是非常小。 |
9 S4 m R$ C. G- C! C/ l4 g从 0 变为等于 1 的数。 | : `7 I# U' |, S) q5 N
2 s" N. i" |" K: j& c- `7 h
| 方程左边函数值的变化特点# Y) z' l$ f: D% N7 j
(对自变量为素数到合数的变化时)当p→∞时的最小变化 | 6 c$ ]" X$ L j7 _
从 0 变为一个
: J# K( {) F4 ^6 H0 E" j大于 0 且→0 的数。 |
+ U8 ?6 y9 `. ^' l- N从 0 变为等于 1 的数。 |
1 `) d& }$ s4 c |
zan
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