查看: 4456|回复: 2

[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

字体大小: 正常放大

god

206 主题	2 听众	882 积分

升级 70.5%

该用户从未签到

电梯直达

1^#

发表于 2005-3-30 23:34 |只看该作者 |正序浏览

|招呼Ta 关注Ta

设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

. s1 L5 J( [# r6 w3 ?
对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

" n- _- Z: g6 I2 R9 E
移项，得

8 Q$ i9 E1 `, F4 m
（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。
5 l/ |. N; k+ ^$ N8 P9 Z p
讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。
# s$ z: `1 b2 b' Z" s' N v

/ U- J9 X6 p3 P( J" O
二种方程筛的比较
; p/ s8 f5 g! e) O' C o: H) v
包学行
5 B6 P4 ^& h+ K
* ?7 y, B, `5 d6 V
　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：
5 `8 d3 p4 f- n. \
Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）
% ]/ x4 e' G) i8 T k5 v
而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

（2）

8 ?0 I8 h" ?3 [9 a3 |$ n
2 J* n! G' I) W9 b1 Q* |6 L
上方程（2）中的

（3）

5 k9 ^' Z5 f/ x( M1 e5 x
J( B) W. z$ x8 Z/ I
该方程较为复杂。
4 B" U4 m( O( L$ Y& o+ o
　　　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：
1 k4 D/ q8 Q; y2 A0 X4 J; i. J
4 q# Z, a0 l+ W0 K
+ B( i0 f8 h& ~& d+ n& f3 c, l3 m; _5 b# J7 K2 R# Y" X) n& [# P. g! o6 e6 i! ^6 m3 f' `9 g1 O6 Z( p$ p# j3 [! N) o! T1 y6 V2 H9 {9 v4 I" j% |8 X& ~2 x, F( ]7 u7 R$ O# e# E3 }) A- n9 K" u$ K! |3 J+ ^ t B0 b! D& r* R) o' z4 R/ }3 s3 a7 Y# e. P8 A* c8 `) g0 j/ i9 V! y! U) l# e' x; }7 ] J, ^1 K* @3 j5 \% m) V) D( N4 i y- F3 X! B- b1 e5 T) t4 z1 m) l& C: D9 Q9 }& B4 z, f7 l$ G2 v# U& E, A; r) V* `% H! y$ y% c* A# X2 r; ^& D2 l. G. I7 x" |3 F& A6 N: V9 [0 Y/ U4 H0 d5 [9 B$ `# i: D9 S4 m R$ C. G- C! C/ l4 g: `7 I# U' |, S) q5 N2 s" N. i" |" K: j& c- `7 h6 c$ ]" X$ L j7 _+ U8 ?6 y9 `. ^' l- N

　 yujun 的方程筛（1）作者的方程筛（2）

方程左边函数结构简单复杂

方程左边函数值的意义定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。

方程左边函数值的变化特点! I8 Y2 `, @* Z8 i. U" `+ S) O5 Y" @ （对自变量为素数到合数的变化时）从 0 变为一个大于 0 : R) @2 V8 E P$ c+ k7 Y 小于或等于 1 的数。从 0 变为一个大于或等于 1 的数。

方程左边函数值的变化特点8 M. E$ M x4 Z （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。从 0 变为等于 1 的数。

方程左边函数值的变化特点# Y) z' l$ f: D% N7 j （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化从 0 变为一个 : J# K( {) F4 ^6 H0 E" j大于 0 且→0 的数。从 0 变为等于 1 的数。
1 `) d& }$ s4 c