[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

/ u8 j$ {9 n6 u( T6 E9 y

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

! V+ |+ s! E+ l0 @# \3 O5 W

' i2 w; c; ~ ~& Q# |+ q( O

移项，得

+ {7 V* W! J6 k

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

, D8 o' n/ t }

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

' j2 K4 ^, Z6 [! e6 \. ?

二种方程筛的比较

包学行

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

# l: |# `- D y. Q0 g& s( D2 t

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

（2）

3 {! h" F( j2 J9 b$ c5 {$ T. m1 g

: N2 `8 x! A% z! C8 i; [) J; Z9 K

上方程（2）中的

0 D5 d, _& T: C: {) H; V

（3）

该方程较为复杂。

1 U9 Q$ @" }5 v. M: z4 i% }9 a: ~

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

4 C0 s3 R3 b5 N4 ]* O+ V

8 l# Q$ q5 K- \* N

$ J) r @- n- b+ X3 N9 o' |6 x2 @4 O% I" c9 h1 [, C- ?) F, h/ p8 K; r. }* G" |$ g$ ?5 u1 J- U, i* q& h" P, h% n+ j6 O9 Y7 |" `+ q5 X# k; o# ?* Y _9 f8 s! q4 k" _* h4 W9 k0 L9 }6 d0 q+ g! H0 _; x) |" r& c& Y v0 p* z' r" G) M: h' c3 e2 B6 C" O; Z% v/ Q. W, f! U# Z0 x- r

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 ) S3 }+ _/ X+ z& _2 R/ f! X' F（对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 5 C/ ~" ^- ?, @$ {- M小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 ' @) g z' a! z1 c& a: D（对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 0 F, Y) T$ Z, P7 P) |" X9 O大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。

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